Determination of the absorption coefficient from discrete data

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Мы исследуем обратные задачи об определении неизвестного коэффициента поглощения $–$ младшего коэффициента в параболическом уравнении вида

$\begin{array}{c}Lu+g\left(t,x\right)u=u_t-L_{0}u+g\left(t,x\right)u=f\left(t,x\right), \left(t,x\right)\in Q=\left(\mathrm{0,}T\right)\times G,\end{array}$(1)

где $L_{0}u={{\displaystyle \sum }}_{i,j=1}^n{a}_{ij}\left(t,x\right)u_{x_i{x}_j}-{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^n{a}_i\left(t,x\right)u_{x_i}-a_0\left(t,x\right)u$***TRANSLATION ERROR***, $G \subset {ℝ}^n$ $–$ ограниченная область с границей $\text{Γ}$. Функция g имеет вид $g\left(t,x\right)={{\displaystyle \sum }}_{i=1}^r{\alpha }_i{\Phi }_i\left(t,x\right)$, где α_i $–$ неизвестные постоянные и {Фi } $–$ некоторый набор линейно независимых функций. Уравнение (1) дополняется начально-краевыми условиями:

$Bu{|}_S=g_0\left(t,x\right)\left(S=\left(\mathrm{0,}T\right)\times \text{Γ}\right),u{|}_{t=0}=u_0\left(x\right),$ (2)

где $Bu={{\displaystyle \sum }}_{i=1}^n{\gamma }_i\left(t,x\right)\frac{\partial u}{\partial x_i}+\sigma \left(t,x\right)u$ или $Bu=u$ и $\overrightarrow{\gamma }\left(t,x\right)$ $–$ некасательное к $\text{Γ}$ векторное поле, направленное вне области $G$ и условиями переопределения,

$u\left(t_i,y_i\right)={\psi }_i,i=\mathrm{1,2,}\dots ,r,$ (3)

где $\left(t_i,y_i\right)\in \overline{Q}$, $y_i\in G$, $0<t_i\le T$ ( $i=\mathrm{1,2,}\dots ,r$ ). Задача состоит в нахождении решения уравнения (1), удовлетворяющего условиям (2)$–$(3) и неизвестных параметров αi, функции Фi считаются заданными.

Коэффициентные обратные задачи являются классическими. Они возникают в самых различных задачах математической физики: описание различных процессов тепломассопереноса [1]$–$[4], фильтрации, экологии (определение потоков парниковых газов [5]$–$[7], описание процессов поглощения метана в почвах [8]$–$[10] и др.). В частности, в работах [8]$–$[10] функция g = g(x) $–$ скорость поглощения метана в почвах. Соответствующая модель предложена в работе [8]. В работах [9], [10] рассмотрен вопрос о численном определении скорости поглощения в стационарном случае. Отметим, что изучение величин потребления (удельных потоков) CH4, понимание процессов, обусловливающих его временную и пространственную динамику, а также моделирование потребления необходимы для построения обоснованных климатических прогнозов. Как известно, потребление метана в почве за счет окисления метанотрофными бактериями в автоморфных почвах $–$ единственный известный биологический механизм стока для атмосферного метана [11].

