Boundary value problem for a differential-difference equation with a fractional derivative

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим уравнение

${\nabla }_n{u}_n\left(t\right)+\lambda D_{0x}^{\alpha }{u}_n\left(x\right)+\mu u_n\left(x\right)=f_n\left(x\right)$, (1)

где $D_{0x}^{\alpha }$ – производная Римана – Лиувилля порядка α с началом в точке $x=0$ по переменной x [1], ${\nabla }_n$ – нисходящая конечная разность первого порядка [2], λ и μ – заданные постоянные, $f_n\left(x\right)$ – заданная, $u_n\left(x\right)$ – искомая функции; $0<\alpha <\mathrm{1,} \left(n,x\right)\in \mathbb{N}\times \left(\mathrm{0,}T\right)$, $0<T<\infty$.

Уравнение (1) относится к классу дифференциально-разностных уравнений и является разностным аналогом уравнения Мак-Кендрика – Фон Ферстера дробного порядка [3]

$\frac{\partial }{\partial t}u\left(t,x\right)+\lambda D_{0x}^{\alpha }u\left(t,x\right)+\mu u\left(t,x\right)=f\left(t,x\right)$, (2)

возникающего в популяционной динамике [4]. Обзор работ, посвященных исследованию уравнений вида (2), можно найти в [5]. Уравнение (1) ранее практически не исследовалось.

Цель данной работы – исследование краевой задачи для уравнения (1). В частности, строится общее представление решений и находится фундаментальное решение уравнения (1). В современных реалиях математическое использование строгого аппарата разностных уравнений дает возможность применить мощный комплекс математических средств для анализа динамики различных социально-экономических процессов, в частности, уравнения Мак-Кендрика – Фон Ферстера.

Уравнение Мак-Кендрика – Фон Ферстера является дифференциальным уравнением первого порядка, которое описывает динамику изменения численности населения в зависимости от рождаемости и смертности, его часто применяют при моделировании различных социо-эколого-экономических процессов управления [1]: экономического роста в зависимости от темпов роста населения, рынка труда в зависимости от численности населения; государственных расходов: применимо для моделирования государственных расходов на образование, здравоохранение и другие социальные программы в зависимости от численности населения.

Вводные сведения

Операторы дробного интегрирования и дифференцирования

Дробный интеграл Римана – Лиувилля с началом в точке x = a порядка β от интегрируемой функции g (x) определяется равенством [1]

$D_{ax}^{\beta }g\left(x\right)=\frac{\text{sign}\left(x-a\right) }{\text{Γ}\left(-\beta \right)}{\int }_a^{x}g\left(t\right){\left|x-t\right|}^{-\beta -1} dt, \left(\beta <0\right)$.

Предполагается, что

$D_{ax}^{0}g\left(x\right)=g\left(x\right)$.

Дробные производные Римана – Лиувилля и Герасимова – Капуто определяются, соответственно, равенствами

$D_{ax}^{\beta }g\left(x\right)={\text{sign}}^{\text{n}}\left(x-a\right)\frac{d^n}{d{x}^n}{D}_{ax}^{\beta -n}g\left(x\right)$, ${\partial }_{ax}^{\beta }g\left(x\right)={\text{sign}}^{\text{n}}\left(x-a\right)D_{ax}^{\beta -n}\frac{d^n}{d{x}^n}g\left(x\right)$,

где n – натуральное число, выбранное из условия

$n-1<\beta \le n \left(n\in \mathbb{N}\right)$.

Имеет место формула дробного интегрирования по частям:

$$\begin{gathered} {\int }_a^{b}h\left(x\right)D_{ax}^{\beta }g\left(x\right)dt= {\int }_a^{b}g\left(x\right){\partial }_{bx}^{\beta }h\left(x\right) dt+ \\ +{\sum }_{k=1}^n{\left(-1\right)}^{k-1}\left\{h^{\left(k-1\right)}\left(b\right){\left[D_{ax}^{\beta -k}g\left(x\right)\right]}_{x=b}^{ }-h^{\left(k-1\right)}\left(a\right){\left[D_{ax}^{\beta -k}g\left(x\right)\right]}_{x=a}^{ }\right\}. \end{gathered}$$ (3)

Разностные операторы

Для последовательности (функции целочисленного аргумента)  конечные нисходящая и восходящая разности первого порядка определяются, соответственно, равенствами [2]

${\nabla }_n{h}_n=h_n-h_{n-1}, {\text{Δ}}_n{h}_n=h_{n+1}-h_n$.

Легко проверить, что

${\nabla }_n{\sum }_{k=m}^n{h}_k=h_n, {\text{Δ}}_n{\sum }_{k=m}^n{h}_k=h_{n+1} , n\ge m$.

Также справедлива формула преобразования Абеля (дискретный аналог формулы интегрирования по частям)

$\sum _{k=m}^n{a}_k\cdot {\nabla }_k{b}_k=-\sum _{k=m}^n{b}_k\cdot {\text{Δ}}_k{a}_k+a_{n+1}{b}_n-a_m{b}_{m-1}$ (4)

или

$\sum _{k=m}^n{a}_k\cdot {\nabla }_k{b}_k=-\sum _{k=m}^{n-1}{b}_k\cdot {\text{Δ}}_k{a}_k+a_n{b}_{n-1}-a_m{b}_{m-1}$.

