Modeling of freezing processes by an one-dimensional thermal conductivity equation with fractional differentiation operators


Cite item

Full Text

Abstract

We have studied the Stefan problem with Caputo fractional order time derivatives. The difference scheme is built. The algorithm and the program for a numerical solution of the Stefan problem with fractional differentiation operator are created. For the given entry conditions and freezing ground parameters we have obtained the space-time temperature dependences for different values of parameter α. The functional dependences of the interface motion for the generalized Stefan conditions depending on the value of α are estimated. Finally we have found that the freezing process is slowed down during the transition to fractional derivatives.

About the authors

Vetlugin D Beybalaev

Dagestan State University; Institute of Geothermal Problems, Dagestan Scientific Center of RAS

Email: kaspij_03@mail.ru
Cand. Phis.& Math. Sci., Associate Professor; Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics; Senior Researcher, Lab. of Mathematical Modeling of Geothermal Objects 43a, M. Gadzhiev st., Makhachkala, 367025, Russian Federation; 39a, Shamilya av., Makhachkala, 367030, Russian Federation

Abutrab A Aliverdiev

Dagestan State University; Institute of Geothermal Problems, Dagestan Scientific Center of RAS

Email: aliverdi@mail.ru
Dr. Phis.& Math. Sci., Professor; Professor, Dept. of Applied Mathematics; Head of the Laboratory, Lab. of Mathematical Modeling of Geothermal Objects 43a, M. Gadzhiev st., Makhachkala, 367025, Russian Federation; 39a, Shamilya av., Makhachkala, 367030, Russian Federation

Ramazan A Magomedov

Institute of Geothermal Problems, Dagestan Scientific Center of RAS

Email: ramazan_magomedov@rambler.ru
Senior Researcher; Lab. of Mathematical Modeling of Geothermal Objects 39a, Shamilya av., Makhachkala, 367030, Russian Federation

Rashid R Meilanov

Institute of Geothermal Problems, Dagestan Scientific Center of RAS

Junior Researcher; Lab. of Mathematical Modeling of Geothermal Objects 39a, Shamilya av., Makhachkala, 367030, Russian Federation

Enver N Akhmedov

Institute of Geothermal Problems, Dagestan Scientific Center of RAS

Email: aen-code@yandex.ru
Junior Researcher; Lab. of Mathematical Modeling of Geothermal Objects 39a, Shamilya av., Makhachkala, 367030, Russian Federation

References

  1. Liu Junyi, Xu Mingyu Some exact solutions to Stefan problems with fractional differential equations // J. Math. Anal. Appl., 2009. vol. 351, no. 2. pp. 536-542. doi: 10.1016/j.jmaa.2008.10.042.
  2. Мейланов Р. П., Бейбалаев В. Д., Шахбанова М. Р. Прикладные аспекты дробного исчисления. Saarbrücken: Palmarium Academic Publishing, 2012. 135 с.
  3. Алхасов А. Б., Мейланов Р. П., Шабанова М. Р. Уравнение теплопроводности в производных дробного порядка // ИФЖ, 2011. Т. 84, № 2. С. 309-317.
  4. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  5. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  6. Tadjeran C., Meerschaert M. M., Scheeffler H.-P. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation // Journal of Computational Physics, 2006. vol. 213, no. 1. pp. 205-213. doi: 10.1016/j.jcp.2005.08.008.
  7. Meerschaert M. M., Tadjeran C. Finite difference approximations for two-sided spacefractional partial differential equations // Applied Numerical Mathematics, 2006. vol. 56, no. 1. pp. 80-90. doi: 10.1016/j.apnum.2005.02.008.
  8. Лафишева M. M., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2008. Т. 48, № 10. С. 1878-1887.
  9. Алиханов А. А. Разностные методы решения краевых задач для волнового уравнения с дробной производной по времени // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. № 2(17). С. 13-20. doi: 10.14498/vsgtu606.
  10. Бейбалаев В. Д. Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. № 1(18). С. 267-270. doi: 10.14498/vsgtu643.
  11. Бейбалаев В. Д. Математическая модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой // Матем. моделирование, 2009. Т. 21, № 5. С. 55-62.
  12. Таукенова Ф. И., Шхануков-Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2006. Т. 46, № 10. С. 1871-1881.
  13. Головизнин В. М., Короткин И. А. Методы численного решения некоторых одномерных уравнений с дробными производными // Дифференц. уравнения, 2006. Т. 42, № 7. С. 907-913.
  14. Бейбалаев В. Д., Абдуллаев И. А., Наврузова К. А., Гаджиева Т. Ю. О разностных методах решения задачи Коши для ОДУ с оператором дробного дифференцирования // Вестник дагестанского государственного университета. Сер. 1. Естественные науки, 2014. № 6. С. 53-61.
  15. Кузнецов Г. В., Шеремет М. А. Разностные методы решения задач теплопроводности. Томск: Томск. политехн. ун-т, 2007. 172 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».