В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных исследованию обратных задач об определении младшего коэффициента в параболическом уравнении в различных постановках, возникающих в приложениях. Прежде всего отметим работу [12], где рассмотрена задача об определении коэффициента g = g(x) по условию финального переопределения, т. е. условие (3) заменяется на условие $u\left(T,x\right)=\phi \left(x\right)$. Эта задача совпадает с классической задачей управления: перевести систему из заданного состояния u0 в состояние $u(T,x)$ за счет изменения параметров системы. В этой работе получена теорема существования и единственности классических решений задачи. Доказательства основаны на принципе максимума, и коэффициент g ищется знакоопределенным. Эти результаты также изложены в монографии [4]. Теорема существования и единственности решений задачи об определении коэффициента g = g(x) в случае финального переопределения имеется также в работе [15] (см. также [14]). В работе [16] требуется выполнение некоторых неравенств, связывающих между собой нормы данных, фактически эти условия $–$ условия малости данных. Аналогичные условия требуются и в работе [17], где коэффициент g ищется в виде $g\left(t,x\right)={{\displaystyle \sum }}_{i=1}^r{\text{g}}_i{\Phi }_i{\left(x\right)}_i\left(t,x\right)$ с неизвестными функциями gi(x) и дополнительно задаются значения решения u(ti,x) в некотором наборе точек t = ti ) i = 1,…,r). Здесь также получены теоремы существования и единственности решений. В работе [18] рассматривается одномерная задача, где коэффициент g(x) определяется по данным Коши на боковой стороне прямоугольника. Отметим также работы [19, 13], [20], где рассматриваются вопросы корректности задачи определения функции g(x) с использованием интегральных условий переопределения. Гораздо больше работ посвящено определению младшего коэффициента g, зависящего от времени. Мы сошлемся только на работы [21]$–$[24], где можно найти библиографию. Сошлемся на работы [25]$–$[26], где коэффициент g = (t) определяется численно, хотя можно отметить, что таких работ очень много. Условия переопределения вида (3) использовались в ряде работ для определения различных параметров в уравнении (см., например, [27]).

Мы не нашли теоретических результатов, посвященных задаче (1)$–$(3), в литературе. Наши результаты наиболее близки к результатам работы [17]. В работе основное внимание посвящено условиям существования решения задачи (1)$–$(3) в классах Соболева. Полученные результаты допускают обобщение в том числе и на квазилинейный случай и могут послужить основой для создания численного алгоритма.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Определения и вспомогательные результаты. Пусть $E$ $–$ банахово пространство. Через $L_p\left(G;E\right)$ ( $G$ $–$ область в ${ℝ}^n$ ) обозначается пространство сильно измеримых функций, определенных на $G$ со значениями в $E$ и конечной нормой $\parallel \parallel u\left(x\right){\parallel }_E{\parallel }_{L_p\left(G\right)}$ [28]. Обозначения для пространств Соболева $W_p^s\left(G;E\right)$, $W_p^s\left(Q;E\right)$ и т. д. стандартные (см. [28], [34]). Если $E=ℝ$ или $E={ℝ}^n$, то последнее пространство обозначаем просто через $W_p^s\left(Q\right)$. Определения пространств Гельдера $C^{\alpha ,\beta }\left(\overline{Q}\right),C^{\alpha ,\beta }\left(\overline{S}\right)$ могут быть найдены, например, в [29]. Все рассматриваемые пространства и коэффициенты уравнения (1) мы считаем вещественными. Под нормой вектор-функции понимаем сумму норм координат. Для данного интервала $J=\left(\mathrm{0,}T\right)$ положим $W_p^{s,r}\left(Q\right)=W_p^s\left(J;L_p\left(G\right)\right)\cap L_p\left(J;W_p^r\left(G\right)\right)$. Соответственно, $W_p^{s,r}\left(S\right)=W_p^s\left(J;L_p\left(\text{Γ}\right)\right)\cap L_p\left(J;W_p^r\left(\text{Γ}\right)\right)$. Пусть $\left(u,v\right)={{\displaystyle \int }}_{G}u\left(x\right)v\left(x\right)dx$***TRANSLATION ERROR***. Определение границы класса $C^s$, $s\ge 1$ имеется в [29, гл. 1]. Рассматривая задачу (1)$–$(3), мы предполагаем, что $\text{Γ}\in C^2$.

Оператор $L_0$ считается эллиптическим, т. е. для некоторой постоянной ${\delta }_0>0$ выполнено неравенство

${\displaystyle \sum }_{i,j=1}^n{a}_{ij}{\xi }_i{\xi }_j\ge {\delta }_0|\xi {|}^2\forall \xi \in {ℝ}^n,\forall \left(t,x\right)\in Q.$

Приведем условия на исходные данные. Считаем, что выполнены условия

$a_i\in L_q\left(Q\right)\left(q>n+2\right),a_{kl}\in C\left(\overline{Q}\right),\sigma ,{\gamma }_k\in W_{q_0}^{s_0\mathrm{,2}{s}_0}\left(S\right),a_0\in L_p\left(Q\right),$ (4)

