On the solvability of an initial boundary problem for a high even order degenerate equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

A degenerate partial differential equation of high even order is considered in the rectangle. For the considered equation, an initial-boundary problem has been formulated and the uniqueness, existence, and stability of the solution to this problem has been investigated. The uniqueness of the solution to the problem has been proved by the method of integral identities. The existence of a solution to the problem was investigated by methods of separation of variables. Here, we first studied the spectral problem for an ordinary differential equation of high even order, which follows from the considered problem in the separation of variables. The Green’s function of the spectral problem was constructed. Using this, the spectral problem was equivalently reduced to an integral Fredholm equation of the second kind with a symmetric kernel. Hence, on the basis of the theory of integral equations, it is concluded that there are a countable number of eigenvalues and eigenfunctions of the spectral problem. The conditions were found under which a given function is expanded into a uniformly convergent Fourier series in terms of eigenfunctions of the spectral problem. Using the properties of the Green’s function and the eigenfunctions of the spectral problem, we proved a lemma on the uniform convergence of some bilinear series. Lemmas on the order of the Fourier coefficients of a given function were also proved. The solution to the problem under study has been written as the sum of a Fourier series with respect to the system of eigenfunctions of the spectral problem. The uniform convergence of this series and the series obtained from it by term-by-term differentiation were proved using the lemmas listed above. At the end of the article, two estimates are obtained for solution of the formulated problem, one of which is in the space of square summable functions with weight, and the other is in the space of continuous functions. These inequalities imply the stability of the solution in the corresponding spaces.

About the authors

Akhmdjon Kushakovich Urinov

Fergana State University; Institute of Mathematics named after V. I. Romanovsky
of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan

Author for correspondence.
Email: uinovak@mil.ru
ORCID iD: 0000-0002-9586-1799
https://www.mathnet.ru/person30024

Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations; Leading Researcher

Uzbekistan, 150100, Fergana, Murabbiylar st., 19; 100174, Tashkent, Universitetskaya st., 46

Dastonbek Dilshodek ogli Oripov

Fergana State University

Email: dastonbekoripov94@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-0212-6964
https://www.mathnet.ru/person203582

Basic Doctoral Student; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations

Uzbekistan, 150100, Fergana, Murabbiylar st., 19

References

  1. Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1966, 724 pp. (In Russian)
  2. Timoshenko S. P. Vibration Problems in Engineering. Chichester, Wiley, 1974, 538 pp.
  3. Korenev B. G. Voprosy rascheta balok i plit na uprugom osnovanii [Analysis of Beams and Plates on Elastic Foundation]. Moscow, Stroiizdat, 1954, 156 pp. (In Russian)
  4. Filippov A. P. Kolebaniia deformiruemykh sistem [Oscillations of Deformable Systems]. Moscow, Mashinostroenie, 1970, 734 pp. (In Russian)
  5. Krylov A. N. Vibratsiia sudov [Vibration of Ships]. Leningrad, Moscow, 1936 (In Russian).
  6. Sabitov K. B. Cauchy problem for the beam vibration equation, Differ. Equat., 2017, vol. 53, no. 5, pp. 658–664. EDN: XNIRNN. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266117050093.
  7. Sabitov K. B. Fluctuations of a beam with clamped ends, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 2, pp. 311–324 (In Russian). EDN: UGXNZR. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1406.
  8. Sabitov K. B. A remark on the theory of initial-boundary value problems for the equation of rods and beams, Differ Equat., 2017, vol. 53, no. 1, pp. 86–98. EDN: YVJCOJ. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266117010086.
  9. Sabitov K. B., Akimov A. A. Initial-boundary value problem for a nonlinear beam vibration equation, Differ. Equat., 2020, vol. 56, no. 5, pp. 621–634. EDN: VFFDXC. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266120050079.
  10. Sabitov K. B. Inverse problems of determining the right-hand side and the initial conditions for the beam vibration equation, Differ. Equat., 2020, vol. 56, no. 6, pp. 761–774. EDN: ULGVTX. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266120060099.
  11. Sabitov K. B., Fadeeva O. V. Initial-boundary value problem for the equation of forced vibrations of a cantilever beam, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2021, vol. 25, no. 1, pp. 51–66 (In Russian). EDN: SXRWIP. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1845.
  12. Urinov A. K., Azizov M. S. A boundary problem for the loaded partial differential equations of fourth order, Lobachevskii J. Math., 2021, vol. 42, no. 3, pp. 621–631. EDN: GZFFEC. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080221030197.
  13. Urinov A. K., Azizov M. S. Boundary value problems for a fourth order partial differential equation with an unknown right-hand part, Lobachevskii J. Math., 2021, vol. 42, no. 3, pp. 632–640. EDN: JDWUYD. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080221030203.
  14. Sabitov K. B. Initial-boundary value problems for equation of oscillation of a rectangular plate, Russian Math. (Iz. VUZ), 2021, vol. 65, no. 10, pp. 52–62. EDN: FCMYHQ. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X21100054.
  15. Sabitov K. B. Vibrations of plate with boundary “hinged attachment” conditions, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 4, pp. 650–671 (In Russian). EDN: CXCQCU. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1950.
  16. Kasimov S. G., Madrakhimov U. S. Initial-boundary value problem for the beam vibration equation in the multidimensional case, Differ. Equat., 2019, vol. 55, no. 10, pp. 1336–1348. EDN: ZNTNRD. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266119100094.
  17. Amanov D. J., Yuldasheva A. V. Solvability and spectral properties of boundary value problems for equations of even order, Malays. J. Math. Sci., 2009, vol. 3, no. 2, pp. 227–248. EDN: XMCRSH.
  18. Amanov D., Ashyralyev A. Well-posedness of boundary value problems for partial differential equations of even order, AIP Conf. Proc., 2012, vol. 1470, no. 1, pp. 3–7. DOI: https://doi.org/10.1063/1.4747625.
  19. Irgashev B. Yu. On a problem with conjugation conditions for an equation of even order involving a Caputo fractional derivative, Math. Notes, 2022, vol. 112, no. 2, pp. 215–222. EDN: YMKTPZ. DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434622070252.
  20. Urinov A. K., Azizov M. S. An initial boundary value problem for a partial differential equation of higher even order with a Bessel operator, [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 2, pp. 273–292 (In Russian). EDN: LKMGUE. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1893.
  21. Urinov A. K., Azizov M. S. On the solvability of nonlocal initial-boundary value problems for a partial differential equation of high even order, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2022, vol. 32, no. 2, pp. 240–255 (In Russian). EDN: HNVGQS. DOI: https://doi.org/10.35634/vm220206.
  22. Azizov M. S. About an initial-boundary value problem for a partial differential equation of higher even order with the Bessel operator, Bull. Inst. Math., 2022, vol. 5, no. 1, pp. 14–24 (In Russian).
  23. Urinov A. K., Usmonov D. A. An initial-boundary problem for a hyperbolic equation with three lines of degenerating of the second kind, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 4, pp. 672–693 (In Russian). EDN: DIOYZF. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1962.
  24. Urinov A. K., Usmonov D. A. Initial boundary value problems for a fourth order equation with three lines of degeneracy, Uzbek Math. J., 2023, vol. 67, no. 1, pp. 129–136. DOI: https://doi.org/10.29229/uzmj.2023-1-17.
  25. Non-local initial-boundary value problem for a degenerate fourth-order equation with a fractional Gerasimov–Caputo derivative, Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2023, vol. 42, no. 1, pp. 123–139 (In Russian). EDN: INZPHJ. DOI: https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-123-139.
  26. Baikuziev K. B., Kalanov B. S. On the solvability of a mixed problem for a higher-order equation that degenerates on the boundary of a domain, In: Boundary Value Problems for Differential Equations, vol. 2. Tashkent, Fan, 1972, pp. 40–54 (In Russian).
  27. Irgashev B. Yu. A boundary value problem with conjugation conditions for a degenerate the equations with the Caputo fractional derivative, Russian Math. (Iz. VUZ), 2022, vol. 66, no. 4, pp. 24–31 (In Russian). DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X2204003X.
  28. Urinov A. K., Azizov M. S. About an initial boundary problem for a degenerate higher even order partial differential equation, Sib. Zh. Ind. Mat., 2023, vol. 26, no. 2, pp. 155–170 (In Russian). DOI: https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2023.26.213.
  29. Urinov A. K., Azizov M. S. On an initial boundary value problem for a degenerate partial differential equation of high even order, In: Nonclassical Equations of Mathematical Physics and their Applications, International Scientific Conference (Tashkent, 6–8 October 2022). Tashkent, National Univ. of Uzbekistan, 2022, pp. 186–187.
  30. Erdélyi A. Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions, vol. II, Bateman Manuscript Project. New York, Toronto, London, McGraw-Hill Book Co., 1953, xvii+396 pp.
  31. Naimark M. A. Lineinye differentsial’nye operatory [Linear Differential Operators]. Moscow, Nauka, 1969, 528 pp. (In Russian)
  32. Mikhlin S. G. Lektsii po lineinym integral’nym uravneniiam [Lectures on Linear Integral Equations]. Moscow, Fizmatgiz, 1959, 232 pp. (In Russian)
  33. Watson G. N. A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge Mathematical Library. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1995, vi+804 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».