Постановка задачи

Далее будем обозначать

$\text{Ω}=\left\{\left(n,x\right): n\in \mathbb{N}, x\in \left(\mathrm{0,}T\right)\right\}=\mathbb{N}\times \left(\mathrm{0,}T\right)$.

Как принято, через $AC\left[\mathrm{0,}a\right]$ обозначаем множество абсолютно непреывных на отрезке $\left[\mathrm{0,}a\right]$ функций, а

$AC\left[\mathrm{0,}a\right)=\left\{g\left(x\right)\in AC\left[\mathrm{0,}a-\epsilon \right]\forall \epsilon \in \left(\mathrm{0,}a\right)\right\}$.

Определение. Регулярным решением уравнения (1) в Ω будем называть функцию $u\left(n,x\right)=u_n\left(x\right)$, такую, что $x^{\delta -1}{u}_n\left(x\right)\in C\left[\mathrm{0,}T\right)$ для некоторого $\delta >0$  и $D_{0x}^{\alpha -1}{u}_n\left(x\right)\in AC\left[\mathrm{0,}T\right)\times \forall n\in \mathbb{N}$, удовлетворяющую уравнению (1) для любого $x\in \left(\mathrm{0,}T\right)$ и $n\in \mathbb{N}$.

Будем рассматривать следующую задачу.

Задача. Найти регулярное решение уравнения (1) в Ω, удовлетворяющее условиям

$\underset{x\to 0}{\lim }{D}_{0x}^{\alpha -1}{u}_n\left(x\right)={\tau }_n, n\in \mathbb{N}$, (5)                              

и

$u_0\left(x\right)=\phi \left(x\right), x\in \left(\mathrm{0,}T\right)$, (6)

где ${\tau }_n\in ℝ$, $\phi \left(x\right)\in L\left(\mathrm{0,}T\right)$.

Построение решения

Пусть $w\left(n,x\right)=w_n\left(x\right)\in L\left(\mathrm{0,}T\right)$, $n=-\mathrm{1,0,} \mathrm{1,2,}\dots$. Рассмотрим выражение

$$\begin{gathered} \sum _{k=m}^n{\int }_0^x{w}_{n-k}\left(x-t\right) f_k\left(t\right)dt= \\ =\sum _{k=m}^n{\int }_0^x{w}_{n-k}\left(x-t\right)\left[{\nabla }_k{u}_k\left(t\right)+\lambda D_{0t}^{\alpha }{u}_k\left(t\right)+\mu u_k\left(t\right)\right] dt. \end{gathered}$$ (7)

Преобразуем каждое слагаемое в правой части. Для первого слагаемого, с учетом дискретного аналога формулы интегрирования по частям (4), получаем

$$\begin{gathered} \sum _{k=m}^n{\int }_0^x{w}_{n-k}\left(x-t\right){\nabla }_k{u}_k\left(t\right) dt= \\ \sum _{k=m}^n{\int }_0^x{u}_k\left(t\right) {\text{Δ}}_k w_{n-k}\left(x-t\right)dt+ \\ +{\int }_0^x\left[w_{-1}\left(x-t\right)u_n\left(t\right)-w_{n-m}\left(x-t\right)u_{m-1}\left(t\right)\right]dt. \end{gathered}$$ (8)

Второе слагаемое, с учетом формулы дробного интегрирования по частям (3), преобразуется к виду

$$\begin{gathered} \sum _{k=m}^n{\int }_0^x{w}_{n-k}\left(x-t\right)D_{0t}^{\alpha }{u}_k\left(t\right)dt=\sum _{k=m}^n{\int }_0^x{u}_k\left(t\right) {\partial }_{xt}^{\alpha }{w}_{n-k}\left(x-t\right)dt+ \\ \sum _{k=m}^n\left\{w_{n-k}\left(0\right)D_{0t}^{\alpha -1}{u}_k\left(t\right)-w_{n-k}\left(x\right){\left[D_{0t}^{\alpha -1}{u}_k\left(t\right)\right]}_{t=0}\right\}. \end{gathered}$$ (9)

Подставляя соотношения (8) и (9) в выражение (7), учитывая условия (5) и (6), приходим к равенству

$$\begin{gathered} \sum _{k=m}^n{\int }_0^x{w}_{n-k}\left(x-t\right) f_k\left(t\right)dt= \\ \sum _{k=m}^n{\int }_0^x{u}_k\left(t\right)\left[-{\text{Δ}}_k w_{n-k}\left(x-t\right)+\lambda {\partial }_{xt}^{\alpha }{w}_{n-k}\left(x-t\right)+\mu w_{n-k}\left(x-t\right)\right] dt+ \\ +{\int }_0^x\left[w_{-1}\left(x-t\right)u_n\left(t\right)-w_{n-m}\left(x-t\right)u_{m-1}\left(t\right)\right]dt+ \\ +\lambda \sum _{k=m}^n\left\{w_{n-k}\left(0\right)D_{0t}^{\alpha -1}{u}_k\left(t\right)-{\tau }_k w_{n-k}\left(x\right)\right\}. \end{gathered}$$ (10)

Далее предположим, что функция $w_n\left(x\right)$ такова, что она удовлетворяет уравнению

