Конфлюэнтные гипергеометрические функции и их применение к решению задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца с тремя сингулярными коэффициентами

В ходе серии исследований, охватывающей период с 1889 по 1939 год, были систематически изучены все двойные гипергеометрические ряды второго порядка. Значительный вклад в развитие теории гипергеометрических функций двух переменных внес Горн, предложивший их классификацию на полные и конфлюэнтные функции. Составленный Горном список включает четырнадцать полных и двадцать конфлюэнтных функций двух переменных, причем последние являются предельными случаями полных функций. В 1985 году Сривастава и Карлссон завершили построение полного набора гипергеометрических функций второго порядка трех переменных, однако аналогичная классификация для их конфлюэнтных аналогов до сих пор остается незавершенной. Таким образом, теория конфлюэнтных гипергеометрических функций трех переменных в настоящее время находится в стадии формирования, а изучение функций четырех переменных представляет собой перспективное направление исследований.
В настоящей работе исследуются некоторые конфлюэнтные гипергеометрические функции от трех и четырех переменных. Устанавливаются их новые свойства, которые применяются для решения задачи Дирихле для трехмерного уравнения Гельмгольца с тремя сингулярными коэффициентами.
Фундаментальные решения указанного уравнения выражаются через конфлюэнтную гипергеометрическую функцию четырех переменных, а явное решение задачи Дирихле в первом октанте строится с помощью функции трех переменных, являющейся следом конфлюэнтной функции четырех переменных. Доказывается теорема о вычислении значений функций многих переменных и устанавливаются формулы их преобразования. Полученные результаты используются для определения порядка сингулярности фундаментальных решений и обоснования корректности решения задачи Дирихле.
Единственность решения задачи Дирихле доказывается на основе принципа экстремума для эллиптических уравнений.