On the Dirichlet problem for an elliptic equation


Cite item

Full Text

Abstract

It is well known that the concept of a generalized solution from the Sobolev space $W_2^1$ of the Dirichlet problem for a second order elliptic equation is not a generalization of the classical solution sensu stricto: not every continuous function on the domain boundary is a trace of some function from $W_2^1$. The present work is dedicated to the memory of Valentin Petrovich Mikhailov, who proposed a generalization of both these concepts. In the Mikhailov's definition the boundary values of the solution are taken from the $L_2$; this definition extends naturally to the case of boundary functions from $L_p$, $p > 1$. Subsequently, the author of this work has shown that solutions have the property $(n - 1)$-dimensional continuity; n is a dimension of the space in which we consider the problem. This property is similar to the classical definition of uniform continuity, but traces of this function on the measures from a special class should be considered instead of values of the function at points. This class is a little more narrow than the class of Carleson measures. The trace of function on the measure is an element of $L_p$ with respect to this measure. The property $(n - 1)$-dimensional continuity makes it possible to give another definition of the solution of the Dirichlet problem (a definition of $(n - 1)$-dimensionally continuous solution), which is in the form close to the classical one. This definition does not require smoothness of the boundary. The Dirichlet problem in the Mikhailov's formulation and especially for the $(n - 1)$-dimensionally continuous solution was studied insufficiently (in contrast to the cases of classical and generalized solutions). First of all, it refers to conditions on the right side of the equation, in which the Dirichlet problem is solvable. In this article the new results in this direction are presented. In addition, we discuss the conditions on the coefficients of the equation and the conditions on the boundary of a domain in which the problem is considered. The results about the solvability and about the boundary behavior of solutions are compared with the analogous theorems for classical and generalized solutions. Some unsolved problems arising from such comparison are discussed.

About the authors

Anatolii K Gushchin

Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences

Email: akg@mi.ras.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; akg@mi.ras.ru), Leading Researcher, Dept. of Mathematical Physics 8, Gubkina st., Moscow, 119991, Russian Federation