$-{\text{Δ}}_k{w}_{n-k}\left(x-t\right)+\lambda {\partial }_{xt}^{\alpha } w_{n-k}\left(x-t\right)+\mu w_{n-k}\left(x-t\right)=\mathrm{0,} k=\mathrm{1,2,} \dots , n$, (11)

а также краевым условиям

$w_{-1}\left(t\right)=\mathrm{1,} 0<t<x$, (12)

и

$w_{n-k}\left(0\right)=\mathrm{0,} k=\mathrm{1,2} ,\dots , n$. (13)

Теперь, приняв m = 1, с учетом соотношений (11), (12) и (13), а также условия (6), равенство (11) можно переписать в виде.

$$\begin{gathered} \sum _{k=m}^n{\int }_0^x{w}_{n-k}\left(x-t\right) f_k\left(t\right)dt= \\ ={\int }_0^x\left[u_n\left(t\right)-w_{n-1}\left(x-t\right)\phi \left(t\right)\right]dt- \lambda \sum _{k=1}^n{\tau }_k w_{n-k}\left(x\right). \end{gathered}$$

Принимая во внимание (13), дифференцируя обе части последнего равенства, приходим к соотношению

$$\begin{gathered} u_n\left(x\right)=\sum _{k=1}^n{\int }_0^x{w}_{n-k}^{\text{'}}\left(x-t\right) f_k\left(t\right)dt+ \\ +\lambda \sum _{k=1}^n{\tau }_k w_{n-k}^{\text{'}}\left(x\right)+{\int }_0^x{w}_{n-1}^{\text{'}}\left(x-t\right)\phi \left(t\right)dt. \end{gathered}$$ (14)

Таким образом, мы показали, что $u_n\left(x\right)$ решение задачи (1), (5), (6) существует, а также существует решение задачи (11), (12) и (13), то $u_n\left(x\right)$ можно представить в виде (14).

Сформулируем полученное в виде утверждения.

Лемма 1. Пусть $\phi \left(x\right)\in L\left(\mathrm{0,}T\right)$, $f\left(x\right)\in L\left(\mathrm{0,}T\right)$, $u_n\left(x\right)$ является регулярным решением задачи (1), (5), (6), а  есть решение задачи (11), (12) и (13). Тогда функция $u_n\left(x\right)$ представима в виде

$$\begin{gathered} u_n\left(x\right)=\sum _{k=1}^n{\int }_0^x{v}_{n-k}\left(x-t\right) f_k\left(t\right)dt+ \\ +\lambda \sum _{k=1}^n{\tau }_k v_{n-k}\left(x\right)+{\int }_0^x{v}_{n-1}\left(x-t\right)\phi \left(t\right)dt, \end{gathered}$$ (15)

где $v_n\left(x\right)=w_n^{\text{'}}\left(x\right)$.

Итак, для построения решения задачи (1), (5), (6) необходимо найти решение специальной задачи (11), (12) и (13).

Специальная задача

Редукция к разностному уравнению

Далее будем искать решения специальной задачи (11), (12) и (13).

Зафиксировав x и n, сделаем замену

$j=n-k , s=x-t$.

С учетом этой замены получим

$w_{n-k}\left(x-t\right)=w_j\left(s\right)$, (16)

а также

${\text{Δ}}_k{w}_{n-k}\left(x-t\right)=w_{n-k-1}\left(x-t\right)-w_{n-k}\left(x-t\right)=w_{j-1}\left(s\right)-w_j\left(s\right)=-{\nabla }_j{w}_j\left(s\right)$ (17)

и

$$\begin{gathered} {\partial }_{xt}^{\alpha }{w}_{n-k}\left(x-t\right)=-\frac{1}{\text{Γ}\left(1-\alpha \right)}{\int }_t^x\frac{d}{d\xi }{w}_{n-k}\left(x-\xi \right){\left(\xi -t\right)}^{-\alpha }d\xi = \\ =\frac{1}{\text{Γ}\left(1-\alpha \right)}{\int }_0^{x-t}\frac{d}{d\eta }{w}_{n-k}\left(\eta \right){\left(x-t-\eta \right)}^{-\alpha }d\xi = \\ =\frac{1}{\text{Γ}\left(1-\alpha \right)}{\int }_0^s{w}_j^{\text{'}}\left(\eta \right){\left(s-\eta \right)}^{-\alpha }d\xi ={\partial }_{0s}^{\alpha }{w}_j\left(s\right). \end{gathered}$$ (18)

Принимая во внимание равенства (16), (17) и (18), задача (11), (12) и (13) примет вид

${\nabla }_j{w}_j\left(s\right)+\lambda {\partial }_{0s}^{\alpha }{w}_j\left(s\right)+\mu w_j\left(s\right)=\mathrm{0,} j=\mathrm{0,1,} \dots , n-1$, (19)

$w_{-1}\left(s\right)=\mathrm{1,} s>0$, (20)

и

$w_j\left(0\right)=\mathrm{0,} j=\mathrm{0,1,} \dots , n-1$. (21)

Далее будем решать задачу (19), (20), (21). Для этого применим преобразование Лапласа [5]. Пусть

$W_j\left(p\right)=\mathcal{L}\left(w_j\left(s\right);p\right) :={\int }_0^{\infty }{e}^{-ps} w_j\left(s\right)ds$,

т.е. $W_j\left(p\right)$ – преобразование Лапласа функции $w_j\left(s\right)$. Принимая во внимание условие (21), нетрудно показать, что

$\mathcal{L}\left({\partial }_{0s}^{\alpha }{w}_j\left(s\right);p\right)=p^{\alpha }{W}_j\left(p\right)$.

