Тепловое перепутывание в двухатомной модели Тависса – Каммингса с учетом диполь-дипольного взаимодействия

Полный текст

Введение

В настоящее время изучение перепутанных состояний является одной из наиболее актуальных задач квантовой теории в связи с широкими возможными применениями таких состояний в квантовой информатике, квантовой телепортации, квантовой криптография и квантовом плотном кодировании [1–3]. В качестве одного из способов генерации атомных перепутанных состояний используется взаимодействие естественных и искусственных атомов (примесных спинов, сверхпроводящих джозефсоновских колец, квантовых точек и др.) с квантовыми электромагнитными полями резонаторов [4]. При этом особое внимание в последнее время уделялось изучению возможности перепутывания атомов за счет взаимодействия с тепловым электромагнитным полем. Обычно считалось, что тепловое состояние поля содержит минимальную информацию о системе и может определяться как «хаотичное». При этом многомодовые тепловые поля часто применялись для анализа декогеренции квантовых атомных систем. Однако Ким с соавторами [5] показали, что такое тепловое некоррелированное поле может перепутывать атомы в резонаторе. Они изучали эволюцию двух идентичных двухуровневых атомов, резонансно взаимодействующих с одномодовым тепловым полем в резонаторе без потерь, и вычислили параметр перепутывания атомов как функцию времени. При этом было показано, что степень перепутывания атомов существенно зависит от их начального состояния. С одной стороны, если один атом изначально находится в основном состоянии, а другой ‒ в возбужденном состоянии, то тепловое поле может привести к заметной степени атом-атомного перепутывания. С другой стороны, если оба атома изначально находятся в возбужденных состояниях, то в резонансном приближении перепутывание атомов невозможно. Аналогичный эффект имеет место и для двухатомной модели с мнофотонными переходами [6; 7]. Занг [8] обобщил работу Кима с соавторами [5] на случай, когда частоты перехода в атомах слегка отстроены от частоты моды теплового поля резонатора, и изучил, как такая расстройка влияет на запутывание атомов. При этом было показано, что при подходящем выборе расстройки для начального состояния атомной системы, в котором один атом находится в возбужденном состоянии, а другой – в основном состоянии, перепутывание атомов может приближаться к максимальному значению. Кроме того, выявлено, что значительное перепутывание атомов может быть достигнуто даже тогда, когда оба атома изначально находятся в возбужденных состояниях.

Как хорошо известно, диполь-дипольное взаимодействие атомных систем является естественным механизмом возникновения атомного перепутывания. Наличие диполь-дипольного взаимодействия атомов, в частности, может привести к значительному увеличению степени перепутывания двух атомов, взаимодействующих с модой теплового поля в идеальном резонаторе как посредством однофотонных переходов [9], так и двухфотонных вырожденных [13] и невырожденных переходов [10; 11]. Заметим также, что для искусственных атомов диполь-дипольное взаимодействие может быть значительно больше, чем для обычных атомов и ионов. Например, для сверхпроводящих джозефсоновских кубитов эффективная константа диполь-дипольного (индуктивного взаимодействия сверхпроводящих кубитов) может существенно превосходить не только константу кубит-фотонного взаимодействия, нои исходную энергию перехода между уровнями самого кубита [12; 13]. Представляет интерес рассмотреть влияние диполь-дипольного взаимодействия кубитов на максимальную степень их перепутывания, индуцированного тепловым полем резонатора, для их различных начальных состояний. При изучении точной динамики кубитов в резонаторе (см. ссылки в [14–17]) авторы, с одной стороны, использовали различные методы решения квантового временного уравнения Шредингера для полной волновой функции или квантового уравнения Лиувилля для полной матрицы плотности в зависмости от выбора начальных состояний кубитов и поля резонатора. С другой стороны, для резонансной двухкубитоной модели с однофотонными переходами и прямым диполь-дипольным взаимодействием кубитов найдено точное решение уравнения для оператора эволюции [9]. При этом авторы указанной работы использовали найденное точное решение для оператора эволюции при вычисления параметра перепутывания кубитов, индуцированного тепловым полем резонатора, для простейшего случая, когда один из кубитов приготовлен в возбужденном, а другой – в основном состоянии.

