Application of negative binomial distribution to approximate the stationary distribution of the number of arrivals in a qs with an incoming map, the intensity of which depends on the state of the system
- Authors: Polin E.P.1, Moiseeva S.P.1, Moiseev A.N.1
-
Affiliations:
- National Research Tomsk State University
- Issue: No 108 (2024)
- Pages: 40-56
- Section: Systems analysis
- URL: https://journals.rcsi.science/1819-2440/article/view/284353
- DOI: https://doi.org/10.25728/ubs.2024.108.3
- ID: 284353
Cite item
Full Text
Abstract
This paper considers a mathematical model of an infinite-linear queuing system with an incoming MAP with an intensity depending on the number of busy servers. The parameters of the incoming process, namely its conditional intensities, change every time the state of the system changes, that is, a new request appears or one of the requests completes servicing. The service discipline is determined by the fact that the request occupies any of the free devices in the system on which its service is performed for a random time distributed according to an exponential distribution. For this model, obtaining a stationary probability distribution of the number of applications in the system by analytical means is not possible, so this paper proposes a heuristic approach, namely, the use of a negative binomial distribution as an approximation for the desired distribution. Two approaches to such approximation are proposed, for which a numerical analysis of the accuracy is performed based on comparison with the results of simulation modeling. The first approach is based on calculating the parameters of the negative binomial distribution using the exact values of the expected value and dispersion of the number of applications in the system under consideration, and the second is based on the fact that the intensity of incoming applications is determined by the Markov chain controlling the incoming process. It was found that the first approximation method gives more accurate results, however, when the system is heavily loaded, both approximations have a large error.
About the authors
Evgeny Pavlovich Polin
National Research Tomsk State University
Email: polin_evgeny@mail.ru
Tomsk
Svetlana Petrovna Moiseeva
National Research Tomsk State University
Email: smoiseeva@mail.ru
Tomsk
Alexander Nikolaevich Moiseev
National Research Tomsk State University
Email: moiseev.tsu@gmail.com
Tomsk
References
- БАШАРИН Г.П., КОКОТУШКИН В.А., НАУМОВ В.А. Метод эквивалентных замен в теории телетрафика. – М.: Электросвязь. – 1980. – T. 2. – С. 82–122.
- ВАДЗИНСКИЙ Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. – СПб.: Наука. – 2001. – 295 с.
- ГОРБУНОВА А.В., ЛЕБЕДЕВ А.В. Эффекты стохасти-ческой нетранзитивности в системах массового об-служивания // Управление большими системами. – 2020. – Вып. 85. –С. 23–50. – DOI: https://doi.org/10.25728/ubs.2020.85.2.
- ДУДИН А.Н. Модель процесса передачи данных в инте-гральных цифровых сетях связи с адаптивной комму-тацией // Вычислительные сети коммутации пакетов. – Рига: ИЗВТ. – 1987. – T. I. – C. 121–124.
- ДУДИН А.Н. Об обслуживающей системе с переменным режимом работы // Автоматика и вычислительная тех-ника. – 1985. – №2. – С. 27–29.
- ЖОЖИКАШВИЛИ В.А., ВИШНЕВСКИЙ В.М. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ. – М.: Радио и связь. – 1988. – 192 с.
- КАРЛЫХАНОВА Т.А., МОИСЕЕВА С.П., НАЗАРОВ А.А. Исследование системы MAP/M/∞ методом моментов // Вестник Томского государственного университета. – 2006. – № 293. – С. 99–104.
- ПОЛИН Е.П., МОИСЕЕВА С.П., МОИСЕЕВ А.Н. Иссле-дование бесконечнолинейной СМО с интенсивностью входящего потока, зависящей от состояния системы // Материалы XXIII Международной научной конференции «Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь» (DCCN-2020), Distributed computer and communication networks: control, computation, communications (DCCN-2020), 14–18 сентября 2020 г., Москва. – М.: ИПУ РАН, 2020. – С. 638–644.
- ПОЛИН Е.П., МОИСЕЕВА С.П. Исследование матема-тической модели бесконечнолинейной СМО с входящим MAP-потоком переменной интенсивности // Проблемы оптимизации сложных систем: сборник докладов Двенадцатой международной азиатской школы-семинара. Новосибирск, Академгородок, 12–16 декабря 2016 г. Новосибирск. – 2016. – С. 380-384. – URL: http://conf.nsc.ru/opcs2016/ru/proceedings.
- ТУКУБАЕВ З.Б. Моделирование и исследование алго-ритмов динамического управления потоками и очередя-ми сообщений в компьютерных сетях // Управление большими системами. – 2009. – Вып. 26. – 2009. – С. 38–46.
- BOUCHENTOUF A.A., GUENDOUZI A. Cost optimization analysis for an MX/M/C vacation queueing system with wait-ing servers and impatient customers // SeMA Journal: Bulle-tin of the Spanish Society of Applied Mathematics. – 2019. – Vol. 76. – P. 309–341. – DOI: https://doi.org/10.1007/s40324-018-0180-2.
- BAEK J.W., MOON S.K. A production-inventory system with a Markovian service queue and lost sales // J. Korean Stat. Soc. 45. – 2016. – P. 14–24. – DOI: https://doi.org/10.1016/j.jkss.2015.05.002
- DEEPAK T.G., KRISHNAMOORTHY A., NARAYANAN V.C. Inventory with service time and transfer of customers and inventory // Ann. Oper. Res. – 2008. – Vol. 160. – P. 191–213. – DOI: https://doi.org/10.1007/s10479-007-0304-z.
- FRALIX B., ADAN I. An infinite-server queue influenced by a semi-Markovian environment // Queueing Systems. – 2009. – Vol. 61. – P. 65–84.
- MATHEW N., JOSHUA V.C., KRISHNAMOORTHY A. A pro¬duction inventory model with server breakdown and customer impatience // Ann Oper Res. – 2023. – DOI: https://doi.org/10.1007/s10479-023-05659-x.
- MELIKOV A., KRISHNAMOORTHY A., SHAHMALIYEV M. Perishable Queuing Inventory Systems with Delayed Feedback // In: Information Technologies and Mathematical Modelling. Queueing Theory and Applications / Eds.: Dudin A., Nazarov A., Moiseev A. – ITMM WRQ Communications in Computer and Information Science. – 2018. – Vol. 912. – Springer, Cham. – DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-97595-5_5.
Supplementary files
