Thermomechanical states of gyrotropic micropolar solids

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The paper is devoted to problems of modeling heat conduction processes in micropolar elastic solids, all thermomechanical states of which may be sensible to mirror reflections of three-dimensional space. A new variant of the heat conduction theory is developed in terms of the heat fluxes treated as pseudovectors of algebraic weight \(+1\) making their similar to the pseudovector of spinor displacements known from previous discussions. Constitutive pseudoinvariants (at least some of them) have odd negative weights (for example, thermal conductivity coefficient and specific heat). Having choosing elements of volume and area as natural known from the classical field theory formulations and considered as pseudoinvariants of weight \(-1\), the variant of theory is proposed. An absolute contravariant vector represents translational displacements and a contravariant pseudovector of weight \(+1\) does spinor displacements. As a result, heat flux, force stress tensor, mass density and specific heat can be treated as pseudotensor quantities of odd weights. The Helmholtz free energy per unit natural volume element is used as the thermodynamic potential with the functional arguments: temperature, symmetrical parts and accompanying vectors of the linear asymmetric strain tensor and wryness pseudotensor. The principle of absolute invariance of absolute thermodynamic temperature is proposed and discussed. A nonlinear heat conduction equation is obtained and linearized.

About the authors

Evgenii V. Murashkin

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: evmurashkin@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-3267-4742
https://www.mathnet.ru/person53045

Cand. Phys. & Math. Sci., PhD, MD; Senior Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101–1

Yuri N. Radayev

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: y.radayev@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-0866-2151
https://www.mathnet.ru/person39479

D.Sc. (Phys. & Math. Sci.), Ph.D., M.Sc., Professor; Leading Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101–1

