On a speed of solutions stabilization of the Cauchy problem for the Carleman equation with periodic initial data


Cite item

Full Text

Abstract

This article explores a one-dimensional system of equations for the discrete model of a gas (Carleman system of equations). The Carleman system is the Boltzmann kinetic equation of a model one-dimensional gas consisting of two particles. For this model, momentum and energy are not retained. On the example of the Carleman model, the essence of the Boltzmann equation can be clearly seen. It describes a mixture of "competing” processes: relaxation and free movement. We prove the existence of a global solution of the Cauchy problem for the perturbation of the equilibrium state with periodic initial data. For the first time we calculate the stabilization speed to the equilibrium state (exponential stabilization).

About the authors

Sergey A Dukhnovskii

National Research Moscow State University of Civil Engineering

Email: sergeidukhnvskijj@rambler.ru
Postgraduate Student; Dept. of Applied Mathematics 26, Yaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

References

  1. Годунов С. К., Султангазин У. М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // УМН, 1971. Т. 26, № 3(159). С. 3-51.
  2. Broadwell T. E. Study of rarefied shear flow by the discrete velocity method // Journal of Fluid Mechanics, 1971. vol. 19, no. 3. pp. 401-414. doi: 10.1017/S0022112064000817.
  3. Vedenyapin V., Sinitsyn A., Dulov E. Kinetic Boltzmann, Vlasov and related equations. Amsterdam: Elsevier, 2011. xiii+304 pp. doi: 10.1016/c2011-0-00134-5.
  4. Васильева О. А., Духновский С. А., Радкевич Е. В. О природе локального равновесия уравнений Карлемана и Годунова-Султангазина / Труды Седьмой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 22-29 августа, 2014). Часть 3 / СМФН, Т. 60. М.: РУДН, 2016. С. 23-81.
  5. Carleman T. Problèmes mathématiques dans la théorie cinétique des gaz / Publications Scientifiques de l’Institut Mittag-Leffler. vol. 2. Uppsala: Almqvist & Wiksells, 1957. 112 pp.
  6. Boltzmann L. Lectures on Gas Theory. Berkeley: University of California Press, 1964. 490 pp.
  7. Васильева О. А., Духновский С. А., Радкевич Е. В. О локальном равновесии уравнения Карлемана // Проблемы математического анализа, 2015. Т. 78. С. 165-190.
  8. Годунов С. К. Проблема обобщенного решения в теории квазилинейных уравнений и в газовой динамике // УМН, 1962. Т. 17, № 3(105). С. 147-158.
  9. Ильин О. В. Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы Карлемана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2007. Т. 47, № 12. С. 2076-2087.
  10. Васильева О. А., Духновский С. А. Условие секулярности кинетической системы Карлемана // Вестник МГСУ, 2015. № 7. С. 33-40. doi: 10.22227/1997-0935.2015.7.33-40.
  11. Buslaev V., Komech A., Kopylova E. A., Stuart D. On asymptotic stability of solitary waves in Schrödinger equation coupled to nonlinear oscillator // Commun. Partial Differ. Equations, 2008. vol. 33, no. 4. pp. 669-705. doi: 10.1080/03605300801970937.
  12. Komech A., Kopylova E. A. On asymptotic stability of solitons in a nonlinear Schrödinger equation // Commun. Pure Appl. Anal., 2012. vol. 11, no. 3. pp. 1063-1079. doi: 10.3934/cpaa.2012.11.1063.
  13. Komech A., Kopylova E. A. Dispersion decay and scattering theory. New Jersey: John Willey and Sons, 2012. 175+xxvi pp. doi: 10.1002/9781118382868
  14. Kopylova E. A. On long-time decay for magnetic Schrödinger and Klein-Gordon equations / Дифференциальные уравнения и динамические системы: Сборник статей / Тр. МИАН, Т. 278. М.: МАИК, 2012. С. 129-137.
  15. Буслаев В. С., Перельман Г. С. Рассеяние для нелинейного уравнения Шрёдингера: состояния, близкие к солитону // Алгебра и анализ, 1992. Т. 4, № 6. С. 63-102.
  16. Buslaev V. S., Perelman G. S. On the stability of solitary waves for nonlinear Schrödinger equations // Amer. Math. Soc. Transl., 1995. vol. 164, no. 22. pp. 75-98.
  17. Buslaev V. S., Sulem C. On asymptotic stability of solitary waves for nonlinear Schrödinger equations // Annales de l’Institut Henri Poincare (C) Non Linear Analysis, 2003. vol. 20, no. 3. pp. 419-475, arXiv: math-ph/0702013. doi: 10.1016/S0294-1449(02)00018-5.
  18. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Издательство Московского университета, 1982. 294 с.
  19. Вайнберг Б. Р. О коротковолновой асимптотике решений стационарных задач и асимптотике при t → ∞ решений нестационарных задач // УМН, 1975. Т. 30, № 2(182). С. 3-55.
  20. Вайнберг Б. Р. Поведение при больших временах решений уравнения Клейна-Гордона / Тр. ММО, Т. 30. М.: Издательство Московского университета, 1974. С. 139-158.
  21. Morawetz C. S., Strauss W. A. Decay and scattering of solutions of a nonlinear relativistic wave equation // Commun. Pure Appl. Anal., 1972. vol. 25, no. 1. pp. 1-31. doi: 10.1002/cpa.3160250103.
  22. Духновский С. А. Об оценках линеаризованного оператора кинетической системы Карлемана // Вестник МГСУ, 2016. № 9. С. 7-14. doi: 10.22227/1997-0935.2016.9.7-14.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).