В настоящей работе нами исследовано влияние диполь-дипольного взаимодействия кубитов на динамику их перепутывания в двухкубитной резонансой однофотонной модели, индуцированного тепловым полем резонатора, для различных начальных состояний кубитов: перепутанных состояний белловского типа, тепловых и когерентных.

1. Модель и ее точное решение

Рассмотрим два идентичных сверхпроводящих кубита A и B, которые резонансно взаимодействуют с общим квантовым одномодовым электромагнитным полем идеального микроволнового копланарного резонатора. Будем учитывать прямое диполь-дипольное взаимодействие кубитов, принимая во внимание, что для сверхпроводящих кубитов константа такого взаимодействия может существенно превосходить константу кубит-полевого взаимодействия. Тогда гамильтониан взаимодействия системы в приближении вращающейся волны можно представить в виде

$H=\hslash g\sum _{i=A,B}^{}({\sigma }_i^{+}a+a^{+}{\sigma }_i^{-})+\hslash J({\sigma }_A^{+}{\sigma }_B^{-}+{\sigma }_A^{-}{\sigma }_B^{+}).$ (1)

Здесь ${\sigma }_1^z$ и ${\sigma }_2^z$ ‒ операторы инверсии для кубитов A и B соответственно; ${\sigma }_i^{+}+{⟩}_{ii}⟨-$ и ${\sigma }_i^{-}-{⟩}_{ii}⟨+$ ‒ операторы переходов между возбужденным $+{⟩}_i$ и основным $-{⟩}_i$ состояниями в i-м кубите $(i=A,B),$$a^{+}$ и $a$ ‒ операторы рождения и уничтожения фотонов резонаторной моды поля; $g$ ‒ константа взаимодействия между кубитом и полем; $J$ ‒ константа прямого диполь-дипольного взаимодействия кубитов.

Предположим, что резонаторное поле находится в начальный момент времени в одномодовом состоянии с матрицей плотности

${\rho }_F\left(0\right)=\sum _n{p}_n|n⟩⟨n|,$ (2)

где весовые коээфициеты $p_n={\overline{n}}^n/{(1+\overline{n})}^{n+1}.$ Здесь $\overline{n}$ ‒ среднее число тепловых фотонов в резонаторе $\overline{n}=$${\left(\exp \right[\hslash {\omega }_i/k_{B}T]-1]}^{-1},$ где $k_B$ ‒ постоянная Больцмана и $T$ ‒ равновесная температура резонатора.

В качестве начального состояния кубитов выберем:

а) чистое сепарабельное когерентное состояние вида

$\left|\Psi \right(0){⟩}_{AB}=|\Psi \left(0\right){⟩}_A\otimes \left|\Psi \right(0){⟩}_B,$ (3)

$\left|\Psi \right(0){⟩}_A=\cos {\theta }_A|+{⟩}_A+\sin {\theta }_A|-{⟩}_A,$

$\left|\Psi \right(0){⟩}_B=\cos {\theta }_B|+{⟩}_B+\sin {\theta }_B|-{⟩}_B,$

где ${\theta }_i$ – парамеры, определяющие начальную когерентность состояния i-кубита;

б) смешанное состояние с матрицей плотности вида

$\rho {\left(0\right)}_{AB}=\prod _{i=A,B}^{}\lambda |+{⟩}_{ii}{⟨+|+(1-\lambda \left)\right|-⟩}_{ii}⟨-|,$ (4)

где $\frac{\lambda }{1-\lambda }=\exp [\hslash {\omega }_0/k_{B}T]$ и ${\omega }_0$ – резонансная частота перехода между первым возбужденным и основным состоянием кубита;

в) перепутанное состояние белловского типа

$\left|\Psi \right(0){⟩}_{AB}=\cos \theta |+,-⟩+\sin \theta |-,+⟩,$ (5)

$\left|\Psi \right(0){⟩}_{AB}=\cos \theta |+,+⟩+\sin \theta |-,-⟩,$ (6)

где $\theta$ ‒ параметр, определяющий начальную степень перепутывания кубитов.