где

$q_0>2\left(n+1\right)p/\left(p-1\right)$, $p>\left(n+2\right)/\mathrm{2,}{s}_0=1/2-1/2p$, $i=1\dots ,n,k,l=\mathrm{1,}\dots ,n$;

$u_0\left(x\right)\in W_p^{2-\frac{2}{p}}\left(G\right),f\in L_p\left(Q\right),{\text{Φ}}_i\left(t,x\right)\in L_p\left(Q\right),i=\mathrm{1,}\dots ,r,g_0\in W_p^{k_0\mathrm{,2}{k}_0}\left(S\right),$ (5)

где $k_0=1/2-1/2p$, если $Bu\ne u$ и $k_0=1-1/2p,$ в противном случае;

$g_0\left(\mathrm{0,}x\right)=u_0{|}_{\text{Γ}},\text{ если }Bu=u,g_0\left(\mathrm{0,}x\right)=B\left(\mathrm{0,}x,D\right)u_0{|}_{\text{Γ}},\text{ если }Bu\ne u,p>3.$ (6)

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)$–$(6). Тогда существует единственное решение задачи (1)$–$(2) такое, что $u\in W_p^{\mathrm{1,2}}\left(Q\right)$, причем справедлива оценка

$\parallel u{\parallel }_{W_p^{\mathrm{1,2}}\left(Q\right)}\le c_0\left(\parallel u_0{\parallel }_{W_p^{2-2/p}\left(G\right)}+\parallel f{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}+\parallel g{\parallel }_{W_p^{s_0\mathrm{,2}{s}_0}\left(S\right)}\right).$

Доказательство. Существование и единственность решений задачи (1), (2) вытекает из известных результатов о разрешимости параболических задач. Мы можем сослаться, например, на теоремы 2. 1 в [30, 31] и на теорему 5.3 в [32]. Отметим, что стандартные результаты (см., например, теорему 10.4 параграфа 10 гл. 7 в [29]) не дают утверждения теоремы, поскольку там требуется, чтобы в последнем включении в (4) пространство Соболева было заменено на пространства Гельдера.

Обозначим через $\Phi$ решение задачи (1)$–$(2), где $\overrightarrow{\alpha }=0$, а соответствующую постоянную $c_0$ в этом случае обозначим через $C_0$.

Основные результаты. Вначале приведем некоторые построения. Сделаем замену $v=u+\text{Φ}$ в уравнении (1). Функция $v$ есть решение эквивалентной задачи

$v_t-L_{0}v+g\left(t,x\right)\left(v+\Phi \right)=\mathrm{0,}Bv{|}_S=0,v{|}_{t=0}=\mathrm{0,}$ (7)

$v\left(t_i,y_i\right)={\tilde{\psi }}_i={\psi }_i-\text{Φ}\left(t_i,y_i\right),i=\mathrm{1,2,}\dots ,r.$ (8)

Пусть $u$ решение задачи (1)$–$(2) из класса, указанного в теореме 1. Тогда $v\in W_p^{\mathrm{1,2}}\left(Q\right)$ и в силу теорем вложения $v\in C^{1-\left(n+2\right)/2p\mathrm{,2}-\left(n+2\right)/p}\left(\overline{Q}\right)\subset C\left(\overline{Q}\right)$ (см. теоремы вложения в [34, теорема 2.6.6]). Обозначим через $L^{-1}$ оператор, сопоставляющий функции $f\in L_p\left(Q\right)$ решения задачи $Lv=f,Bv{|}_S=0,v{|}_{t=0}=0.$ Аналогичным образом определяем оператор ${(L+g)}^{-1}f$.