References

  1. Гущин А. К. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 136.
  2. Михайлов В. П. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Диффер. уравн., 1976. Т. 12, № 10. С. 1877-1891.
  3. Гущин А. К. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Матем. сб., 1988. Т. 137(179), № 1(9). С. 19-64.
  4. Carleson L. An interpolation problem for bounded analytic functions // Amer. J. Math., 1958. vol. 80, no. 4. pp. 921-930. doi: 10.2307/2372840.
  5. Carleson L. Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem // Ann. Math., 1962. vol. 76, no. 3. pp. 547-559. doi: 10.2307/1970375.
  6. Hörmander L. $L_p$-estimates for (pluri-) subharmonic functions // Math. Scand., 1967. vol. 20. pp. 65-78.
  7. Никольский Н. К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980.
  8. Garnett J. B. Bounded analytic functions / Pure and Applied Mathematics. vol. 96. New York etc.: Academic Press, 1981. xvi+467 pp. doi: 10.1016/s0079-8169(08)61051-x
  9. Garnett J. B. Bounded analytic functions / Graduate Texts in Mathematics. vol. 236. New York: Springer, 2007. 433 pp. doi: 10.1007/0-387-49763-3.
  10. Liapounoff A. Sur certaines questions qui se rattachent au problème de Dirichlet // Journ. de Math.(5), 1898. vol. 4. pp. 241-311.
  11. Poincaré H. La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet // Acta Mathematica, 1897. vol. 20, no. 1. pp. 59-142. doi: 10.1007/bf02418028.
  12. Korn A. Lehrbuch der Potentialtheorie. Allgemeine Theorie des Potentials und der Potentialfunctionen im Raume. Berlin: Ferd. Dümmler, 1899. xiv+417 pp.
  13. Stekloff W. Sur les problèmes fondamentaux de la Physique mathématique // C. R. Acad. Sci., Paris, 1899. vol. 128. pp. 588-591.
  14. Stekloff W. Les méthodes générales pour résoudre les problémes fondamentaux de la physique mathématique // Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2 série [Toulouse Ann. (2)], 1900. vol. 2. pp. 207-272. doi: 10.5802/afst.170.
  15. Zaremba S. Sur la theórie de l'équation de Laplace et les m´thodes de Neumann et de Robin // Bulletin de l'Académie des Sciences de Cracovie [Krakauer Anzeiger], 1901. pp. 171-189.
  16. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики, 2-e изд. / ред. В. С. Владимиров. М.: Наука, 1983.
  17. Hölder O. Beiträge zur potentialtheorie: Inaugural-Dissertation zur Erlangung der Doctorwörde der naturwissenschaftlichen Facultät zu Tübingen. Stuttgart: Druck J. B. Metzlersche Buchdruckerei, 1882. iv+71 pp., Internet Archive Identifier: bietrgezurpoten00hlgoog.
  18. Gilbarg D., Trudinger N. S. Elliptic partial differential equations of second order / Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 224. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1983. xiii+513 pp. doi: 10.1007/978-3-642-61798-0.
  19. Lebesgue H. Sur le problème de Dirichlet // C. R. Acad. Sci., Paris, 1907. vol. 144. pp. 316-318, 622-623
  20. Lebesgue H. Sur le problème de Dirichlet // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1907. vol. 24. pp. 371-402. doi: 10.1007/BF03015070.
  21. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применения к основным задачам математической физики. М.: Гостехиздат, 1953.
  22. Perron O. Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für ∆u = 0 // Math. Z., 1923. vol. 18. pp. 42-54. doi: 10.1007/BF01192395.
  23. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: ГИТЛ, 1953.
  24. Wiener N. The Dirichlet problem // Mass. J. of Math., 1924. vol. 3. pp. 129-146.
  25. Келдыш М. В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле // УМН, 1941. № 8. С. 171-231.
  26. Korn A. Über Minimalflächen, deren Randkurven wenig von ebenen Kurven abweichen. Berlin: Königl. Akademie der Wissenschaften, 1909. 37 pp.
  27. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.
  28. Hopf E. Elementare Bemerkungen uber die Lösungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus // Sitz. Ber. Preuss Akad. Wissensch. Berlin. Math.-Phys. Kl. 19, 1927. pp. 147-152
  29. Hopf E. Elementare Bemerkungen uber die Lösungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus / Selected works of Eberhard Hopf. With commentaries; eds.
  30. Cathleen S. Morawetz, James B. Serrin and Yakov G. Sinai. Providence, RI: American Mathematical Society, 2002. pp. 3-8.
  31. Korn A. Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annäherungen / Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz: zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 6. August 1914 (German Edition). Berlin: Schwarz Festschrift, 1914. pp. 215-229.
  32. Giraud G. Sur le problème de Dirichlet généralisé (deuxième mémoire) // Ann. Sci. Ec. Norm. Supér., III. Ser., 1929. vol. 46. pp. 131-245.
  33. Giraud G. Sur certains problèmes non linéaires de Neumann et sur certains problèmes non linéaires mixtes // Ann. Sci. Ec. Norm. Supér., III. Ser., 1932. vol. 49. pp. 1-104.
  34. Giraud G. Sur certains problèmes non linéaires de Neumann et sur certains problèmes non linéaires mixtes // Ann. Sci. Ec. Norm. Supér., III. Ser., 1932. vol. 49. pp. 245-309.
  35. Schauder J. Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung // Math. Z., 1934. vol. 38. pp. 257-282. doi: 10.1007/BF01170635.
  36. Schauder J. Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen // Stud. Math., 1934. vol. 5. pp. 34-42.