С учетом этого, применяя к обеим частям уравнения (19) преобразование Лапласа, получаем, что функция $W_j\left(p\right)$ является решением разностного уравнения

${\nabla }_j{W}_j\left(p\right)+\lambda p^{\alpha }{W}_j\left(p\right)+\mu W_j\left(p\right)=\mathrm{0,} j=\mathrm{0,1,} \dots , n-1$. (22)

Кроме того, в силу условия (20) и равенства [6]

$\mathcal{L}\left(1;p\right)=\frac{1}{p}$

функция $W_j\left(p\right)$ удовлетворяет начальному условию

$W_{-1}\left(p\right)=\frac{1}{p}$. (23)

Решение разностного уравнения

Принимая во внимание определение нисходящего разностного оператора, перепишем уравнение (22) в виде

$\left[1+\mu +\lambda p^{\alpha }\right]W_j\left(p\right)-W_{j-1}\left(p\right)=0$

или

$W_j\left(p\right)=\frac{W_{j-1}\left(p\right)}{1+\mu +\lambda p^{\alpha }}$.

Решая итерационно это уравнение, получаем

$$\begin{gathered} W_j\left(p\right)=\frac{W_{j-1}\left(p\right)}{1+\mu +\lambda p^{\alpha }}=\frac{W_{j-2}\left(p\right)}{{\left(1+\mu +\lambda p^{\alpha }\right)}^2 }=\dots \\ \dots =\frac{W_0\left(p\right)}{{\left(1+\mu +\lambda p^{\alpha }\right)}^j }=\frac{W_{-1}\left(p\right)}{{\left(1+\mu +\lambda p^{\alpha }\right)}^{j+1} }. \end{gathered}$$

Отсюда, принимая во внимание условие (23), получаем, что

$W_j\left(p\right)=\frac{1}{p{\left(1+\mu +\lambda p^{\alpha }\right)}^{j+1} }$. (24)

Представление решения специальной задачи в виде ряда

Теперь для нахождения решения задачи (19), (20), (21) (следовательно, и задачи (11), (12) и (13)) необходимо найти обратное преобразование функции $W_j\left(p\right)$. Для этого, воспользовавшись разложением

$\frac{1}{{\left(1-z\right)}^{j+1}}={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{\left(k+j\right)!}{j! k!} z^k, \left|z\right|<1$,

перепишем (24) в виде

$$\begin{gathered} W_j\left(p\right)=\frac{1}{p{\left(1+\mu +\lambda p^{\alpha }\right)}^{j+1} }=\frac{1}{{\lambda }^{j+1}{p}^{\alpha \left(+1\right)+1} }{\left(1+\frac{1+\mu }{\lambda p^{\alpha }}\right)}^{-j-1}= \\ = \frac{1}{{\lambda }^{j+1}{p}^{\alpha \left(j+1\right)+1} j!}{\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^k \left(k+j\right)!}{ k! {\lambda }^k}{\left(1+\mu \right)}^k{p}^{-\alpha k}= \\ ={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^k \left(k+j\right)! {\left(1+\mu \right)}^k}{j! k! {\lambda }^{k+j+1}{p}^{\alpha \left(k+j\right)+\alpha +1}}. \end{gathered}$$

Принимая во внимание формулу [6]

$\mathcal{L}\left(s^{\xi -1};p\right)=\frac{\text{Γ}\left(\xi \right)}{p^{\xi }}$                                                                 

или, что то же самое,

${\mathcal{L}}^{-1} \left(p^{-\xi };s\right)=\frac{s^{\xi -1}}{\text{Γ}\left(\xi \right)}$

(здесь и далее через ${\mathcal{L}}^{-1}$ обозначено обратное преобразование Лапласа), получаем, что

$w_j\left(s\right)={\mathcal{L}}^{-1}\left(W_j\left(p\right);s\right)=\frac{s^{\alpha j+\alpha }}{j!{\lambda }^{j+1}}{\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^k\left(k+j\right)! {\left(1+\mu \right)}^k{s}^{\alpha k}}{ k! {\lambda }^k\text{Γ}\left(\alpha \left(k+j\right)+\alpha +1\right)}$. (25)

Функция Прабхакара

Напомним определение функции Прабхакара [7]:

$E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }\left(z\right)={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{{\left(\gamma \right)}_k z^k}{k!\text{Γ}\left(\alpha k+\beta \right)}$, (26)

где

${\left(\gamma \right)}_k=\gamma \left(\gamma +1\right)\left(\gamma +2\right)\dots \left(\gamma +k-1\right)=\frac{\text{Γ}\left(\gamma +k\right)}{\text{Γ}\left(\gamma \right)}$ (27)

– символ Похгаммера.

Принимая во внимание формулы (27) и

$\frac{\left(k+j\right)!}{j!}=\frac{\text{Γ}\left(k+j+1\right)}{\text{Γ}\left(j+1\right)}={\left(j+1\right)}_k$,

равенство (25) можно переписать в виде

$w_j\left(s\right)=\frac{s^{\alpha j+\alpha }}{{\lambda }^{j+1}}{\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^k{\left(j+1\right)}_k{\left(1+\mu \right)}^k{s}^{\alpha j}}{ k! {\lambda }^k\text{Γ}\left(\alpha \left(k+j\right)+\alpha +1\right)}$.