Преобразуем уравнение (7). Выражая функцию $v,$ придем к равенству $v=-{(L+g)}^{-1}g\Phi .$ Далее имеем

$v=-{(L+g)}^{-1}g\Phi =-L^{-1}L{(L+g)}^{-1}g\Phi =-L^{-1}g\Phi +L^{-1}g{(L+g)}^{-1}g\Phi .$ (9)

Воспользовавшись определением функции $g,$ получим, что $L^{-1}g\Phi ={\sum }_{i=1}^r{\alpha }_i{L}^{-1}{\mathrm{\Phi }}_i\mathrm{\Phi }$. Построим матрицу $B$ с элементами $b_{ji}=L^{-1}{\mathrm{\Phi }}_i\mathrm{\Phi }\left(t_j,y_j\right)$. Взяв равенство $\left(9\right)$ в точке $\left(t_j,y_j\right),$ придем к системе

$\underset{i=1}{\overset{r}{}}{\alpha }_i{b}_{ji}=-v\left(t_j,y_j\right)+L^{-1}g{(L+g)}^{-1}g\mathrm{\Phi }\left(t_j,y_j\right),j=\mathrm{1,2,}\dots ,r.$ (10)

Если $v$ есть решение обратной задачи (7), (8), то система (10) может быть записана в виде

${\displaystyle \sum }_{i=1}^r{\alpha }_i{b}_{ji}=-{\tilde{\psi }}_j+L^{-1}g{(L+g)}^{-1}g\text{Φ}\left(t_j,y_j\right),j=\mathrm{1,2,}\dots ,r.$  (11)

В матричном виде эти равенства имеют вид

$B\overrightarrow{\alpha }=\overrightarrow{\psi }+R\left(\alpha \right),$ (12)

где $\overrightarrow{\psi }={(-{\tilde{\psi }}_1,-{\tilde{\psi }}_2,\dots ,-{\tilde{\psi }}_r)}^T$, $R={(R_1,\dots ,R_r)}^T$ с $R_j=L^{-1}g{(L+g)}^{-1}g\text{Φ}\left(t_j,y_j\right)$, $j=\mathrm{1,2,}\dots ,r$. Тогда можно сформулировать следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть выполнены условия (4)$–$(6). Если $\overrightarrow{\alpha }$ есть решение системы (12), то функция $v$, определяемая равенством (9), есть решение обратной задачи (7), (8). Наоборот, если $v$ есть решение обратной задачи (7), (8), то $\overrightarrow{\alpha }$ есть решение системы (12).

Доказательство. Утверждение леммы в обратную сторону мы уже получили, выводя систему (12). Предположим, что $\overrightarrow{\alpha }$ есть решение системы (12). Построим функцию $v$ как функцию, определяемую равенством (9). Как и ранее, после преобразований получим равенство (10). Покоординатная запись системы (12) имеет вид (11). Вычитая равенства (10), (11), получим, что $v\left(t_j,y_j\right)={\tilde{\psi }}_j$. Таким образом, равенство (9) выполнено. Кроме того, по определению функция $v$ есть решение задачи (7).

Чтобы исследовать разрешимость задачи (7), (8), мы наложим дополнительное условие корректности

$detB\ne 0.$ (13)

Далее в качестве нормы числового вектора $\overrightarrow{e}$ используем максимум моделей координат, а в качестве нормы вектор-функции используем сумму норм координат. В частности, $\parallel \overrightarrow{\alpha }\parallel ={\text{max}}_j\left|{\alpha }_j\right|$, $\parallel \overrightarrow{\Phi }{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}={{\displaystyle \sum }}_{j=1}^r\parallel {\Phi }_j{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}$. Тогда обозначим норму матрицы $B^{-1}$ через $C_1$.

Для удобства далее будем считать, что $T\le 1$.

Лемма 2. Пусть $v\in W_p^{\mathrm{1,2}}\left(Q\right)$ удовлетворяет начальным и краевым условиям (7). Тогда справедливо неравенство

$\parallel v{\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}\le C_2{T}^{1-s}\parallel v{\parallel }_{W_p^{\mathrm{1,2}}\left(Q\right)},$

где постоянная $C_2$ не зависит от $T\in \left(\mathrm{0,1}\right]$ и $s\in \left(\mathrm{0,1}-\left(n+2\right)/2p\right)$ произвольно.