Зависящая от времени матрица плотности изучаемой системы может быть найдена при решении квантового уравнения Лиувилля

$i\hslash \frac{\partial \rho }{\partial t}=[H,\rho ]$ (7)

с начальным условием

$\rho \left(0\right)={\rho }_{AB}\left(0\right)\otimes {\rho }_F\left(0\right).$

В случае чистых начальных состояний кубитов

${\rho }_{AB}\left(0\right)=\left|\Psi \right(0\left){⟩}_{AB}{}_{AB}⟨\Psi \right(0\left)\right|.$

Представим формальное решение уравнения (7) в виде

$\rho \left(t\right)=U^{+}\left(t\right)\rho \left(0\right)U\left(t\right),$

где оператор эволюции системы с гамильтонианом (1) в базисе

$|-,-⟩,|+,-⟩,|-,+⟩,|+,+⟩$

имеет вид [12]

$U\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}{U}_{11}& U_{12}& U_{13}& U_{14}\\ U_{21}& U_{22}& U_{23}& U_{24}\\ U_{31}& U_{32}& U_{33}& U_{34}\\ U_{41}& U_{42}& U_{43}& U_{44}\end{array}\right),$ (8)

где

$U_{11}=1+2a\frac{A}{\lambda }{a}_{}^{+},U_{14}=2a\frac{A}{\lambda }a,$

$U_{41}=2a_{}^{+}\frac{A}{\lambda }{a}_{}^{+},U_{44}=1+2a_{}^{+}\frac{A}{\lambda }{a}_{},$

$U_{12}=U_{13}=a_{}\frac{B}{\theta },U_{21}=U_{31}=\frac{B}{\theta }{a}_{}^{+},$

$U_{24}=U_{34}=\frac{B}{\theta }{a}_{},U_{42}=U_{43}=a_{}^{+}\frac{B}{\theta },$

$U_{22}=U_{33}=\frac{\exp \left[-i\frac{g}{2}(\alpha +\theta )t\right]}{4\theta }\times$

$\times \left\{[1-\exp (ig\theta t\left)\right]\alpha +2\theta \exp \left(i\frac{g}{2}\right(3\alpha +\theta \left)t\right]+\theta [1+\exp (ig\theta t\left)\right]\right\},$

$U_{23}=U_{32}=\frac{\exp \left[-i\frac{g}{2}(\alpha +\theta )t\right]}{4\theta }\times$

$\times \left\{[1-\exp (ig\theta t\left)\right]\alpha -2\theta \exp \left(i\frac{g}{2}\right(3\alpha +\theta \left)t\right]+\theta [1+\exp (ig\theta t\left)\right]\right\},$

$A=\exp \left[-i\frac{g\alpha }{2}t\right]\left\{\cos \left(\frac{g\theta }{2}t\right)+i\frac{\alpha }{\theta }\sin \left(\frac{g\theta }{2}t\right)\right\}-\mathrm{1,}$

$B=\exp \left[-i\frac{g}{2}(\alpha +\theta )t\right]\left[1-\exp \left(ig\theta t\right)\right],$

$\alpha =\frac{J}{g},\lambda =2(a{a}_{}^{+}+a_{}^{+}{a}_{}),\theta =\sqrt{8(a_{}{a}_{}^{+}+a_{}^{+}{a}_{})+{\alpha }^2}.$