Отсюда, с учетом определения (26), получаем

$w_j\left(s\right)=\frac{s^{\alpha j+\alpha }}{{\lambda }^{j+1}}{E}_{\alpha ,\alpha j+\alpha +1}^{j+1}\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{s}^{\alpha }\right)$. (28)

Решение специальной задачи

Таким образом, мы получили, что если решение специальной задачи (19), (20), (21) (или, что то же самое, задачи (11), (12) и (13)) существует, то оно имеет вид (28). Здесь мы покажем, что функция (28) на самом деле является решением задачи (19), (20), (21).

Лемма 2. Пусть $\alpha \in \left(\mathrm{0,1}\right)$ и $\lambda \ne 0$. Тогда функция (28) является решением уравнения (19) (а также (11)) и удовлетворяет условиям (20) и (21) (а также (12) и (13)).

Доказательство. Для функции Прабхакара известны следующие формулы дробного интегрирования и дифференцирования [8]:

$D_{0x}^{\xi }\left[x^{\beta -1}{E}_{\alpha ,\beta }^{\gamma }\left(\eta x^{\alpha }\right)\right]=x^{\beta -\xi -1}{E}_{\alpha ,\beta -\xi }^{\gamma }\left(z\right), \left(\beta >0\right)$, (29)

а также формула автотрансформации [9]

$E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }\left(z\right)=E_{\alpha ,\beta }^{\gamma +1}\left(z\right)-z{E}_{\alpha ,\alpha +\beta }^{\gamma +1}\left(z\right)$. (30)

Из формул (29) и (30) следует, что

$$\begin{gathered} w_{j-1}\left(s\right)=\frac{s^{\alpha j}}{{\lambda }^j}{E}_{\alpha ,\alpha j+1}^j\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{s}^{\alpha }\right)= \\ =\frac{s^{\alpha j }}{{\lambda }^j}{E}_{\alpha ,\alpha j+1}^{j+1}\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{s}^{\alpha }\right)+\left(1+\mu \right)\frac{s^{\alpha j+\alpha }}{{\lambda }^{j+1}}{E}_{\alpha ,\alpha j+\alpha +1}^{j+1}\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{s}^{\alpha }\right)= \\ ={\partial }_{0s}^{\alpha }\frac{s^{\alpha j+\alpha }}{{\lambda }^j}{E}_{\alpha ,\alpha j+\alpha +1}^{j+1}\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{s}^{\alpha }\right)+\left(1+\mu \right)\frac{s^{\alpha j+\alpha }}{{\lambda }^{j+1}}{E}_{\alpha ,\alpha j+\alpha +1}^{j+1}\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{s}^{\alpha }\right)= \\ =\lambda {\partial }_{0s}^{\alpha }{w}_j\left(s\right)+\left(1+\mu \right)w_j\left(s\right). \end{gathered}$$

Отсюда получаем

$$\begin{gathered} {\nabla }_j{w}_j\left(s\right)=w_j\left(s\right)-w_{j-1}\left(s\right)=w_j\left(s\right)-\lambda {\partial }_{0s}^{\alpha }{w}_j\left(s\right)-\left(1+\mu \right)w_j\left(s\right)= \\ =-\lambda {\partial }_{0s}^{\alpha }{w}_j\left(s\right)-\mu w_j\left(s\right). \end{gathered}$$

Таким образом, $w_j\left(s\right)$ удовлетворяет уравнению (19).

Из определения (26) следует, что

$E_{\alpha ,\beta }^0\left(z\right)=\frac{1}{\text{Γ}\left(\beta \right)}$.

Отсюда в силу (28) получаем, что $w_{-1}\left(s\right)=1$ для всех положительных s. Также непосредственно из (28) следует, что $w_j\left(0\right)=0$ для любого неотрицательного j. Следовательно, функция $w_j\left(s\right)$, определенная формулой (28), удовлетворяет краевым условиям (20 и (21). Лемма доказана.

Теорема о представлении решения

Из лемм 1 и 2 следует теорема о представлении решения рассматриваемой задачи.

Теорема 1. Пусть $\lambda \ne 0$, $\phi \left(x\right)\in L\left(\mathrm{0,}T\right)$ и $f\left(x\right)\in L\left(\mathrm{0,}T\right)$. Если функция $u_n\left(x\right)$ является регулярным решением задачи (1), (5), (6), то она представима в виде

$$\begin{gathered} u_n\left(x\right)={\sum }_{k=1}^n{\int }_0^x{v}_{n-k}\left(x-t\right)f_k\left(t\right)dt+ \\ +\lambda {\sum }_{k=1}^n{\tau }_k{v}_{n-k}\left(x\right)+{\int }_0^x{v}_{n-1}\left(x-t\right)\phi \left(t\right)dt, \end{gathered}$$ (31)

где

$v_n\left(x\right)=\frac{x^{\alpha n+\alpha -1}}{{\lambda }^{n+1}}{E}_{\alpha ,\alpha n+\alpha }^{n+1}\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{x}^{\alpha }\right)$. (32)

Доказательство. Представление (31) является прямым следствием лемм 1, 2. Для завершения доказательства остается показать справедливость равенства (32). Как следует из леммы 1, функция  определяется из соотношения

$v_n\left(x\right)=\frac{d}{dx}{w}_n\left(x\right)$.

