Групповая классификация, инвариантные решения и законы сохранения нелинейного двумерного ортотропного уравнения фильтрации с дробной производной Римана–Лиувилля по времени

ТОМ 24, №2 (2020)

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Рассматривается нелинейное двумерное ортотропное уравнение фильтрации с дробной производной Римана–Лиувилля по времени. Доказывается, что такое уравнение может допускать группы точечных преобразований только линейно-автономного типа. Решается задача групповой классификации рассматриваемого уравнения по его точечным симметриям относительно коэффициентов пьезопроводности, являющихся функциями квадрата модуля градиента давления. Доказывается, что если порядок дробного дифференцирования меньше единицы, основная допускаемая уравнением группа точечных преобразований является четырехпараметрической и расширяется до пятипараметрической в изотропном случае. Для степенных зависимостей коэффициентов пьезопроводности допускаемая группа становится пятипараметрической в ортотропном случае и шестипараметрической в изотропном случае. Также выделяется специальный вид степенной зависимости коэффициентов, не имеющий аналога в случае классического уравнения фильтрации, при котором происходит дополнительное расширение группы оператором проективного преобразования. Для уравнения с порядком дробного дифференцирования $\alpha \in (1,2)$ размерности всех допускаемых групп оказываются на единицу больше за счет допускаемого оператора, соответствующего сдвигу решения на дополнительное частное решение этого уравнения.На основе проведенной групповой классификации для соответствующих алгебр Ли инфинитезимальных операторов групп точечных преобразований, допускаемых различными видами рассматриваемого нелинейного ортотропного дробно-дифференциального уравнения, выписываются представления инвариантно-групповых решений, соответствующие оптимальным системам двумерных подалгебр. Приводятся примеры уравнений, получающихся в результате симметрийной редукции исходного дробно-дифференциального уравнения, а также некоторые их решения. Доказывается, что рассматриваемое дробно-дифференциальное уравнение фильтрации является нелинейно самосопряженным, что дает возможность строить его законы сохранения. Соответствующие компоненты всех найденных сохраняющихся векторов приводятся в явном виде.