Доказательство. Пусть $s<1-\left(n+2\right)/2p$. Мы имеем $v\in W_p^{s\mathrm{,2}s}\left(Q\right)\subset C\left(\overline{Q}\right)$ при $s>\left(n+2\right)/2$ (см. [34, теорема 2.6.6]). Тогда, используя интерполяционные неравенства ([34, следствие 5.7.3, гл. 7]), получим оценку

$\parallel v{\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}\le c_1\parallel v{\parallel }_{W_p^{s\mathrm{,2}s}\left(Q\right)}\le c_1{c}_2\parallel v{\parallel }_{W_p^{\mathrm{1,2}}\left(Q\right)}^s\parallel v{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}^{1-s}.$

Используя формулу Ньютона $–$ Лейбница, получим неравенство

$\parallel v{\parallel }_{L_p\left(\mathrm{0,}T;E\right)}\le T\parallel v_t{\parallel }_{L_p\left(\mathrm{0,}T;E\right)}$, где $E$ $–$ произвольное банахово пространство. Тогда предыдущее неравенство гарантирует оценку

$\parallel v{\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}\le c_1{c}_2{T}^{1-s}\parallel v{\parallel }_{W_p^{\mathrm{1,2}}\left(Q\right)}.$

Таким образом, $C_2=c_1{c}_2$. Отметим, что обе постоянные $c_1,c_2$ ограничены при $T\to 0$. Последнее вытекает из того простого факта, что функцию $v$ можно продолжить нулем при $t<0$ на произвольный интервал, например, на интервал $\left(-\mathrm{1,}T\right)$ с сохранением класса.

Положим $\overrightarrow{\mathrm{\Phi }}={({\mathrm{\Phi }}_1,{\mathrm{\Phi }}_2,\dots ,{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{r}})}^T$ и потребуем выполнения неравенств

$\parallel B^{-1}\overrightarrow{\psi }\parallel \le \text{max}\left(M_1,M_2\right),M_1=\frac{1}{2C_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}},$

$M_2=\frac{1}{4C_0^2{C}_1{C}_2^2{T}^{2-2s}\parallel \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}^2\parallel \mathrm{\Phi }{\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)}}.$ (14)

Теорема 2. Пусть выполнены условия (4)$–$(6), (13), (14). Тогда существует решение $\left(u,\overrightarrow{\alpha }\right)$ задачи (1)$–$(3) такое, что $u\in W_p^{\mathrm{1,2}}\left(Q\right)$.

Доказательство. Мы будем исследовать разрешимость системы (12), используя теорему Шаудера. Оценим норму оператора $B^{-1}R+B^{-1}\overrightarrow{\psi }$ и покажем, что он переводит некоторый шар $B_{R_0}=\left\{\overrightarrow{\alpha }:\parallel \overrightarrow{\alpha }\parallel \le R_0\right\}$ в себя. Имеем, используя лемму 2 и теорему 1, что

$\begin{array}{l}\parallel B^{-1}R\left(\alpha \right)\parallel \le C_3{T}^{1-s}\parallel g{(L+g)}^{-1}g\Phi {\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\le C_3{T}^{1-s}\parallel g{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\parallel {(L+g)}^{-1}g\Phi {\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}\le C_3{T}^{1-s}\parallel \overrightarrow{\alpha }\parallel \parallel \Phi {\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\parallel {(L+g)}^{-1}g\Phi {\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)},\\ C_3=C_0{C}_1{C}_2.\end{array}$ (15)

Оценим $\parallel {(L+g)}^{-1}g\text{Φ}{\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}$. Пусть ${(L+g)}^{-1}{f}_0=w$, где $f_0\in L_p\left(Q\right)$. Тогда $w_t-L_{0}w+gw=f_0.$ Это равенство можно записать в виде

$w=-L^{-1}gw+L^{-1}{f}_0.$ (16)

Оценим норму

$\parallel L^{-1}gw{\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}\le C_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel gw{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\le C_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel g{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\parallel w{\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}\le$

$C_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel \overrightarrow{\alpha }\parallel \parallel \overrightarrow{\Phi }{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\parallel w{\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}.$

Тогда, если

$C_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel \overrightarrow{\alpha }\parallel \parallel \overrightarrow{\Phi }{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\le 1/\mathrm{2,}$ (17)

