A new application of Khalouta differential transform method and convergence analysis to solve nonlinear fractional Liénard equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this study, we propose a new hybrid numerical method called the Khalouta differential transform method to solve the nonlinear fractional Liénard equation involving the Caputo fractional derivative. The convergence theorem of the proposed method is proved under suitable conditions.
The Khalouta differential transform method is a semi-analytical technique that combines two powerful methods: the Khalouta transform method and the differential transform method. The main advantage of this approach is that it provides very fast solutions without requiring linearization, perturbation, or any other assumptions. The proposed method is described and illustrated with two numerical examples. The illustrative examples show that the numerical results obtained are in very good agreement with the exact solutions. This confirms the accuracy and effectiveness of the proposed
method.

About the authors

Lina Chetioui

Université Ferhat Abbas de Sétif 1

Email: lina.chetioui@univ-setif.dz
https://www.mathnet.ru/person207699

Lab. of Fundamental Mathematics and Numerical; Dept. of Mathematics; Faculty of Sciences

Algeria, 19000 Sétif

Ali Khalouta

Université Ferhat Abbas de Sétif 1

Author for correspondence.
Email: nadjibkh@yahoo.fr
ORCID iD: 0000-0003-1370-3189
https://www.mathnet.ru/person207700

Lab. of Fundamental Mathematics and Numerical; Dept. of Mathematics; Faculty of Sciences

Algeria, 19000 Sétif

References

  1. Iyiola O. S, Zaman F. D. A fractional diffusion equation model for cancer tumor, AIP Advances, 2014, vol. 4, no. 10, 107121. DOI: https://doi.org/10.1063/1.4898331.
  2. Khan H., Tunç C., Khan R.A., et al. Approximate analytical solutions of space-fractional telegraph equations by Sumudu Adomian decomposition method, Appl. Appl. Math, 2018, vol. 3, no. 2, pp. 781–802. https://digitalcommons.pvamu.edu/aam/vol13/iss2/12.
  3. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North Holland Mathematics Studies, vol. 204. Amsterdam, Elsevier, 2006, xv+523 pp. DOI: https://doi.org/10.1016/s0304-0208(06)x8001-5. EDN: YZECAT.
  4. Monje C. A., Chen Y. Q., Vinagre B. M., et al. Fractional-order Systems and Controls: Fundamentals and Applications, Advances in Industrial Control. London, Springer, 2010, xxvi+414 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-84996-335-0.
  5. Podlubny I. Fractional Differential Equations. An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications, Mathematics in Science and Engineering, vol. 198. San Diego, CA, Academic Press, 1999, xxiv+340 pp.
  6. Pu Y. F. Fractional differential analysis for texture of digital image, J. Algorithms Comput. Technol., 2007, vol. 1, no. 3, pp. 357–380. DOI: https://doi.org/10.1260/174830107782424075.
  7. Sun H. G., Zhang Y., Baleanu D., et al. A new collection of real world applications of fractional calculus in science and engineering, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2018, vol. 64, pp. 213–231. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2018.04.019.
  8. Tarasov V. E., Tarasova V. V. Time-dependent fractional dynamics with memory in quantum and economic physics, Ann. Phys., 2017, vol. 383, pp. 579–599. DOI: https://doi.org/10.1016/j.aop.2017.05.017.
  9. Zhou Y., Peng L. Weak solution of the time-fractional Navier–Stokes equations and optimal control, Comput. Math. Appl., 2017, vol. 73, no. 6, pp. 1016–1027. DOI: https://doi.org/10.1016/j.camwa.2016.07.007.
  10. Guo P. The Adomian decomposition method for a type of fractional differential equations, J. Appl. Math. Phys., 2019, vol. 7, no. 10, pp. 2459–2466. DOI: https://doi.org/10.4236/jamp.2019.710166.
  11. El-Said A., Hammad D. A reliable treatment of homotopy perturbation method for the sine-Gordon equation of arbitrary (fractional) order, J. Fract. Calc. Appl., 2012, vol. 2, 1.
  12. Al-Zou’bi H., Zurigat H. Solving nonlinear fractional differential equations using multi-step homotopy analysis method, An. Univ. Craiova, Ser. Mat. Inf., 2014, vol. 41, no. 2, pp. 190–199.
  13. Khalouta A. On the solutions of nonlinear Caputo–Fabrizio fractional partial differential equations arising in applied mathematics, J. Prime Res. Math., 2022, vol. 18, no. 2, pp. 42–54.
  14. Khalouta A. A novel representation of numerical solution for fractional Bratu-type equation, Adv. Stud.: Euro-Tbil. Math. J., 2022, vol. 15, no. 1, pp. 93–109. DOI: https://doi.org/10.32513/asetmj/19322008207.
  15. Liénard A. Étude des oscillations entreténues, Revue Générale De L’Electricité, 1928, vol. 23, pp. 946–954.
  16. Guckenheimer J. Dynamics of the van der Pol equation, IEEE Trans. Circuits Syst., 1980, vol. 27, pp. 983–989. DOI: https://doi.org/10.1109/TCS.1980.1084738.
  17. Zhang Z. F., Ding T., Huang H. W., Dong Z. X. Qualitative Theory of Differential Equations. Peking, China, Science Press, 1985.
  18. Feng Z. On explicit exact solutions for the Liénard equation and its applications, Phys. Lett. A, 2002, vol. 293, no. 1–2, pp. 50–56. DOI: https://doi.org/10.1016/S0375-9601(01)00823-4.
  19. Khalouta A. A new exponential type kernel integral transform: Khalouta transform and its applications, Math. Montisnigri, 2023, vol. 57, pp. 5–23. DOI: https://doi.org/10.20948/mathmontis-2023-57-1.
  20. Cîrnu M., Frumosu F. Initial value problems for nonlinear differential equations solved by differential transform method, J. Inf. Syst. Oper. Manag., 2009, vol. 3, no. 2, pp. 102–107.
  21. Moon S., Bhosale A., Gajbhiye P., Lonare G. Solution of non-linear equations by using differential transform method, Int. J. Math. Stat. Inv., 2014, vol. 2, no. 3, pp. 78–82.
  22. Khalouta A. A new analytical series solution with convergence for non-linear fractional Liénard’s equations with Caputo fractional derivative, Kyungpook Math. J., 2022, vol. 62, pp. 583–593. DOI: https://doi.org/10.5666/KMJ.2022.62.3.583.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Figure 1. The graph of the exact solution and approximate solutions for Example 1

Download (188KB)
Indexing metadata
3. Figure 2. The graph of the exact solution and approximate solutions for Example 2

Download (199KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2024 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».