Higher-order difference schemes for the loaded heat conduction equations with boundary conditions of the first kind

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

This paper investigates initial-boundary value problems for loaded heat equations with boundary conditions of the first kind. High-accuracy difference schemes are constructed for numerical solution of these problems. A priori estimates in discrete form are obtained through energy inequalities. The derived estimates establish solution uniqueness and stability with respect to both initial data and right-hand side terms, while proving convergence of the discrete solution to the original differential problem at $O(h^4+\tau^2)$ rate (under sufficient smoothness assumptions). Numerical experiments with test cases validate all theoretical findings.

About the authors

Murat Kh. Beshtokov

Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS

Author for correspondence.
Email: beshtokov-murat@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-2968-9211
Scopus Author ID: 55933179800
ResearcherId: L-8961-2017
https://www.mathnet.ru/rus/person52345

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Leading Researcher; Dept. of Computational Methods

Russian Federation, 360000, Nal’chik, Shortanova st., 89 a

References

  1. Nakhushev A. M. Uravneniya matematicheskoy biologii [Equations of Mathematical Biology]. Moscow, Vyssh. shk., 1995, 301 pp. (In Russian). EDN: PDBBNB.
  2. Nakhushev A. M., Borisov V. N. Boundary value problems for loaded parabolic equations and their applications to the prediction of ground water level, Differ. Uravn., 1977, vol. 13, no. 1, pp. 105–110 (In Russian).
  3. Wiener J., Debnath L. A survey of partial differential equations with piecewise continuous arguments, Int. J. Math. Math. Sci., 1995, vol. 18, no. 2, pp. 209–228. DOI: https://doi.org/10.1155/s0161171295000275.
  4. Shkhanukov M. Kh. On some boundary value problems for an equation of third order arising from simulation of filtration of a fluid in porous media, Differ. Uravn., 1982, vol. 18, no. 4, pp. 689–699 (In Russian).
  5. Kozhanov A. I. A nonlinear loaded parabolic equation and a related inverse problem, Math. Notes, 2004, vol. 76, no. 6, pp. 784–795. DOI: https://doi.org/10.1023/B:MATN.0000049678.16540.a5.
  6. Dzhenaliyev M. T., Ramazanov M. I. Nagruzhennyye uravneniya kak vozmushcheniya differentsial’nykh uravneniy [Loaded Equations as Perturbations of Differential Equations]. Almaty, Gylim, 2010, 335 pp. (In Russian)
  7. Kneser A. Belastete integralgleichungen, Rend. Circ. Matem. Palermo, 1914, vol. 37, pp. 169–197. DOI: https://doi.org/10.1007/BF03014816.
  8. Nakhushev A. M. Nagruzhennyye uravneniya i ikh primeneniya [Loaded Equations and Their Applications]. Moscow, Nauka, 2012, 231 pp. (In Russian)
  9. Guezane-Lakoud A., Belakroum D. Time-discretization schema for an integro-differential Sobolev type equation with integral conditions, Appl. Math. Comput., 2012, vol. 218, no. 9, pp. 4695–4702. DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2011.11.077.
  10. Luo Z. D. Teng F. A reduced-order extrapolated finite difference iterative scheme based on POD method for 2D Sobolev equation, Appl. Math. Comput., 2018, vol. 329, pp. 374–383. DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.02.022.
  11. Beshtokov M. Kh. Numerical analysis of initial-boundary value problem for a Sobolev-type equation with a fractional-order time derivative, Comput. Math. Math. Phys., 2019, vol. 59, no. 2, pp. 175–192. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542519020052.
  12. Grasselli M., Pata V. A reaction-diffusion equation with memory, Discrete Contin. Dyn. Syst., 2006, vol. 15, no. 4, pp. 1079–1088. DOI: https://doi.org/10.3934/dcds.2006.15.1079.