то уравнение (16) имеет единственное решение и справедлива оценка

$\parallel w{\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}\le 2\parallel L^{-1}{f}_0{\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}\le 2C_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel f_0{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}.$ (18)

Если мы возьмем $f_0=g\text{Φ}$, то получим оценку

$\parallel {(L+g)}^{-1}g\text{Φ}{\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}\le 2C_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel \overrightarrow{\alpha }\parallel \parallel \overrightarrow{\Phi }{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\parallel \Phi {\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)}.$

Окончательно из (15), (18) имеем оценку

$\parallel B^{-1}R\left(\alpha \right)\parallel \le 2C_0^2{C}_1{C}_2^2{T}^{2-2s}\parallel \overrightarrow{\alpha }{\parallel }^2\parallel \overrightarrow{\Phi }{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}^2\parallel \Phi {\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)}.$

Положим, $R_0=2\parallel B^{-1}\overrightarrow{\psi }\parallel$, и пусть $\overrightarrow{\alpha }\in B_{R_0}$. Тогда при условии (17) и условии

$C_0^2{C}_1{C}_2^2{T}^{2-2s}\parallel \overrightarrow{\alpha }{\parallel }^2\parallel \overrightarrow{\Phi }{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}^2\parallel \Phi {\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)}\le R_0/4$

множество значений оператора $B^{-1}\overrightarrow{\psi }+B^{-1}R\left(\overrightarrow{\alpha }\right)$ лежит в $B_{R_0}$. Как следствие (17), (19), для того, чтобы оператор $B^{-1}\overrightarrow{\psi }+B^{-1}R\left(\overrightarrow{\alpha }\right)$ переводил шар $B_{R_0}$ в себя, необходимо потребовать, чтобы

$R_0\le \frac{1}{2C_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel \overrightarrow{\Phi }{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}}=M_1,R_0\le \frac{1}{4C_0^2{C}_1{C}_2^2{T}^{2-2s}\parallel \overrightarrow{\Phi }{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}^2\parallel \Phi {\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)}}=M_2.$

Кроме того, в силу конечномерности шара этот оператор будет и вполне непрерывным (просто непрерывность оператора очевидна). Тогда по теореме Шаудера уравнение (12) имеет решение в этом шаре. Функция $v$ находится затем как решение задачи (7).

Следствие 1. Анализируя условие (14), легко заметить, что при выполнении условия (13) теорема существования 1 имеет место, если параметр $T$ достаточно мал.

Далее мы приведем некоторые замечания по поводу условия корректности (13).

Вообще говоря, если мы строим приближение функции $g\left(t,x\right),$ используя данные (3), то систему линейно независимых функций ${\Phi }_i$ мы выбираем сами, исходя из каких-то соображений. Например, предположим, что функция $\Phi \left(t.x\right)$ обладает свойством:

найдется окрестность $U$ множества точек $\left\{\left(t_i,y_i\right)\right\}$ такая, что

$\left|\Phi \right|\ge {\delta }_1>0\text{ для всех }\left(t,x\right)\in U\cap Q.$ (19)

Не так трудно построить систему функций ${\phi }_i\in C^2\left(\overline{Q}\right)$ такую, что ${\phi }_i\left(t_j,y_j\right)={\delta }_{ij}$ $–$ символ Кронекера, ${\phi }_i$ удовлетворяют однородным граничным и начальным условиям (2), $supp{\phi }_i\subset U$ для всех $i$. Тогда система

${\Phi }_{1i}=\frac{1}{\Phi }L{\phi }_i,L^{-1}{\Phi }_{1i}\Phi ={\phi }_i,$

обладает тем свойством, что $det\left\{L^{-1}{\Phi }_{1i}\Phi \left(t_j,y_j\right)\right\}=\mathrm{1,}$ и таким образом условие корректности (13) выполнено.

