Об одной задаче с оператором М. Сайго в краевом условии для нагруженного уравнения теплопроводности

Доказано существование единственного решения неклассической краевой задачи для уравнения теплопроводности, нагруженного значением искомой функции $u(x, y)$ на границе $x=0$ прямоугольной области $\Omega= \{ (x, t) : 0$ < $x$ < $l$, $0$ < $t$ < $T \}$. Одно из краевых условий исследуемой задачи содержит обобщённый оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле М. Сайго. Используя свойства функции Грина смешанной краевой задачи и указанное краевое условие, можно свести задачу к интегральному уравнению вольтерровского типа относительно следа искомой функции $u(0, t)$. Показано, что полученное уравнение является интегральным уравнением Вольтерра второго рода со слабой особенностью в ядре, которое однозначно и безусловно разрешимо. Основной результат приведён в виде теоремы. Рассмотрен один частный случай, когда обобщённый оператор дробного интегро-дифференцирования М. Сайго в краевом условии сводится к оператору Кобера—Эрдейи. Обосновано существование единственного решения краевой задачи в этом случае.

loaded heat equation, generalized operator of fractional integrodifferentiation, Green function, Volterra integral equations