  13. Olmstead W. E., Davis S. H., Rosenblat S., Kath W. L. Bifurcation with memory, SIAM J. Appl. Math., 1986, vol. 46, no. 2, pp. 171–188. DOI: https://doi.org/10.1137/0146013.
  14. Yong J., Zhang X. Heat equations with memory, Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., 2005, vol. 63, no. 5–7, pp. e99–e108. DOI: https://doi.org/10.1016/j.na.2005.02.033.
  15. Beshtokov M. Kh., Vodahova V. A. Nonlocal boundary value problems for a fractional-order convection-diffusion equation, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2019, vol. 29, no. 4, pp. 459–482 (In Russian). DOI: https://doi.org/https://doi.org/10.20537/vm190401.
  16. Abdullaev V. M., Aida-zade K. R. On the numerical solution of loaded systems of ordinary differential equations, Comput. Math. Math. Phys., 2004, vol. 44, no. 9, pp. 1505–1515. EDN: XLKZWN.
  17. Abdullaev V. M., Aida-zade K. R. Numerical solution of optimal control problems for loaded lumped parameter systems, Comput. Math. Math. Phys., 2006, vol. 46, no. 9, pp. 1487–1502. EDN: XLLQVH. DOI: https://doi.org/10.1134/S096554250609003X.
  18. Abdullaev V. M., Aida-zade K. R. Finite-difference methods for solving loaded parabolic equations, Comput. Math. Math. Phys., 2016, vol. 56, no. 1, pp. 93-105 (In Russian). EDN: WUXIWJ. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542516010036.
  19. Alikhanov A. A., Berezgov A. M., Shkhanukov-Lafishev, M. Kh. Boundary value problems for certain classes of loaded differential equations and solving them by finite difference methods, Comput. Math. Math. Phys., 2008, vol. 48, no. 9, pp. 1581–1590. DOI: https://doi.org/10.1134/S096554250809008X.
  20. Beshtokov M. Kh. The third boundary value problem for loaded differential Sobolev type equation and grid methods of their numerical implementation, IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng., 2016, vol. 158, 012019. EDN: YVCYFN. DOI: https://doi.org/10.1088/1757-899X/158/1/012019.
  21. Samarskii A. A. Schemes of high-order accuracy for the multi-dimensional heat conduction equation, U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1963, vol. 3, no. 5, pp. 1107–1146. DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90104-6.
  22. Lele S. K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution, J. Comput. Phys., 1992, vol. 103, no. 1, pp. 16–42. DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9991(92)90324-R.
  23. Matus P. P., Utebaev B. D. Compact and monotone difference schemes for parabolic equations, Math. Models Comput. Simul., 2021, vol. 13, no. 6, pp. 1038–1048. DOI: https://doi.org/10.1134/S2070048221060132.
  24. Alikhanov A., Beshtokov M., Mehra M. The Crank–Nicolson type compact difference schemes for a loaded time-fractional Hallaire equation, Fract. Calc. Appl. Anal., 2021, vol. 24, no. 4, pp. 1231–1256. DOI: https://doi.org/10.1515/fca-2021-0053.
  25. Beshtokov M. Kh. Boundary value problems for a loaded modified fractional-order moisture transfer equation with the Bessel operator and difference methods for their solution, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2020, vol. 30, no. 2, pp. 158–175 (In Russian). DOI: https://doi.org/10.35634/vm200202.
  26. Samarskiy A. A. Teoriya raznostnykh skhem [Theory of Difference Schemes]. Moscow, Nauka, 1977, 656 pp. (In Russian)
  27. Samarskiy A. A., Gulin A. V. Ustoychivost’ raznostnykh skhem [Stability of Difference Schemes]. Moscow, URSS, 2005, 384 pp. (In Russian)
  28. Voevodin A. F., Shugrin S. M. Chislennyye metody rascheta odnomernykh sistem [Numerical Methods for Calculating One-Dimensional Systems]. Novosibirsk, Nauka, 1981, 208 pp. (In Russian)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».