Более того, справедливо следующее утверждение:

Лемма 3. Пусть выполнены условия (4)$–$(6), (19), и система функций $\left\{{\mathrm{\Phi }}_i\right\}$ такова, что $det \left\{L^{-1}{\mathrm{\Phi }}_i\mathrm{\Phi }\left(t_j,y_j\right)\right\}=0$ $\left(i,j=\mathrm{1,2,}\dots ,r\right)$. Тогда для любого $\epsilon >0$ найдется система ${\mathrm{\Phi }}_{0i}\in L_p\left(Q\right)$ $\left(i=\mathrm{1,2,}\dots ,r\right)$ такая, что $\parallel \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}-{\overrightarrow{\mathrm{\Phi }}}_0{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}<\epsilon$ и $det \left\{L^{-1}{\mathrm{\Phi }}_{0i}\mathrm{\Phi }\left(t_j,y_j\right)\right\}\ne 0$. Здесь ${\overrightarrow{\mathrm{\Phi }}}_0={({\mathrm{\Phi }}_{01},{\mathrm{\Phi }}_{02},\dots ,{\mathrm{\Phi }}_{0\mathrm{r}})}^T$.

Доказательство. Раcсмотрим систему функций ${\text{Φ}}_{0i}={\text{Φ}}_i+\delta {\text{Φ}}_{1i}$, где функции ${\text{Φ}}_{1i}$ определены равенством (22). Тогда функция $\psi \left(\delta \right)=det\left\{L^{-1}{\mathrm{\Phi }}_{0i}\mathrm{\Phi }\left(t_j,y_j\right)\right\}$ есть многочлен по параметру $\delta ,$ и, более того, коэффициент перед старшей степенью равен $det\left\{L^{-1}{\mathrm{\Phi }}_{1i}\mathrm{\Phi }\left(t_j,y_j\right)\right\}=1$. Выберем ${\delta }_0>0$ так, чтобы $\parallel \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}-{\overrightarrow{\mathrm{\Phi }}}_0{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}<\epsilon$ для всех $\left|\delta \right|<{\delta }_0$. Поскольку число нулей многочлена конечно, то в любой окрестности точки $\delta =0$ найдутся точки, где $\psi \left(\delta \right)\ne 0$.

Рассмотрим вопрос о единственности решений задачи. Естественно утверждать, что теорема единственности имеет место в некотором шаре $\overrightarrow{\alpha }\in B_{R_1}$. Приведем условия единственности:

$C_1\left(6C_0^2{C}_2^2{T}^{2-2s}{R}_1\parallel \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}^2\parallel \mathrm{\Phi }{\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)}+2C_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\parallel \mathrm{\Phi }{\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)}\right)<\mathrm{1,}$ (20)

$R_1{C}_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel \overrightarrow{\Phi }{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\le 1/2.$ (21)

Теорема 3. Пусть выполнены условия (4)$–$(6), (13), (14), (20), (21). Тогда если $\left(u_i,{\overrightarrow{\alpha }}_i\right)$ $\left(i=\mathrm{1,2}\right)$ два решения задачи (1)$–$(3) и ${\alpha }_i\in B_{R_1}$, то $u_1=u_2$, ${\alpha }_1={\alpha }_2$.

Доказательство. Мы предположим, что ${\overrightarrow{\alpha }}_1,{\overrightarrow{\alpha }}_2\in B_{R_1}$ два различных решения системы (12), и $v_1,v_2$ $–$ соответствующие решения задачи (7). Вычитая соответствующие уравнения системы (12), получим равенство

$B\left({\overrightarrow{\alpha }}_1-{\overrightarrow{\alpha }}_2\right)=R\left({\overrightarrow{\alpha }}_1\right)-R\left({\overrightarrow{\alpha }}_2\right).$

Отсюда имеем оценку

$\parallel {\overrightarrow{\alpha }}_0\parallel \le C_1\parallel R\left({\overrightarrow{\alpha }}_1\right)-R({\overrightarrow{\alpha }}_2\parallel ,{\overrightarrow{\alpha }}_0={\overrightarrow{\alpha }}_1-{\overrightarrow{\alpha }}_2.$ (22)

Имеет место представление

$R_j\left({\overrightarrow{\alpha }}_1\right)-R_j\left({\overrightarrow{\alpha }}_2\right)=-L^{-1}{g}_1{v}_1\left(t_j,y_j\right)+L^{-1}{g}_2{v}_2\left(t_j,y_j\right)=$