References

  1. Lakes R. Elastic and viscoelastic behavior of chiral materials, Int. J. Mech. Sci., 2001, vol. 43, no. 7, pp. 1579–1589. DOI: https://doi.org/10.1016/S0020-7403(00)00100-4.
  2. Mackay T. G., Lakhtakia A. Negatively refracting chiral metamaterials: a review, SPIE Reviews, 2010, vol. 1, no. 1, 018003. DOI: https://doi.org/10.1117/6.0000003.
  3. Tomar S. K., Khurana A. Wave propagation in thermo-chiral elastic medium, Appl. Math. Model., 2013, vol. 37, no. 22, pp. 9409–9418. DOI: https://doi.org/10.1016/j.apm.2013.04.029.
  4. Radayev Yu. N. The Lagrange multipliers method in covariant formulations of micropolar continuum mechanics theories, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2018, vol. 22, no. 3, pp. 504–517 (In Russian). EDN: YOYJQD. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1635.
  5. Neuber H. Über Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat–Körper, Acta Mechanica, 1966, vol. 2, pp. 48–69. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01176729.
  6. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua, In: Applied Mechanics; eds. H. Görtler. Berlin, Heidelberg, Springer, 1966, pp. 153–158. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-29364-5_16.
  7. Radayev Yu. N., Murashkin E. V. Pseudotensor formulation of the mechanics of hemitropic micropolar media, Problems of Strength and Plasticity, 2020, vol. 82, no. 4, pp. 399–412 (In Russian). EDN: TODIFV. DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.
  8. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On a micropolar theory of growing solids, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 3, pp. 424–444. EDN: TYGBER. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1792.
  9. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On the theory of linear hemitropic micropolar media, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2020, no. 4(46), pp. 16–24 (In Russian). EDN: IZKTBQ. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2020.89.81.031.
  10. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Coupled thermoelasticity of hemitropic media. Pseudotensor formulation, Mech. Solids, 2023, vol. 58, no. 3, pp. 802–813. DOI: https://doi.org/10.3103/s0025654423700127.
  11. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity, Lobachevskii J. Math., 2023, vol. 44, no. 6, pp. 2440–2449. EDN: PINYDI. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223060392.
  12. Truesdell C., Toupin R. The classical field theories, In: Encyclopedia of Physics, vol. III/1, Principles of Classical Mechanics and Field Theory; eds. S. Flügge. Berlin, Göttingen, Heidelberg, Springer, 1960, pp. 226–902. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-45943-6_2.
  13. Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicist. Oxford, Clarendon Press, 1951, 434 pp.
  14. Sokolnikoff I. S. Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, 1964, 361 pp.
  15. Synge J. L., Schild A. Tensor Calculus. New York, Dover Publ., 1978, xi+324 pp.
  16. Das A. J. Tensors: The Mathematics of Relativity Theory and Continuum Mechanics. Berlin, Springer Science & Business Media, 2007, xii+290 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-0-387-69469-6.
  17. Gurevich G. B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen, Noordhoff, 1964, 429 pp.
  18. Veblen O., Thomas T. Y. Extensions of relative tensors, Trans. Amer. Math. Soc., 1924, vol. 26, no. 3, pp. 373–377. DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1924-1501284-6.
  19. Veblen O. Invariants of Quadratic Differential Forms. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1927, viii+102 pp.
  20. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des Corps déformables. Paris, A. Herman et Fils, 1909, vi+226 pp.
  21. Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Wien, Springer, 1972, 285 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2720-9.
  22. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, Pergamon Press, 1986, viii+383 pp.
  23. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity, Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Berlin, Heidelberg, Springer, 2004, xv+345 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-45286-7.
  24. Besdo D. Ein Beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat–Kontinuums, Acta Mechanica, 1974, vol. 20, no. 1, pp. 105–131. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01374965.
  25. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Heat conduction of micropolar solids sensitive to mirror reflections of three-dimensional space, Uchen. Zap. Kazan. Univ. Ser. Fiz.-Matem. Nauki, 2023, vol. 165, no. 4 (to appear) (In Russian).
  26. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Schouten’s force stress tensor and affinor densities of positive weight, Problems of Strength and Plasticity, 2022, vol. 84, no. 4, pp. 545–558 (In Russian). EDN: KPMGGN. DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2022-84-4-545-558.
  27. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. The Schouten force stresses in continuum mechanics formulations, Mech. Solids, 2023, vol. 58, no. 1, pp. 153–160. DOI: https://doi.org/10.3103/s0025654422700029.
  28. Kovalev V. A., Radayev Yu. N. Elementy teorii polia: variatsionnye simmetrii i geometricheskie invarianty [Elements of Field Theory: Variational Symmetries and Geometric Invariants]. Moscow, Fizmatlit, 2009, 160 pp (In Russian). EDN: MWDGDN.
  29. Kovalev V. A., Radayev Yu. N. Volnovye zadachi teorii polia i termomekhanika [Wave Problems of Field Theory and Thermomechanics]. Saratov, Saratov Univ., 2010, 328 pp (In Russian). EDN: QJXSPX.
  30. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On a ordering of area tensor elements orientations in a micropolar continuum immersed in an external plane space, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2021, vol. 25, no. 4, pp. 776–786 (In Russian). EDN: ZKIAAJ. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1883.
  31. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On theory of oriented tensor elements of area for a micropolar continuum immersed in an external plane space, Mech. Solids, 2022, vol. 57, no. 2, pp. 205–213. EDN: SNKUNC. DOI: https://doi.org/10.3103/s0025654422020108.
  32. Finikov S. P. Metod vneshnikh form Kartana v differentsial’noi geometrii [Cartan’s Method of External Forms in Differential Geometry]. Leningrad, Moscow, GITTL, 1948, 432 pp. (In Russian)
  33. Cartan H. Differentsial’noe ischislenie. Differentsial’nye formy [Differential Calculus. Differential Forms]. Moscow, Mir, 1971, 392 pp. (In Russian)
  34. Efimov N. V. Vvedenie v teoriiu vneshnikh form [Introduction to the Theory of External Forms]. Moscow, Nauka, 1977, 88 pp. (In Russian)
  35. Pars L. A. Analiticheskaia dinamika [Analytical Dynamics]. Moscow, Nauka, 1971, 636 pp. (In Russian)
  36. Radayev Yu. N. Tensors with constant components in the constitutive equations of hemitropic micropolar solids, Mech. Solids, 2023, vol. 58, no. 5, pp. 1517–1527. DOI: https://doi.org/10.3103/S0025654423700206.
  37. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Algebraic algorithm for systematically reducing onepoint pseudotensors to absolute tensors, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 1(51), pp. 17–26 (In Russian). EDN: ZJWFGT. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.51.1.002.
  38. Rozenfel’d B. A. Mnogomernye prostranstva [Multidimensional Spaces]. Moscow, Nauka, 1966, 648 pp. (In Russian)
  39. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Covariantly constant tensors in Euclidean spaces. Elements of the theory, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 2(52), pp. 106–115 (In Russian). EDN: FQVGRK. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.012.
  40. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Covariantly constant tensors in Euclidean spaces. Applications to continuum mechanics, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 2(52), pp. 118–127 (In Russian). EDN: ESTJSA. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.013.
  41. Poincaré H. Sur les residus des integrales doubles, Acta math, 1887, vol. 6, pp. 321–380.
  42. Poincaré H. Analysis situs, J. Éc. Politech., 1895, vol. 2, no. 1, pp. 1–123 (In French).
  43. Murashkin E. V. On the formulation of boundary conditions in problems of synthesis of woven 3D materials, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2021, no. 1(47), pp. 114–121 (In Russian). EDN: CSFKRW. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2021.1.47.010.
  44. Jeffreys H. Cartesian Tensors. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1931, 105 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».