Inverse problem for an integro-differential equation of hyperbolic type with additional information of a special form in a bounded domain

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

A one-dimensional inverse problem of determining the kernel of the integral
term of an integro-differential equation of hyperbolic type in a variablebounded
domain $x$ is considered. Firstly, the direct problem is investigated, for the regular part of which the Cauchy problem on the axis $x=0$ is obtained using the method of singularity extraction. Subsequently, an integral equation for the unknown function is derived by the d’Alembert formula.
For the direct problem, the inverse problem of determining the kernel entering the integral term of the equation is studied. To find it, an additional condition is specified in a special form. As a result, the inverse problem is reduced to an equivalent system of integral equations for unknown functions. The principle of contraction mappings in the space of continuous functions with weighted norms is applied to the obtained system.
For the given problem, a theorem of global unique solvability has been
proven, which is the main result of the study.

About the authors

Jurabek Sh. Safarov

V. I. Romanovsky Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan; Tashkent University of Information Technologies

Author for correspondence.
Email: j.safarov65@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9249-835X
https://www.mathnet.ru/person73792

Dr. Phys. & Math. Sci.; Senior Researcher; Lab. of Differential Equations and their Applications; Professor; Dept. of Higher Mathematics

Uzbekistan, 100174, Tashkent, University st., 4; 100202, Tashkent, Amir Timur st., 108

References

  1. Lorenzi A., Sinestrari E. Stability results for a partial integrodifferential inverse problem, In: Volterra integrodifferential equations in Banach spaces and applications, Proc. Conf., Trento/Italy 1987, Pitman Res. Notes Math. Ser., 190, 1989, pp. 271–294.
  2. Lorenzi A., Paparoni E. Direct and inverse problems in the theory of materials with memory, Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, 1992, vol. 87, pp. 105–138.
  3. Lorenzi A. An identification problem related to a nonlinear hyperbolic integro-differential equation, Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., 1994, vol. 22, no. 1, pp. 21–44. DOI: https://doi.org/10.1016/0362-546X(94)90003-5.
  4. Safarov Z. S., Durdiev D. K. Inverse problem for an integro-differential equation of acoustics, Differ. Equat., 2018, vol. 54, no. 1, pp. 134–142. EDN: SBEEZR. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266118010111.
  5. Safarov J. S Global solvability of the one-dimensional inverse problem for the integrodifferential equation of acoustics, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2018, vol. 11, no. 6, pp. 753–763. EDN: YPMSKT. DOI: https://doi.org/10.17516/1997-1397-2018-11-6-753-763.
  6. Romanov V. G. On the determination of the coefficients in the viscoelasticity equations, Siberian Math. J., 2014, vol. 55, no. 3, pp. 503–510. EDN: UGODUV. DOI: https://doi.org/10.1134/S0037446614030124.
  7. Durdiev D. K., Safarov Z. S. Inverse problem of determining the one-dimensional kernel of the viscoelasticity equation in a bounded domain, Math. Notes, 2015, vol. 97, no. 6, pp. 867–877. EDN: UTMWIN. DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434615050223.
  8. Rahmonov A. A., Durdiev U. D., Bozorov Z. R. Problem of determining the speed of sound and the memory of an anisotropic medium, Theoret. and Math. Phys., 2021, vol. 207, no. 1, pp. 494–513. EDN: IWWZQA. DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577921040085.
  9. Guidetti D. Reconstruction of a convolution kernel in a parabolic problem with a memory term in the boundary conditions, Bruno Pini Mathematical Analysis Seminar, 2013, vol. 4, no. 1, pp. 47–55. DOI: https://doi.org/10.6092/issn.2240-2829/4154.
  10. Cavaterra C., Guidetti D. Identification of a convolution kernel in a control problem for the heat equation with a boundary memory term, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 2014, vol. 193, no. 3, pp. 779–816. DOI: https://doi.org/10.1007/s10231-012-0301-y.
  11. Janno J., von Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in viscoelasticity, Math. Methods Appl. Sci., 1997, vol. 20, no. 4, pp. 291–314. DOI: https://doi.org/10.1002/(SICI)1099-1476(19970310)20:4<291::AID-MMA860>3.0.CO;2-W.
  12. Durdiev D. K., Rakhmonov A. A. The problem of determining the 2D kernel in a system of integro-differential equations of a viscoelastic porous medium, J. Appl. Industr. Math., 2020, vol. 14, no. 2, pp. 281–295. EDN: GRSYPW. DOI: https://doi.org/10.1134/S1990478920020076.
  13. Durdiev D. K., Nuriddinov Zh. Z Determination of a multidimensional kernel in some parabolic integro-differential equation, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2021, vol. 14, no. 1, pp. 117–127. EDN: RMPPXU. DOI: https://doi.org/10.17516/1997-1397-2021-14-1-117-127.
  14. Safarov J. Sh. Two-dimensional inverse problem for an integro-differential equation of hyperbolic type, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2022, vol. 15, no. 5, pp. 651–662. EDN: ADDBPG. DOI: https://doi.org/10.17516/1997-1397-2022-15-5-651-662.
  15. Durdiev D. K., Safarov Zh. Sh. The local solvability of a problem of determining the spatial part of a multidimensional kernel in the integro-differential equation of hyperbolic type, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2012, no. 4, pp. 37–47 (In Russian). EDN: PUQBLB. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1097.
  16. Durdiev D. K., Safarov J. Sh. Problem of determining the two-dimensional kernel of the viscoelasticity equation with a weakly horizontal inhomogeneity, J. Appl. Ind. Math., 2022, vol. 16, no. 1, pp. 22–44. EDN: ANKIMT. DOI: https://doi.org/10.1134/s1990478922010033.
  17. Durdiev D. K., Safarov J. Sh. The problem of determining the memory of an environment with weak horizontal heterogeneity, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2022, vol. 32, no. 3, pp. 383–402 (In Russian). EDN: ILHEXI. DOI: https://doi.org/10.35634/vm220303.
  18. Durdiev D. K., Totieva Z. D. About global solvability of a multidimensional inverse problem for an equation with memory /, Siberian Math. J., 2021, vol. 62, no. 2, pp. 215–229. EDN: VRTEUJ. DOI: https://doi.org/10.1134/S0037446621020038.
  19. Alekseev A. S., Dobrinskii V. I. Some questions of practical use of inverse dynamical problems of seismics, In: Matematicheskie problemy geofiziki [Mathematical Problems of Geophysics]. Iss. 6, no. 2. Novosibirsk, Computing Center of the USSR Academy of Sciences, 1975, pp. 7–53 (In Russian).
  20. Janno J., von Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in heat flow, J. Inverse Ill-Posed Probl., 1996, vol. 4, no. 1, pp. 39–66. DOI: https://doi.org/10.1515/jiip.1996.4.1.39.
  21. Durdiev D., Shishkina E., Sitnik S. The explicit formula for solution of anomalous diffusion equation in the multi-dimensional space, Lobachevskii J. Math., 2021, vol. 42, no. 6, pp. 1264–1273, arXiv: 2009.10594 [math.CA]. DOI: https://doi.org/10.1134/S199508022106007X.
  22. Kolmogorov A. N., Fomin S. V Elementy teorii funktsii i funktsional’nogo analiza [Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis]. Moscow, Nauka, 1976, 542 pp. (In Russian)
  23. Vladimirov V. S. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1988, 512 pp. (In Russian)
  24. Romanov V. G. Obratnye zadachi matematicheskoi fiziki [Inverse Problem for Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1984, 310 pp. (In Russian)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».