О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях


Цитировать

Полный текст

Аннотация

В работе выделен некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с младшими членами с нестепенными нелинейностями $$ \sum\limits_{\alpha=1}^{n}(a_{\alpha}({\bf x},u,\nabla u))_{x_{\alpha}}-a_0({\bf x},u,\nabla u)=0. $$ На каратеодориевы функции, входящие в уравнение, накладывается условие совокупной монотонности. Ограничения на рост функций формулируются в терминах специального класса выпуклых функций. Эти требования обеспечивают ограниченность, коэрцитивность, монотонность и~семинепрерывность соответствующего эллиптического оператора. Для рассматриваемых уравнений с нестепенными нелинейностями исследованы качественные свойства решений задачи Дирихле в неограниченных областях $\Omega\subset \mathbb{R}_n,\;n\geq 2$. Установлены существование и единственность обобщённых решений в анизотропных пространствах Соболева-Орлича. Кроме того, для произвольных неограниченных областей обобщены теоремы вложения анизотропных пространств Соболева-Орлича. Это позволило доказать глобальную ограниченность решений задачи Дирихле. Использована оригинальная геометрическая характеристика для неограниченных областей, расположенных вдоль выделенной оси. В терминах этой характеристики установлена экспоненциальная оценка скорости убывания на бесконечности решений рассматриваемой задачи с финитными данными.

Об авторах

Лариса Михайловна Кожевникова

Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал

Email: kosul@gmail.ru
(д.ф.-м.н., доц.; kosul@gmail.ru; автор, ведущий переписку), профессор, каф. математического анализа Россия, 453103, Стерлитамак, ул. Ленина, 47 a

Анна Александровна Хаджи

Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал

Email: anna_5955@mail.ru
старший преподаватель, каф. общенаучных дисциплин Россия, 453103, Стерлитамак, ул. Ленина, 47 a

Список литературы

  1. Кожевникова Л. М., Хаджи А. А. О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 199-200.
  2. Вишик М. И. О разрешимости первой краевой задачи для квазилинейных уравнений с быстрорастущими коэффициентами в классах Орлича // ДАН СССР, 1963. Т. 151, № 4. С. 758-761.
  3. Дубинский Ю. А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Матем. сб., 1965. Т. 67(109), № 4. С. 609-642.
  4. Donaldson T. Nonlinear elliptic boundary value problems in Orlicz-Sobolev spaces // J. Diff. Eq., 1971. vol. 10, no. 3. pp. 507-528. doi: 10.1016/0022-0396(71)90009-x.
  5. Климов В. С. Краевые задачи в пространствах Орлича-Соболева / Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль: Ярославский государственный университет, 1976. С. 75-93.
  6. De Giorgi E. Sulla differenziabilitàe l'analiticità delle estremali degli integrali multipliregolari // Mem. Acad. Sci. Torino, Serie III, 1957. vol. 3. pp. 25-43 (In Italian)
  7. De Giorgi E. On the differentiability and the analiticity of extremals of regular multiple integrals / Selected papers; eds. Luigi Ambrosio, Gianni Dal Maso, Marco Forti, Mario Miranda, and Sergio Spagnolo. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2006. pp. 149-166.
  8. Moser J. A new proof of de Giorgi’s theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math., 1960. vol. 13, no. 3. pp. 457-468. doi: 10.1002/cpa.3160130308.
  9. Кружков С. Н. Априорные оценки и некоторые свойства решений эллиптических и параболических уравнений // Матем. сб., 1964. Т. 65(107), № 4. С. 522-570.
  10. Serrin J. Local behavior of solutions of quasi-linear equations // Acta Math., 1964. vol. 111, no. 1. pp. 247-302. doi: 10.1007/BF02391014.
  11. Ландис Е. М. Новое доказательство теоремы E. Де Джорджи / Тр. ММО, Т. 16. М.: Издательство Московского университета, 1967. С. 319-328.
  12. Колодий И. М. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. унив., Сер. 1., 1970. № 5. С. 45-52.
  13. Кожевникова Л. М., Хаджи А. А. Ограниченность решений анизотропных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн., 2014. Т. 6, № 2. С. 67-77.
  14. Королев А. Г. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений с нестепенными нелинеиностями // Матем. сб., 1989. Т. 180, № 1. С. 78-100.
  15. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 578 с.
  16. Климов В. С. Теоремы вложения для пространств Орлича и их приложения к краевым задачам // Сиб. матем. журн., 1972. Т. 13. С. 334-348.
  17. Королев А. Г. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями // Матем. заметки, 1987. Т. 42, № 2. С. 244-255.
  18. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сб., 1980. Т. 112(154), № 4(8). С. 588-610.
  19. Кондратьев В. А., Копачек И., Леквеишвили Д. М., Олейник О. А. Неулучшаемые оценки в пространствах Гельдера и точный принцип Сен-Венана для решений бигармонического уравнения / Современные проблемы математики. Дифференциальные уравнения, математический анализ и их приложения: Сборник статей. Посвящается академику Льву Семеновичу Понтрягину к его семидесятипятилетию / Тр. МИАН СССР, Т. 166, 1984. С. 91-106.
  20. Кожевникова Л. М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб., 2008. Т. 199, № 8. С. 61-94. doi: 10.4213/sm4235.
  21. Гилимшина В. Ф., Мукминов Ф. Х. Об убывании решения неравномерно эллиптического уравнения // Изв. РАН. Сер. матем., 2011. Т. 75, № 1. С. 53-70. doi: 10.4213/im3292.
  22. Кожевникова Л. М., Каримов Р. Х. Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн., 2010. Т. 2, № 2. С. 53-66.
  23. Кожевникова Л. М., Хаджи А. А. Решения анизотопных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 1(30). С. 90-96. doi: 10.14498/vsgtu1163.
  24. Рутицкий Я. Б., Красносельский М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматлит, 1958. 587 с.
  25. Королев А. Г. Теоремы вложения анизотропных пространств Соболева-Орлича // Вестн. Моск. унив., Сер. 1., 1983. № 1. С. 32-37.
  26. Лионс Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 596 с.
  27. Андриянова Э. Р. Оценки скорости убывания решения параболического уравнения с нестепенными нелинейностями // Уфимск. матем. журн., 2014. Т. 6, № 2. С. 3-25.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Самарский государственный технический университет, 2015

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».