Full Text
ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается уравнение
(1)
в области . Считаем, что пространственная область имеет вид в случае и прямоугольник в случае , т. е. . Считаем, что область разделена на две части , . На плоскости (прямой в двумерном случае), т. е. на множестве заданы условия сопряжения типа неидеального контакта
, (2)
где . Далее иногда используем обозначение и записываем функцию в виде вектора . К условиям сопряжения мы добавляем условия переопределения вида
(3)
где , т. е. возможен случай задаем какие-либо краевые условия: Дирихле, Робина или смешанные условия. Например, варианты:
(4)
(5)
Условия могут быть как однородными, так и неоднородными. Задача состоит в нахождении решения уравнения (1), удовлетворяющего условиям (2)(4) и неизвестной функции вида , где функции заданы, а функции считаются неизвестными. Условия сопряжения (2) совпадают с известными в теории тепломассопереноса условиями на границе двух сред, когда контакт не является идеальным. В этом случае
коэффициент теплообмена.
Обратные задачи нахождения неизвестных граничных режимов, в частности задачи конвективного теплообмена, являются классическими. Они возникают в самых различных задачах математической физики: управление процессами теплообмена и проектирование тепловой защиты, диагностика и идентификация теплопередачи в сверхзвуковых гетерогенных потоках, идентификация и моделирование теплопереноса в теплозащитных материалах и покрытиях, моделирование свойств и тепловых режимов многоразовой тепловой защиты аэрокосмических аппаратов, исследование композитных материалов и т. п. (см. [1], [5]).
В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных численному решению задач типа (1)(5) в различных постановках, возникающих в приложениях; как правило, ищутся коэффициенты , зависящие от времени или, наоборот, от пространственных переменных, точки в (4) чаще всего являются внутренними точками областей , . Отметим, например, работы [4], [7], [8], [10][14]. В качестве метода почти во всех работах используется сведение обратной задачи к некоторой задаче управления и минимизация соответствующего квадратичного функционала ([4], [8], [10], [11], [13], [14]). Опишем некоторые рассмотренные задачи. В работе [3] рассматриваются задачи определения коэффициента теплообмена на границе раздела сред. Полученные результаты и методы позволяют подойти к построению численных методов, но в работе получены теоретические результаты. В случае одной пространственной переменной зависящий от температуры коэффициент теплообмена по точечным условиям переопределения численно определяется в статье [8]. Двумерная обратная задача определения коэффициентов теплообмена (зависящих специальным образом от дополнительных параметров, которые и подлежат определению) по набору значений решений в заданных точках численно решается в работе [10]. В работах [7], [12] рассматриваются и численно решаются обратные задачи определения коэффициента теплообмена, зависящего от двух пространственных переменных с помощью метода Монте-Карло. В качестве условий переопределения берется значение решения на части границы области. Одновременное определение коэффициента, входящего в параболическое уравнение, и коэффициента теплообмена осуществляется в работе [13]. В качестве условий переопределения используются значения замеров температур в точках на границе раздела слоев (как и в условии (4). Точечные условия переопределения также используются в [4] и [11], в последней была рассмотрена одномерная обратная задача одновременного определения теплового потока на одной из боковых поверхностей цилиндра и термического контактного сопротивления на границе раздела сред. Численное определение коэффициента теплообмена по данным замеров на доступной части внешней границы рассматриваемой области осуществляется в работе [14]. Задачи численного определения точечных источников в обратных задачах тепломассопереноса рассмотрены в работе [6], где источники задаются в виде суммы дельта-функций Дирака с коэффициентами, зависящими от времени и характеризующими мощность соответствующего источника.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
В ходе работы будем основываться на результатах, полученных в работах [2] и [9], в которых получены и доказаны теоремы о существовании и единственности решения.
Рассмотрим случай , . Положим , , .
Условия согласования данных имеют вид:
(6)
Опишем метод в случае . Для численного решения используем метод конечных элементов. Далее для простоты рассматриваем условия (3) с условиями согласования (6).
Ищем функцию в виде , где функции подлежат определению, а функции известны. Считаем, что точки с лежат во множестве , соответственно точки с во множестве .
Опишем метод решения прямой задачи. Задана триангуляция областей и соответствующие базисы метода конечных элементов , . Узлы сетки обозначим через .
Ищем приближенное решение в виде
Для удобства далее считаем, что точки ( ) совпадают с узлами сетки , а точки ( ) совпадают с узлами сетки . Функции определяем из системы
, (7)
где координаты имеют вид
при и при
матрица с элементами при , при , если и или и .
