Orthogonal Franklin system and orthogonal system of finite functions in numerical methods of boundary problems solving


Cite item

Full Text

Abstract

Possibilities of classical trigonometric Fourier series are substantially limited in 2-D and 3-D boundary value problems. Boundary conditions of such problems for areas with curvilinear boundaries often fails when using the classical Fourier series. The solution of this problem is the use of orthogonal finite functions. However, orthogonal Haar basis functions are not continuous. The orthogonal Daubechies wavelets have compact supports, but is not written in analytical form and have low smoothness. Continuous finite Schauder-Faber functions are not orthogonal. Orthogonal Franklin continuous functions are not finite. The connection of the orthogonal Franklin functions with a sequence of grid groups of piecewise linear orthogonal finite basis functions (OFF) is established here. The Fourier-OFF series on the basis of such continuous OFF is formed. Such series allows to execute boundary conditions of Dirichlet’s type on curvilinear boundaries in integral performances of boundary value problems. A similar problem is connected with a satisfaction of Neumann boundary conditions and also is eliminated in the integral mixed performances of boundary value problems. Fourier-OFF series increases the effectiveness of mixed numerical methods for boundary value problems solving.

About the authors

Victor L Leontiev

Ulyanovsk State University

Email: LeontievVL@ulsu.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; LeontievVL@ulsu.ru), Professor, Dept. of Information Security and Control Theory 42, L. Tolstoy st., Ulyanovsk, 432017, Russian Federation

References

  1. Леонтьев В. Л. Ортогональная система Франклина и ортогональная система финитных функций в численных методах решения краевых задач / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 228-229.
  2. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme // Math. Ann., 1910. vol. 69, no. 3. pp. 331-371. doi: 10.1007/bf01456326.
  3. Daubechles I. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets // Commun. Pure Appl. Math., 1988. vol. 41, no. 7. pp. 909-996. doi: 10.1002/cpa.3160410705 ; Daubechles I. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets / Fundamental Papers in Wavelet Theory. Princeton: Princeton University Press, 2009. pp. 564-652. doi: 10.1515/9781400827268.564 doi: 10.1515/9781400827268.
  4. Faber G. Uber die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1910. vol. 19. pp. 104-112.
  5. Shauder J. Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems // Math. Z., 1928. vol. 28, no. 1. pp. 317-320. doi: 10.1007/BF01181164.
  6. Franklin P. A set of continuous orthogonal functions // Math. Ann., 1928. vol. 100, no. 1. pp. 522-529. doi: 10.1007/bf01448860 ; Franklin P. A set of continuous orthogonal functions / Fundamental Papers in Wavelet Theory. Princeton: Princeton University Press, 2009. pp. 189-196. doi: 10.1515/9781400827268.189 doi: 10.1515/9781400827268.
  7. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара // Докл. Акад. наук СССР, 1963. Т. 149, № 3. С. 532-534.
  8. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара // Матем. сб., 1964. Т. 63(105), № 3. С. 356-391.
  9. Schipp F., Simon P. Investigation of Haar and Franklin series in Hardy spaces // Anal. Math., 1982. vol. 8, no. 1. pp. 47-56. doi: 10.1007/bf02073771.
  10. Геворкян Г. Г. Об абсолютной и безусловной сходимости рядов по системе Франклина // Матем. заметки, 1989. Т. 45, № 3. С. 30-42.
  11. Wojtaszczyk P., Woźniakowski K. Orthonormal polynomial bases in function spaces // Israel J. Math., 1991. vol. 75, no. 2/3. pp. 167-191. doi: 10.1007/bf02776023.
  12. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999. 550 с.
  13. Chen W., Cai Z., Qi D. A New Class of Orthogonal Spline Moments and Its Application // J. Inf. Comput. Sci., 2013. vol. 10, no. 14. pp. 4563-4571. doi: 10.12733/jics20102141.
  14. Леонтьев В. Л. Ортогональные финитные функции и численные методы. Ульяновск: УлГУ, 2003. 178 с.
  15. Леонтьев В. Л. Вариационно-сеточный метод решения задач о собственных колебаниях упругих трехмерных тел, связанный с использованием ортогональных финитных функций // Изв. РАН. МТТ, 2002. № 3. С. 117-126.
  16. Леонтьев В. Л. Ортогональные сплайны и вариационно-сеточный метод // Матем. моделирование, 2002. Т. 14, № 3. С. 117-127.
  17. Леонтьев В. Л., Лукашанец Н. Ч. О сеточных базисах ортогональных финитных функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1999. Т. 39, № 7. С. 1158-1168.
  18. Красильников А. Р., Леонтьев В. Л. О вариационно-сеточном методе теории пластин // Матем. моделирование, 2005. Т. 17, № 3. С. 23-34.
  19. Леонтьев В. Л., Риков Е. А. Интегральные преобразования, связанные с ортогональными финитными функциями, в задачах спектрального анализа сигналов // Матем. моделирование, 2006. Т. 18, № 7. С. 93-100.
  20. Леонтьев В. Л., Михайлов И. С. О построении потенциала взаимодействия атомов, основанном на ортогональных финитных функциях // Нано- и микросистемная техника, 2011. № 9. С. 48-50.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).