$-\frac{1}{2}{L}^{-1}\left(g_1-g_2\right)\left(v_1+v_2\right)\left(t_j,y_j\right)-\frac{1}{2}{L}^{-1}\left(g_1+g_2\right)\left(v_1-v_2\right)\left(t_j,y_j\right)=I_{1j}+I_{2j},$

пусть ${\overrightarrow{I}}_1={(I_{11},\dots ,I_{1r})}^T,{\overrightarrow{I}}_2={(I_{21},\dots ,I_{2r})}^T$. Оценим каждое из слагаемых, считая, что выполнено условие (24). Для первого слагаемого имеем

$\parallel {\overrightarrow{I}}_1\parallel \le C_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel {\alpha }_0\parallel \parallel \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\parallel v_1+v_2{\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}/2.$

По определению, $v_i=-{(L+g)}^{-1}{g}_i\mathrm{\Phi }$. Используя оценку (18), получим

$\parallel v_i\parallel \le 2C_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel g_i\mathrm{\Phi }{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\le 2C_0{C}_2{T}^{1-s}{R}_1\parallel \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\parallel \mathrm{\Phi }{\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)}.$ (23)

Таким образом,

$\parallel {\overrightarrow{I}}_1\parallel \le 2C_0^2{C}_2^2{T}^{2-2s}{R}_1\parallel \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}^2\parallel \mathrm{\Phi }{\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)}\parallel {\alpha }_0\parallel .$ (24)

Оценим второе слагаемое

$\parallel {\overrightarrow{I}}_2\parallel \le C_0{C}_2{T}^{1-s}{R}_1\parallel \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\parallel v_1-v_2{\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}.$ (25)

Функция $v_1-v_2$ удовлетворяет уравнению

$L\left(v_1-v_2\right)+\frac{g_1+g_2}{2}\left(v_1-v_2\right)=-\left(g_1-g_2\right)\left(\text{Φ}+\frac{v_1+v_2}{2}\right).$

Используя оценку (23), получим

$\parallel v_1-v_2{\parallel }_{C\left(\overline{Q}\right)}\le 2C_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel {\overrightarrow{\alpha }}_0\parallel (\parallel \mathrm{\Phi }{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\parallel \mathrm{\Phi }{\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)}+$

$2C_0{C}_2{T}^{1-s}{R}_1\parallel \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}^2\parallel \mathrm{\Phi }{\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)}).$

Из этой оценки и оценок (24), (25) выводим

$\parallel {\overrightarrow{I}}_1\parallel +\parallel {\overrightarrow{I}}_2\parallel \le (6C_0^2{C}_2^2{T}^{2-2s}{R}_1\parallel \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}^2\parallel \mathrm{\Phi }{\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)}+$

$2C_0{C}_2{T}^{1-s}\parallel \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}\parallel \mathrm{\Phi }{\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)})\parallel {\overrightarrow{\alpha }}_0\parallel .$

Это неравенство и (22) гарантируют, что ${\overrightarrow{\alpha }}_0=0$. Тогда $v_1=v_2$ и, соответственно, $u_1=u_2$.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

В настоящей работе рассмотрена обратная задача определения коэффициента поглощения в параболическом уравнении, представленного в виде линейной комбинации известных функций с неизвестными параметрами. Проведен анализ корректности задачи в пространствах Соболева, доказаны теоремы существования и единственности решения задачи, получены априорные оценки решения. Предложенный подход может служить основой для построения численного алгоритма приближенного решения обратной задачи. Полученные результаты также допускают обобщение на более широкий класс задач, включая квазилинейные уравнения.

About the authors

Julia A. Tukmacheva

Yugra State University

Author for correspondence.
Email: y_tukmacheva@ugrasu.ru

Postgraduate student, Engineering School of Digital Technologies

Russian Federation, Khanty-Mansiysk

Sergey G. Pyatkov

Yugra State University

Email: s_pyatkov@ugrasu.ru
Russian Federation, Khanty-Mansiysk

References

Supplementary files