Об авторах

Вероника Олеговна Лукащук

Уфимский государственный авиационный технический университет

Email: voluks@gmail.com

Станислав Юрьевич Лукащук

Уфимский государственный авиационный технический университет

Email: lsu@ugatu.su
доктор физико-математических наук, доцент

Список литературы

  1. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I., Fractional integrals and derivatives. Theory and applications, Gordon & Breach Sci. Publishers, New York, 1993, xxxvi+976 pp.
  2. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J., Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland Mathematics Studies, 204, Elsevier, Amsterdam, 2006, xv+523 pp.
  3. Podlubny I., Fractional differential equations. An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications, Mathematics in Science and Engineering, 198, Academic Press, San Diego, 1999, xxiv+340 pp.
  4. Metzler R., Klafter J., "The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamic approach", Phys. Rep., 339:1 (2000), 1-77
  5. Hilfer R., Applications of fractional calculus in physics, World Scientific, Singapore, 2000, vii+463 pp.
  6. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с.
  7. Учайкин В. В., Метод дробных производных, Артишок, Ульяновск, 2008, 512 с.
  8. Mainardi F., Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. An introduction to mathematical models, World Scientific, Hackensack, 2010, xx+347 pp.
  9. Головизнин В. М., Кондратенко П. С., Матвеев Л. В. и др., Аномальная диффузия радионуклидов в сильнонеоднородных геологических формациях, Наука, М., 2010, 342 с.
  10. Fractional Dynamics: Recent Advances, eds. J. Klafter, S. C. Lim, R. Metzler, World Scientific, Hackensack, 2011, xiv+515 pp.
  11. Fractional kinetics in solids: Anomalous charge transport in semiconductors, dielectrics and nanosystems, eds. V. Uchaikin, R. Sibatov, CRC Press, Boca Raton, 2013, xvi+257 pp.
  12. Baleanu D., Diethelm K., Scalas E., Trujillo J. J., Fractional calculus: models and numerical methods, Series on Complexity, Nonlinearity and Chaos, 5, World Scientific, Hackensack, 2017, xxviii+448 pp.
  13. Ovsyannikov L. V., Group analysis of differential equations, Academic Press, New York, 1982, xvi+416 pp.
  14. Olver P. J., Applications of Lie groups to differential equations, Graduate Texts in Mathematics, 107, Springer, New York, 2000, xxviii+513 pp.
  15. Bluman G. W., Cheviakov A. F., Anco S. C., Applications of symmetry methods to partial differential equations, Applied Mathematical Sciences, 168, Springer, New York, 2010, xix+398 pp pp.
  16. Grigoriev Yu. N., Ibragimov N. H., Kovalev V. F., Meleshko S. V., Symmetries of integro-differential equations. With applications in mechanics and plasma physics., Lecture Notes in Physics, 806, Springer, Dordrecht, 2010, xiii+305 pp.
  17. Ibragimov N. H., Transformation groups and Lie algebras, World Scientific, Hackensack, 2013, x+185 pp.
  18. Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Y., "Symmetries and group invariant solutions of fractional ordinary differential equations", Handbook of Fractional Calculus with Applications, eds. A. Kochubei, Y. Luchko, De Gruyter, Berlin, 2019, 65-90
  19. Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Y., "Symmetries, conservation laws and group invariant solutions of fractional PDEs", Handbook of Fractional Calculus with Applications, eds. A. Kochubei, Y. Luchko, De Gruyter, Berlin, 2019, 353-382
  20. Raghavan R., Chen C., "Fractional diffusion in rocks produced by horizontal wells with multiple, transverse hydraulic fractures of finite conductivity", J. Petrol. Sci. Eng., 109 (2013), 133-143
  21. Obembe A. D. Al-Yousef H. Y., Hossain M. E., Abu-Khamsin S. A., "Fractional derivatives and their applications in reservoir engineering problems: A review", J. Petrol. Sci. Eng., 157 (2017), 312-327
  22. Газизов Р. К., Лукащук С. Ю., "Дробно-дифференциальный подход к моделированию процессов фильтрации в сложных неоднородных пористых средах", Вестник УГАТУ, 21:4 (2017), 104-112
  23. Бабков О. К., "О групповой классификации некоторых эволюционных уравнений", Тезисы международной конференции Mogran-16 (28 октября - 2 ноября 2013 г.), УГАТУ, Уфа, 2013, 6-7
  24. Овсянников Л. В., "О свойстве -автономии", Докл. РАН, 330:5 (1993), 559-561
  25. Чиркунов Ю. А., "Условия линейной автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений", Докл. РАН, 426:5 (2009), 605-607
  26. Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю., "Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии", Уфимск. матем. журн., 4:4 (2012), 54-68
  27. Ibragimov N. H., "A new conservation theorem", J. Math. Anal. Appl., 333:1 (2007), 311-328
  28. Ibragimov N. H., "Nonlinear self-adjointness and conservation laws", J. Phys. A: Math. Theor., 44 (2011), 432002
  29. Patera J., Winternitz P., "Subalgebras of real three- and four-dimensional Lie algebras", J. Math. Phys., 18:7 (1977), 1449-1455
  30. Лукащук С. Ю., "Симметрийная редукция и инвариантные решения нелинейного дробно-дифференциального уравнения аномальной диффузии с источником", Уфимск. матем. журн., 8:4 (2016), 114-126
  31. Овсянников Л. В., "Об оптимальных системах подалгебр", Докл. РАН, 333:6 (1993), 702-704
  32. Чиркунов Ю. А., Хабиров С. В., Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды, НГТУ, Новосибирск, 2012, 659 с.
  33. Lukashchuk S. Yu., "Conservation laws for time-fractional subdiffusion and diffusion-wave equations", Nonlinear Dyn., 80:1-2 (2015), 791-802
  34. Gazizov R. K., Ibragimov N. H., Lukashchuk S. Yu., "Nonlinear self-adjointness, conservation laws and exact solutions of time-fractional Kompaneets equations", Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat., 23:1-3 (2015), 153-163
  35. Лукащук С. Ю., "О построении законов сохранения для интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка", ТМФ, 184:2 (2015), 179-199
  36. Ибрагимов Н. Х., Авдонина Е. Д., "Нелинейная самосопряженность, законы сохранения и построение решений уравнений в частных производных с помощью законов сохранения", УМН, 68:5(413) (2013), 111-146

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Самарский государственный технический университет, 2020

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».