The quasi-one-dimensional hyperbolic model of hydraulic fracturing


Cite item

Full Text

Abstract

The paper describes a quasi-one-dimensional hyperbolic model of hydraulic fracture growth assuming for the hydraulic fracturing that stress intensity is much higher than fracture resistance. The mode under analysis, which accounts for convective and unsteady terms in the fluid flow equation, is a generalization of the Perkins-Kern-Nordgren local model. It has been proved that the obtained system of differential equations is a quasi-linear strictly hyperbolic system, for which the characteristics were found as well as their correlations. For the case of the Coriolis correction neglect, the Riemann invariants were found. Neglecting the injected fluid leak-off and viscosity, the Riemann waves, similar to simple plane waves in gas dynamics, were defined and their properties were studied. The evolutionism of fracture boundaries was investigated. The initial boundary value problem was set for fracture growth. It has been shown that the neglect of dissipative terms in the presented model allows constructing a simple wave theory analogous to the theory of one-dimensional gas dynamics for isentropic plane waves.

About the authors

Aidar M Ilyasov

Ufa State Aviation Technical University

Email: amilyasov67@gmail.com
(Cand. Phys. & Math. Sci.; amilyasov67@gmail.com), Senior Researcher, Dept. of Mathematics 12, K. Marx st., Ufa, 450000, Russian Federation

Guzel T Bulgakova

Ufa State Aviation Technical University

Email: bulgakova.guzel@mail.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; bulgakova.guzel@mail.ru; Corresponding Author), Professor, Dept. of Mathematics 12, K. Marx st., Ufa, 450000, Russian Federation

References

  1. Желтов Ю. П., Христианович С. А. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта // Изв. АН СССР. ОТН, 1955. № 5. С. 3-41.
  2. Мусхелишвили Н. Н. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
  3. Perkins T. K., Kern. L. R. Widths of Hydraulic Fractures // J. Petroleum Technol., 1961. vol. 13, no. 9. pp. 937-949. doi: 10.2118/89-pa.
  4. Nordgren R. P. Propogation of a vertical hydraulic fracture // Society of Petroleum Engineers Journal, 1972. vol. 12, no. 4. pp. 306-314. doi: 10.2118/3009-pa.
  5. Ивашнев О. Е., Смирнов Н. Н. Формирование трещины гидроразрыва в пористой среде // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, Механика, 2003. № 6. С. 28-37.
  6. Басниев К. С., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидромеханика. М.: Недра, 1993. 416 с.
  7. Гордеев Ю. Н., Зазовский А. Ф. Автомодельное решение задачи о глубокопроникающем гидравлическом разрыве пласта // Изв. РАН. МТТ, 1991. № 5. С. 119-131.
  8. Смирнов Н. Н., Тагирова В. Р. Автомодельные решения задачи о формировании трещины гидроразрыва в пористой среде // Изв. РАН. МЖГ, 2007. № 1. С. 70-82.
  9. Теодорович Э. В., Трофимов А. А., Шумилин И. Д. Форма плоской трещины гидрoразрыва в упругой непроницаемой среде при различных скоростях закачки // Изв. РАН. МЖГ, 2011. № 4. С. 109-118.
  10. Garagash D. I., Detournay E. Plane-strain propagation of a hydraulic fracture: small toughness solution // J. Appl. Mech., 2005. vol. 72, no. 6. pp. 916-928. doi: 10.1115/1.2047596.
  11. Garagash D. I. Plane strain propagation of a hydraulic fracture during injection and shutin: large toughness solutions // Engng. Fract. Mech., 2006. vol. 73, no. 4. pp. 456-481. doi: 10.1016/j.engfracmech.2005.07.012.
  12. Adachi J. I., Detournay E. Plane-strain propagation of a hydraulic fracture in a permeable rock // Engng. Fract. Mech., 2008. vol. 75, no. 16. pp. 4666-4694. doi: 10.1016/j.engfracmech.2008.04.006.
  13. Mitchell S. L., Kuske R., Peirce A. P. An asymptotic framework for finite hydraulic fractures including leak-off // SIAM J. Appl. Math., 2007. vol. 67, no. 2. pp. 346-386. doi: 10.1137/04062059x.
  14. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.
  15. Sneddon I. N., Berry D. S. The classical theory of elasticity / Elasticity and Plasticity / Encyclopedia of Physics, 6; ed. S. Flügge. Berlin: Springer-Verlag, 1958. pp. 1-126. doi: 10.1007/978-3-662-43081-1_1.
  16. Чарный И. А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: Недра, 1975. 296 с.
  17. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М.: Машиностроение, 1992. 672 с.
  18. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. 608 с.
  19. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. 688 с.
  20. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М., Ижевск: Инс-т комп. Иссл., 2003. 336 с.
  21. Черный Г. Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.
  22. Pedley T. J. The Fluid Mechanics of Large Blood Vessels / Cambridge Monographs on Mechanics and Applied Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 1980. xv+446 pp. doi: 10.1017/cbo9780511896996.
  23. Зверев И. Н., Смирнов Н. Н. Газодинамика горения. М.: МГУ, 1987. 307 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».