матрица с элементами:
, (8)
при (в этом случае интегралы берутся по ) или (в этом случае интегралы берутся по ), считаем, что , если и или и . Имеем, чтo . Координаты вектора имеют вид
при
при .
Здесь . Решение системы ищем методом конечных разностей. Пусть . шаг по времени. Заменим уравнение (7) системой (9)
где , Пусть , .
Положим . , , .
Запишем координаты вектора . Возьмем
Опишем ситуацию более подробно. Положим
при и
при .
Здесь . Тогда
где матрица имеет размерность . Перепишем равенство (9) в виде
(10)
Построим матрицу такую, что при , при , а остальные элементы матрицы равны нулю. Обращая матрицу из (10), получим
(11)
Применив матрицу и используя условия переопределения, получим
(12)
Обозначим (матрица имеет размерность ).
Отсюда, из равенства (12), находим вектор :
(13)
Определим начальные данные. Имеем . При правая часть системы (13) известна, тем самым найдем , используя равенство (11), найдем вектор . Далее повторяем рассуждения: на -м шаге известны , . Используя равенство (13), найдем , затем из (11) найдем вектор . Матрица может быть сингулярной, поэтому для улучшения сходимости используем регуляризацию и заменяем в формуле (13) матрицу матрицей .
Сходимость алгоритма. Исходя из построения, легко увидеть, что система (8) эквивалентна системе:
(14)
(15)
где (мы добавили индекс в определении функции ). Кроме того, здесь Положим также, что при , , .
Умножим равенства (14), (15) на постоянные и суммируем по (в соответствующих диапазонах). Получим
(16)
(17)
где , . Суммируя равенства (16), (17) по и меняя суммирование в первом слагаемом (используем равенства
, где полагаем ), получим
(18)
(19)
Положим при , , при , , , , при , , , при , , .
Аналогичным образом определяем функции , , например, при , , . Используя эти определения, можно переписать равенства (19), (18) в виде:
где *,
Предполагаем, что найдутся постоянные такие, что
Также предположим, что найдется постоянная , не зависящая от сетки по пространственным переменным и времени, такая, что
***TRANSLATION ERROR*** (22)
Считаем, что функции линейно независимы. Тогда найдется постоянная , не зависящая от , такая, что
(23)
Поскольку число r фиксировано, то оценка (23) влечет также оценку вида
, (24)
где определяется из условия . Оценка (22) гарантирует также оценку
. (25)
Фиксируем и предположим, что для всех i. Оценки (22)-(25) влекут, что найдутся подпоследовательности такие, что
слабо, -слабо и по норме.
Если мы дополнительно предположим, что у нас есть оценка вида
(26)
или вида
, (27)
где произвольно (в том числе возможно, что ) и , то стандартные утверждения о компактности влекут, что существует подпоследовательность такая, что , или сильно в .
При выполнении этих оценок можно сформулировать следующее утверждение:
Лемма 1. Пусть имеют место оценки (22)(25) и одна из оценок (26), (27). Тогда в равенствах (30), (31) можно перейти к пределу по , и предельное решение есть обобщенное решение задачи сопряжения из класса
, .
Доказательство. Рассмотрим равенства (20), (21). Взяв , фиксировав функции и переходя к пределу по получим равенства:
(28)
(29)
Далее берем произвольную функцию , удовлетворяющую однородным условиям Дирихле на боковой поверхности области и такую, что . Построив приближение функции в норме перейдем к пределу и из (28), (29) получим равенства:
(30)
(31)
справедливые для всех , таких, что , и удовлетворяющих условиям Дирихле в (4). Используя определение обобщенной производной, получим, что существуют обобщенные производные и . Таким образом, мы пришли к определению обобщенного решения задачи сопряжения из класса , .
РЕЗУЛЬТАТЫ И ЭКСПЕРИМЕНТЫ
Перейдем к рассмотрению численных экспериментов и анализу их результатов. Полученный программный комплекс был зарегистрирован, и получено соответствующее свидетельство. Получаемые результаты вычислений напрямую зависят от характеристик производительности компьютера. Характеристики компьютера, на котором были получены описываемые далее данные, следующие: процессор Intel(R) Core(TM) i5-9500F CPU @ 3.00GHz 3.00GHz, 16.00 GB RAM.
В описываемом эксперименте время выполнения расчета в секундах, рассчитаная точность полученных вычислений, уровень случайного шума, , функции :
.
В следующей таблице представлены результаты расчетов при .