Поэтому в силу (28), принимая во внимание формулы (29) и (30), получаем

$v_n\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left[\frac{x^{\alpha n+\alpha }}{{\lambda }^{n+1}}{E}_{\alpha ,\alpha n+\alpha +1}^{n+1}\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{x}^{\alpha }\right)\right]=\frac{x^{\alpha n}}{{\lambda }^{n+1}}{E}_{\alpha ,\alpha n+\alpha }^{n+1}\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{x}^{\alpha }\right)$.

Теорема доказана.

Фундаментальное решение

Введем в рассмотрение функцию

$v_n^{\rho }\left(x\right)=\frac{x^{\alpha n+\rho -1}}{{\lambda }^{n+1}}{E}_{\alpha ,\alpha n+\rho }^{n+1}\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{x}^{\alpha }\right)$. (33)

Сравнивая (33) с (28) и (32), нетрудно заметить, что

$v_n^{\alpha }\left(x\right)=v_n\left(x\right), v_n^{\alpha +1}=w_n\left(x\right)$. (34)

Для дальнейшего докажем ряд свойств функции $v_n^{\rho }\left(x\right)$. Сформулируем эти свойства в виде утверждения.

Лемма 3. Пусть $\lambda \ne 0$. Тогда для функции $v_n^{\rho }\left(x\right)$, определенной равенством (33), справедливы следующие соотношения:

$D_{0x}^{\xi }{v}_n^{\rho }\left(x\right)=v_n^{\rho -\xi }\left(x\right)\left(\alpha n+\rho >0\right)$, (35)

$v_n^{\rho }\left(x\right)=O\left(x^{\alpha n+\rho -1}\right), x\to 0$, (36)

$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^{1-\alpha n-\rho }{v}_n^{\rho }\left(x\right)=\frac{{\lambda }^{-n-1}}{\text{Γ}\left(\alpha n+\rho \right)}\left(\alpha n+\rho \ne \mathrm{0,}-\mathrm{1,}-\mathrm{2,} \dots \right)$, (37)

$v_{n-1}^{\rho }\left(x\right)=\lambda v_n^{\rho -\alpha }\left(x\right)+\left(1+\mu \right)v_n^{\rho }\left(x\right)$ (38)

и

${\nabla }_n{v}_n^{\rho }\left(x\right)+\lambda D_{0x}^{\alpha }{v}_n^{\rho }\left(x\right)+\mu v_n^{\rho }\left(x\right)=\mathrm{0,} \left(n=\mathrm{1,2,} \dots \right)$. (39)

Доказательство. Формула (35) получается применением формулы (29) к равенству (33). Соотношения (36) и (37) следуют непосредственно из определений (26) и (33).

Для доказательства (38) воспользуемся формулой автотрансформации (30). Получаем:

$$\begin{gathered} v_{n-1}^{\rho }\left(x\right)=\frac{x^{\alpha n-\alpha +\rho -1}}{{\lambda }^n}{E}_{\alpha ,\alpha n-\alpha +\rho }^n\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{x}^{\alpha }\right)= \\ =\frac{x^{\alpha n-\alpha +\rho -1 }}{{\lambda }^n}{E}_{\alpha ,\alpha n-\alpha +\rho }^{n+1}\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{x}^{\alpha }\right)+ \\ +\left(1+\mu \right)\frac{x^{\alpha n+\rho -1}}{{\lambda }^{n+1}}{E}_{\alpha ,\alpha n+\rho }^{n+1}\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{x}^{\alpha }\right)=\lambda v_n^{\rho -\alpha }\left(x\right)+\left(1+\mu \right)v_n^{\rho }\left(x\right). \end{gathered}$$

Комбинируя (35) и (38), приходим к (39). Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть $\alpha \in \left(\mathrm{0,1}\right)$, $\lambda \ne 0$, $\rho \ge \alpha$, $f_n\left(x\right)\in L\left(\mathrm{0,}T\right)$, и

$F_{n,k}^{\rho }\left(x\right)={\int }_0^x{v}_{n-k}^{\rho }\left(x-t\right)f_k\left(t\right)dt$, 

если $\left(n\ge k\right)$, и $F_{n,k}^{\rho }\left(x\right)=0$, если $n<k$.

Тогда

${\nabla }_n{F}_{n,k}^{\rho }\left(x\right)+ \lambda D_{0x}^{\alpha }{F}_{n,k}^{\rho }\left(x\right)+\mu F_{n,k}^{\rho }\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{D}_{0x}^{\alpha -\rho }{f}_n\left(x\right), k=n,\\ \mathrm{0,} k<n,\end{array}\right.$ (40)

и

$D_{0x}^{\xi -1}{F}_{n,k}^{\rho }\left(x\right)\in AC\left[\mathrm{0,}T\right),\underset{x\to 0}{\lim }{D}_{0x}^{\xi -1}{F}_{n,k}^{\rho }\left(x\right)=\mathrm{0,} \xi \le \rho$. (41)

