Email this article On the problem of optimal control in the coefficients of an elliptic equation
- Authors: Tagiev R.K1, Kasimova R.S1
-
Affiliations:
- Baku State University
- Issue: Vol 21, No 2 (2017)
- Pages: 278-291
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1991-8615/article/view/20538
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1507
- ID: 20538
Cite item
Full Text
Abstract
In this paper we consider the optimal control problem for linear elliptic equations of the second order. Control functions are included in the coefficients of the equation for the state, including the coefficients of the highest derivatives. Space management is a product of Lebesgue and Sobolev spaces. The functional purpose is the sum of the integrals over the region and part of its border. The problems of correct statement of the problem in the weak topology of the space of controls are studied. It is proved that a set of optimal control problems is not empty, it is weakly compact and every minimizing sequence of the functional goals converges weakly in the space of controls to the set of optimal controls. The examples show that the solution of the problem can be not unique and minimizing sequence for the functional purpose can not have a limit in the strong topology of space management. Differentiability of proved Frechet functional is proved and the expression for its gradient is found. A necessary condition for optimality in the form of variational inequalities.
Full Text
##article.viewOnOriginalSite##About the authors
Rafig K Tagiev
Baku State University
Email: r.tagiyev@list.ru
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of the Dept.; Dept. of Optimization and Control 23, Z. Khalilov st., Baku, AZ-1148, Azerbaijan
Rena S Kasimova
Baku State University
Email: rena.kasimova@list.ru
Teacher; Dept. of Optimization and Control 23, Z. Khalilov st., Baku, AZ-1148, Azerbaijan
References
- Лурье К. А. Оптимальное управления в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. 480 с.
- Литвинов В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987. 368 с.
- Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320 с.
- Lions J.-L. Optimal control of systems governed by partial differential equations / Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 170. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1971. xi+396 pp. doi: 10.1007/978-3-642-65024-6.
- Murat F. Contre-exemples pour divers problèms où le contrôle intervient dans les coefficients // Ann. Mat. Pura Appl., 1977. vol. 112. pp. 49-68.
- Tagiev R. K., Kasymova R. S. On an optimal problem for the coefficients of an elliptic equation a quality criterion of the boundary of domain // Trans. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci., 2015. vol. 35, no. 1. pp. 157-163, http://trans.imm.az/volumes/35-1/35-01-23.pdf.
- Zolezzi T. Necessary conditions for optimal control of elliptic or parabolic problems // SIAM J. Control, 1972. vol. 10, no. 4. pp. 594-607. doi: 10.1137/0310044.
- Мадатов М. Д. О задачах с управлениями в коэффициентах эллиптических уравнений // Матем. заметки, 1983. Т. 34, № 6. С. 873-882.
- Райтум У. Е. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. Математические вопросы. Рига: Зинатне, 1989. 277 с.
- Tagiyev R. K. Optimal control problems for elliptic equation with controls in coefficients // Trans. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci., 2003. vol. 23, no. 4. pp. 251-260.
- Casado D., Couce C., Martin G. Optimality conditions for nonconvex multistate control problems in the coefficients // SIAM J. Control Optim., 2004. vol. 43, no. 1. pp. 216-239. doi: 10.1137/S0363012902411714.
- Тагиев Р. К. Оптимальное управление коэффициентами квазилинейного эллиптического уравнения // Автомат. и телемех., 2010. № 9. С. 19-32.
- Тагиев Р. К. Об оптимальном управлении коэффициентами эллиптического уравнения // Дифференц. уравнения, 2011. Т. 47, № 6. С. 871-879.
- Iskenderov A. D., Tagiyev R. K. Optimal control problem with controls in coefficients of quasilinear elliptic equation // Eurasian J. Math. Comput. Appl., 2013. vol. 1, no. 2. pp. 21-39.
- Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
- Самарский А. А., Лазаров Р. Д., Макаров В. Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высш. шк., 1987. 296 с.
- Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 736 с.
- Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. Задачи минимизации в функциональных пространствах, регуляризация, аппроксимация. М.: Наука, 1981. 400 с.
Supplementary files