Таблица 1. Расчеты при
No exp. | Φ | r | δ | ε_0 | τ |
1 | Φ1 | 3 | 0 | 0,0107 | 6,95 |
2 | Φ1 | 4 | 0 | 0,0136 | 7,39 |
3 | Φ1 | 5 | 0 | 0,0166 | 7,2 |
4 | Φ2 | 3 | 0 | 0,0094 | 7,15 |
5 | Φ2 | 4 | 0 | 0,0126 | 6,2 |
6 | Φ2 | 5 | 0 | 0,0165 | 7,18 |
7 | Φ3 | 3 | 0 | 0,01 | 6,07 |
8 | Φ3 | 4 | 0 | 0,0135 | 8,35 |
9 | Φ3 | 5 | 0 | 0,0171 | 6,07 |
Далее представлены результаты при .
Таблица 2. Расчеты при
No exp. | Φ | r | δ | ε_0 | τ |
1 | Φ1 | 3 | 0 | 0,00102 | 9,75 |
2 | Φ1 | 4 | 0 | 0,00124 | 9,79 |
3 | Φ1 | 5 | 0 | 0,00154 | 10,52 |
4 | Φ2 | 3 | 0 | 0,00099 | 9,61 |
5 | Φ2 | 4 | 0 | 0,00121 | 9,71 |
6 | Φ2 | 5 | 0 | 0,00159 | 8,22 |
7 | Φ3 | 3 | 0 | 0,00091 | 10,42 |
8 | Φ3 | 4 | 0 | 0,012 | 9,78 |
9 | Φ3 | 5 | 0 | 0,0164 | 11,77 |
И результаты при увеличении точности до .
Таблица 3. Расчеты при
No exp. | Φ | r | δ | ε_0 | τ |
1 | Φ1 | 3 | 0 | 0,000099 | 13,9 |
2 | Φ1 | 4 | 0 | 0,000135 | 12,14 |
3 | Φ1 | 5 | 0 | 0,000166 | 13,32 |
4 | Φ2 | 3 | 0 | 0,000109 | 11,56 |
5 | Φ2 | 4 | 0 | 0,000121 | 13,03 |
6 | Φ2 | 5 | 0 | 0,000163 | 13,53 |
7 | Φ3 | 3 | 0 | 0,0001 | 12,91 |
8 | Φ3 | 4 | 0 | 0,000119 | 12,36 |
9 | Φ3 | 5 | 0 | 0,000165 | 11,96 |
Также для проверки устойчивости решения на условия переопределения накладывались случайные возмущения данных. где , а задается пользователем. В ходе экспериментов случайный шум был равен 5 и 10 %, соответственно или .
Далее были произведены расчеты при различных при добавлении случайного шума в 5 и 10 %, в таблице 4 приведены расчеты при .
Таблица 4. Расчеты при изменениях при
No exp. | Φ | r | δ | ε_0 | τ |
2 | Φ1 | 3 | 5 | 0,0103 | 11,04 |
3 | Φ1 | 3 | 10 | 0,015 | 10,54 |
5 | Φ1 | 4 | 5 | 0,0155 | 11,98 |
6 | Φ1 | 4 | 10 | 0,015 | 14,57 |
8 | Φ1 | 5 | 5 | 0,0171 | 11,63 |
9 | Φ1 | 5 | 10 | 0,0187 | 18,63 |
11 | Φ2 | 3 | 5 | 0,013 | 8,8 |
12 | Φ2 | 3 | 10 | 0,0117 | 11,19 |
14 | Φ2 | 4 | 5 | 0,0153 | 9,88 |
15 | Φ2 | 4 | 10 | 0,0148 | 12,79 |
17 | Φ2 | 5 | 5 | 0,0166 | 11,92 |
18 | Φ2 | 5 | 10 | 0,0186 | 18,79 |
20 | Φ3 | 3 | 5 | 0,0127 | 10,69 |
21 | Φ3 | 3 | 10 | 0,0134 | 13,03 |
23 | Φ3 | 4 | 5 | 0,016 | 13,46 |
24 | Φ3 | 4 | 10 | 0,0169 | 12,82 |
26 | Φ3 | 5 | 5 | 0,0186 | 12,13 |
27 | Φ3 | 5 | 10 | 0,0188 | 17,16 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ
В результате вычислений отчетливо видно увеличение времени работы программы при повышении точности и при достаточно серьезных изменениях входных данных (при увеличении ошибки до 15 и 20 % расчеты могут выполняться с ошибками или занять кратно больше времени). Также стоит отметить, что увеличение времени работы при не так заметно повышает точность вычислений, соответственно для большей эффективности и дальнейших вычислений и проверки алгоритма было решено остановиться на в связи с небольшими временными потерями, но достаточно точных вычислениях.