Доказательство. В силу (35) и (36) имеем

$$\begin{gathered} D_{0x}^{\alpha }{F}_{n,k}^{\rho }\left(x\right)=\frac{d}{dx}{\int }_0^x{v}_{n-k}^{\rho -\alpha +1}\left(x-t\right) f_k\left(t\right)dt= \\ =\frac{d}{dx}{\int }_0^x{v}_{n-k}^1\left(x-t\right) D_{0x}^{\alpha -\rho }{f}_k\left(t\right)dt=v_{n-k}^1\left(0\right) D_{0x}^{\alpha -\rho }{f}_k\left(x\right)+ \\ +{\int }_0^x{v}_{n-k}^0\left(x-t\right) D_{0t}^{\alpha -\rho }{f}_k\left(t\right)dt. \end{gathered}$$ (42)

Рассмотрим сначала случай k < n. В этом случае из (42), с учетом (37) и (38), получаем

$$\begin{gathered} D_{0x}^{\alpha }{F}_{n,k}^{\rho }\left(x\right)={\int }_0^x{v}_{n-k}^0\left(x-t\right) D_{0t}^{\alpha -\rho }{f}_k\left(t\right)dt={\int }_0^x{v}_{n-k}^{\rho -\alpha }\left(x-t\right) f_k\left(t\right)dt= \\ =\frac{1}{\lambda }{\int }_0^x\left[v_{n-k-1}^{\rho }\left(x-t\right)-\left(1+\mu \right)v_{n-k}^{\rho }\left(x-t\right)\right] f_k\left(t\right)dt= \\ =\frac{1}{\lambda }\left[F_{n-\mathrm{1,}k}^{\rho }\left(x\right)-\left(1+\mu \right)F_{n,k}^{\rho }\left(x\right)\right]. \end{gathered}$$

Отсюда следует, что

${\nabla }_n{F}_{n,k}^{\rho }\left(x\right)+ \lambda D_{0x}^{\alpha }{F}_{n,k}^{\rho }\left(x\right)+\mu F_{n,k}^{\rho }\left(x\right)=0$, если k < n.

Пусть теперь k = n. Из (42), с учетом (37) и (38), следует, что

$$\begin{gathered} D_{0x}^{\alpha }{F}_{n,n}^{\rho }\left(x\right)= \frac{1}{\lambda }{D}_{0x}^{\alpha -\rho }{f}_n\left(x\right)+{\int }_0^x{v}_0^0\left(x-t\right) D_{0t}^{\alpha -\rho }{f}_n\left(t\right)dt= \\ =\frac{1}{\lambda }{D}_{0x}^{\alpha -\rho }{f}_n\left(x\right)-\frac{1+\mu }{\lambda }{\int }_0^x{v}_0^{\alpha }\left(x-t\right) D_{0t}^{\alpha -\rho }{f}_n\left(t\right)dt= \\ =\frac{1}{\lambda }{D}_{0x}^{\alpha -\rho }{f}_n\left(x\right)-\frac{1+\mu }{\lambda }{\int }_0^x{v}_0^{\rho }\left(x-t\right) f_k\left(t\right)dt=\frac{1}{\lambda }{D}_{0x}^{\alpha -\rho }{f}_n\left(x\right)-\frac{1+\mu }{\lambda }{F}_{n,n}^{\rho }\left(x\right). \end{gathered}$$

Таким образом,

${\nabla }_n{F}_{n,n}^{\rho }\left(x\right)+ \lambda D_{0x}^{\alpha }{F}_{n,n}^{\rho }\left(x\right)+\mu F_{n,n}^{\rho }\left(x\right)=D_{0x}^{\alpha -\rho }{f}_n\left(x\right)$.

Это завершает доказательство равенства (40).

Для доказательства (41) заметим:

$D_{0x}^{\xi -1}{F}_{n,k}^{\rho }\left(x\right)={\int }_0^x{v}_{n-k}^{\rho -\xi +1}\left(x-t\right)f_k\left(t\right)dt$.

Отсюда в силу (36) следует (41). Лемма доказана.

Из лемм 3 и 4, с учетом (34), в частности, следует, что

${\nabla }_n{v}_n\left(x\right)+ \lambda D_{0x}^{\alpha }{v}_n\left(x\right)+\mu v_n\left(x\right)=\mathrm{0,} n=\mathrm{1,2,} \dots$, (43)

${\nabla }_n{F}_n\left(x\right)+ \lambda D_{0x}^{\alpha }{F}_n\left(x\right)+\mu F_n\left(x\right)=f_n\left(x\right)$, (44)

где

$F_n\left(x\right)={\sum }_{k=1}^n{\int }_0^x{v}_{n-k}\left(x-t\right) f_k\left(t\right)dt$,

а также

$F_0\left(x\right)=\mathrm{0,}\underset{x\to 0}{\lim }{D}_{0x}^{\alpha -1}{F}_n\left(x\right)=\mathrm{0,} n=\mathrm{1,2,} \dots$ (45)

Свойства (43), (44) и (45) позволяют назвать функцию , заданную равенством (32), фундаментальным решением уравнения (1).

Теорема о существовании и единственности решения

Теперь мы можем сформулировать основной результат – теорему о существовании и единственности решения задачи (1), (5), (6).

Теорема 2. Пусть $\lambda \ne 0$, $\phi \left(x\right)\in L\left(\mathrm{0,}T\right)$ и $f_n\left(x\right)\in L\left(\mathrm{0,}T\right)$. Тогда существует и притом единственное регулярное решение $u\left(n,x\right)=u_n\left(x\right)$ задачи (1), (5), (6), и оно представимо в виде (31).