  37. Hopf E. Über den funktionalen, insbesondere den analytischen Charakter der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung // Math. Z., 1931. vol. 34. pp. 194-233. doi: 10.1007/bf01180586.
  38. Олейник О. А. О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа // Матем. сб., 1949. Т. 24(66), № 1. С. 3-14.
  39. Соболев С. Л. О некоторых оценках, относящихся к семействам функций, имеющих производные, интегрируемые с квадратом // ДАН СССР, 1936. Т. 1. С. 267-270.
  40. Soboleff S. Méthode nouvelle a résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales // Матем. сб., 1936. Т. 1(43), № 1. С. 39-72.
  41. Соболев С. Л. Об одной теореме функционального анализа // Матем. сб., 1938. Т. 4(46), № 3. С. 471-497.
  42. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: АН СССР, Сибир. Отд., 1962.
  43. Hilbert D. Über das Dirichlet'sche Princip // Deutsche Math. Ver., 1900. vol. 8, no. 1. pp. 184-188 (In German)
  44. Hilbert D. Sur le principe de Dirichlet // Nouv. Ann., 1900. vol. 3, no. 19. pp. 337-344 (In French).
  45. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.
  46. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.
  47. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.
  48. Мазья В. Г. Пространства Соболева. Л.: ЛГУ, 1975.
  49. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.
  50. Михайлов В. П., Гущин А. К. Дополнительные главы курса “Уравнения математической физики” / Лекц. курсы НОЦ, Т. 7. М.: МИАН, 2007. С. 3-144. doi: 10.4213/lkn7.
  51. Rellich F. Ein Satz über mittlere Konvergenz // Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math.-Phys., 1930. vol. 31. pp. 30-35.
  52. Кондрашов В. И. О некоторых свойствах функций из пространств Lp // ДАН СССР, 1945. Т. 48. С. 535-538.
  53. de Giorgi E. Sulla differenziabilitàe l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari // Mem. Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., Serie III, 1957. vol. 3. pp. 25-43 (In Italian)
  54. de Giorgi E. On the differentiability and the analyticity of extremals of regular multiple integrals / Selected papers; eds. L. Ambrosio, G. Dal Maso, M. Forti, M. Miranda, S. Spagnolo. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2006. pp. 149-166.
  55. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math., 1958. vol. 80, no. 4. pp. 931-954. doi: 10.2307/2372841.
  56. Moser J. A new proof of de Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math., 1960. vol. 13, no. 3. pp. 457-468. doi: 10.1002/cpa.3160130308.
  57. Гущин А. К. О внутренней гладкости решений эллиптических уравнений второго порядка // Сиб. матем. журн., 2005. Т. 46, № 5. С. 1036-1052.
  58. Алхутов Ю. А., Кондратьев В. А. Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в выпуклой области // Диффер. уравн., 1992. Т. 28, № 5. С. 806-817.
  59. Алхутов Ю. А. $L_p$-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб., 1998. Т. 189, № 1. С. 3-20. doi: 10.4213/sm287.
  60. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка / Дифференциальные уравнения с частными производными - 3 / Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 99-215.
  61. Нечас И. О решениях эллиптических уравнений с неограниченным интегралом Дирихле // Чехослов. матем. журнал, 1960. Т. 10, № 2. С. 283-298.
  62. Гущин А. К., Михайлов В. П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения // Матем. сб., 1991. Т. 182, № 6. С. 787-810.
  63. Riesz F. Über die Randwerte einer analytischen Funktion // Math. Z., 1923. vol. 18, no. 1. pp. 87-95. doi: 10.1007/bf01192397.
  64. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier Series and Power Series // J. Lond. Math. Soc., 1931. vol. s1-6, no. 3. pp. 230-233. doi: 10.1112/jlms/s1-6.3.230.
  65. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier Series and Power Series(II) // Proc. Lond. Math. Soc., 1936. vol. s2-42, no. 1. pp. 52-89. doi: 10.1112/plms/s2-42.1.52.
  66. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier Series and Power Series(III) // Proc. Lond. Math. Soc., 1937. vol. s2-43, no. 2. pp. 105-126. doi: 10.1112/plms/s2-43.2.105.
  67. Петрушко И. М. О граничных значениях в $L_p$, $p > 1$, решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей // Матем. сб., 1983. Т. 120(162), № 4. С. 569-588.
  68. А. К. Гущин О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с граничной функцией из $L_p$ // Матем. сб., 2012. Т. 203, № 1. С. 3-30. doi: 10.4213/sm7825.
  69. Привалов И. И. Интеграл Cauchy. Саратов, 1919. 94 с. Seeley R. T. Singular integrals and boundary value problems // Amer. J. Math., 1966. vol. 88, no. 4. pp. 781-809. doi: 10.2307/2373078.
  70. Гущин А. К. $L_p$-оценки решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // ТМФ, 2013. Т. 174, № 2. С. 243-255. doi: 10.4213/tmf8410.
  71. Гущин А. К. Некоторое усиление свойства внутренней непрерывности по Гёльдеру решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // ТМФ, 2008. Т. 157, № 3. С. 345-363. doi: 10.4213/tmf6284.
  72. Думанян В. Ж. О разрешимости задачи Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка // Матем. сб., 2011. Т. 202, № 7. С. 75-94. doi: 10.4213/sm7814.
  73. Думанян В. Ж. О разрешимости задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // ТМФ, 2014. Т. 180, № 2. С. 189-205. doi: 10.4213/tmf8670.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».