Доказательство. Единственность решения задачи (1), (5), (6) следует из теоремы 1 о представлении решения. Действительно, предположим, что существует два тождественно неравных регулярных решения задачи (1), (5), (6). Обозначим их $u_n^1\left(x\right)$ и $u_n^2\left(x\right)$. Тогда их разность

$u_n^{*}\left(x\right)=u_n^1\left(x\right)- u_n^2\left(x\right)$

в силу линейности рассматриваемой задачи является решением однородной задачи, т.е. решением задачи

${\nabla }_n{u}_n^{*}\left(t\right)+\lambda D_{0x}^{\alpha }{u}_n^{*}\left(x\right)+\mu u_n^{*}\left(x\right)=0$, (46)

$\underset{x\to 0}{\lim }{D}_{0x}^{\alpha -1}{u}_n^{*}\left(x\right)=\mathrm{0,} n\in \mathbb{N}; u_0^{*}\left(x\right)=0$. (47)

В силу теоремы 1 решение задачи (46) и (47), если оно существует, тождественно равно нулю:

$u_n^{*}\left(x\right)\equiv 0$.

Таким образом, $u_n^1\left(x\right)\equiv u_n^2\left(x\right)$. Следовательно, наше предположение о существовании двух различных решений неверно. Это доказывает единственность решения рассматриваемой задачи.

Докажем существование решения. Для этого необходимо показать, что функция , заданная равенством (31), является регулярным решением уравнения (1) и удовлетворяет краевым условиям (5) и (6).

Примем следующие обозначения:

$$\begin{gathered} F_n\left(x\right)={\sum }_{k=1}^n{\int }_0^x{v}_{n-k}\left(x-t\right) f_k\left(t\right)dt, \\ {\text{Τ}}_n\left(x\right)=\lambda {\sum }_{k=1}^n{\tau }_k v_{n-k}\left(x\right) \end{gathered}$$

и

${\text{Φ}}_n\left(x\right)= {\int }_0^x{v}_{n-1}\left(x-t\right)\phi \left(t\right)dt$.

Из лемм 3 и 4, а также равенств (43), (44) и (45) следует, что функция $u_n\left(x\right)$ удовлетворяет уравнению (1). Также $F_n\left(x\right), {\text{Τ}}_n\left(x\right), {\text{Φ}}_n\left(x\right)\in AC \left[\mathrm{0,}T\right)$ и

$\underset{x\to 0}{\lim }{D}_{0x}^{\alpha -1}{F}_n\left(x\right)=\mathrm{0,}\underset{x\to 0}{\lim }{D}_{0x}^{\alpha -1}{T}_n\left(x\right)={\tau }_n$ и $\underset{x\to 0}{\lim }{D}_{0x}^{\alpha -1}{\text{Φ}}_n\left(x\right)=0$. 

Поэтому для функции выполняется краевое условие (5). Для завершения доказательства теоремы остается показать справедливость (36).

Заметим, что мы не можем принять n = 0 в правой части (31), так как она не определена для данного значения n. Запишем уравнение (1) для n = 1:

${\nabla }_1{u}_1\left(x\right)+\lambda D_{0x}^{\alpha }{u}_1\left(x\right)+\mu u_1\left(x\right)=f_1\left(x\right)$

или после простых преобразований:

$u_0\left(x\right)=u_1\left(x\right)\left(1+\mu \right)+\lambda u_1{D}_{0x}^{\alpha }{u}_1\left(x\right)-f_1\left(x\right)$. (48)

Для функции , определенной равенством (31), в данном случае имеем

$u_1\left(x\right)={\int }_0^x{v}_0\left(x-t\right) f_1\left(t\right)dt+\lambda {\tau }_1{v}_0\left(x\right)+{\int }_0^x{v}_0\left(x-t\right)\phi \left(t\right)dt$, (49)

где

$v_0\left(x\right)=\frac{x^{\alpha -1}}{\lambda } E_{\alpha ,\alpha }\left(-\frac{1+\mu }{\lambda }{x}^{\alpha }\right)$.

Подставляя (49) в (48), пользуясь свойством функции Миттаг-Леффлера [10]

$$\begin{gathered} D_{0x}^{\alpha }{\int }_0^x{\left(x-t\right)}^{\alpha -1} E_{\alpha ,\alpha }\left(-\xi {\left(x-t\right)}^{\alpha }\right)g\left(t\right)dt= \\ =g\left(x\right)-\xi {\int }_0^x{\left(x-t\right)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }\left(-\xi {\left(x-t\right)}^{\alpha }\right)g\left(t\right)dt, \end{gathered}$$

получаем, что $u_0\left(x\right)=\phi \left(x\right)$. Теорема доказана.

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Финансирование. Исследование проведено без спонсорской поддержки.

Funding. The study was performed without external funding.

About the authors

Leila M. Vidzizheva

Scientific and Educational Center, Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Email: danocha_999@mail.ru
ORCID iD: 0009-0007-9406-8119

Postgraduate Student

Russian Federation, Nalchik

Dana A. Kanametova

Institute of Applied Mathematics and Automation – a branch of Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: danocha_999@mail.ru
SPIN-code: 6070-1196

Candidate of Economic Sciences, Researcher

Russian Federation, Nalchik

References

Supplementary files