Имея оператор эволюции (8), мы можем найти явный вид временной матрицы плотности рассматриваемой системы для любых начальных состояний кубитов. В настоящей работе мы используем точное решение квантового уравнения Лиувилля для исследовании временной динамики перепутывания кубитов. В настоящее время строгие критерии перепутывания получены в квантовой информатике для двухкубитных систем. Одним из таких критериев является критерий Переса – Хородецких или отрицательность [18; 19]. В настоящей работе для количественной оценки степени перепутывания кубитов мы будем использовать отрицательность в форме

$\epsilon =-2\sum {\mu }_i^{-},$ (9)

где ${\mu }_i^{-}$ ‒ отрицательные собственные значенич частично транпонированной по переменным одного кубита редуцированной двухкубитной матрицы плотности ${\rho }_{AB}^{T_1}\left(t\right).$ Двухкубитная редуцированная матрица плотности может быть найдена путем усреднения полной матрицы плотности системы по переменным поля

${\rho }_{AB}\left(t\right)=T{r}_F\rho \left(t\right).$

Используя явный вид оператора эволюции после достаточно громозких вычислений для редуцированной матрицы плотности кубитов получаем в двухкубитном базисе $|-,-⟩,$ $|+,-⟩,$ $|-,+⟩,$ $|+,+⟩$.

${\rho }_A\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_{11}\left(t\right)& {\rho }_{12}\left(t\right)& {\rho }_{13}\left(t\right)& {\rho }_{14}\left(t\right)\\ {\rho }_{12}^{*}\left(t\right)& {\rho }_{22}\left(t\right)& {\rho }_{23}\left(t\right)& {\rho }_{24}\left(t\right)\\ {\rho }_{13}^{*}\left(t\right)& {\rho }_{23}^{*}\left(t\right)& {\rho }_{33}\left(t\right)& {\rho }_{34}\left(t\right)\\ {\rho }_{14}^{*}\left(t\right)& {\rho }_{24}^{*}\left(t\right)& {\rho }_{34}^{*}\left(t\right)& {\rho }_{44}\left(t\right)\end{array}\right),$ (10)

$\begin{array}{l}{\rho }_{11}\left(t\right)={\sum }_{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\rho }_{11}\left(1+2(n+1)Q_{n+1}\left(t\right)\right)+\right.\\ \left.+({\rho }_{11}+{\rho }_{23}+{\rho }_{32}+{\rho }_{33})|S_n{|}^{2}n+{\rho }_{44}4(n-1\left)Q_{n-1}\right(t)\right],\end{array}$

$\begin{array}{l}{\rho }_{12}\left(t\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }{p}_n\left[({\rho }_{24}+{\rho }_{24})S_n\left(t\right)S_{n-1}^{*}\left(t\right)n+\right.\\ \left.+({\rho }_{12}{U}_{\mathrm{22,}n}^{*}+{\rho }_{13}{U}_{\mathrm{23,}n}^{*})\left(1+2(n+1)Q_{n+1}\left(t\right)\right)\right],\end{array}$

$\begin{array}{l}{\rho }_{12}\left(t\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }{p}_n\left[({\rho }_{24}+{\rho }_{24})S_n\left(t\right)S_{n-1}^{*}\left(t\right)n+\right.\\ \left.+({\rho }_{12}{U}_{\mathrm{23,}n}^{*}+{\rho }_{13}{U}_{\mathrm{22,}n}^{*})\left(1+2(n+1)Q_{n+1}\left(t\right)\right)\right],\end{array}$

${\rho }_{12}\left(t\right)={\sum }_{n=1}^{\infty }{p}_n{\rho }_{14}\left(1+2(n+1)Q_{n+1}\left(t\right)\right)\left(1+2n{Q}_{n-1}\left(t\right)\right),$

$\begin{array}{l}{\rho }_{22}\left(t\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }{p}_n\left[{\rho }_{11}(n+1){\left|S_{n+1}\left(t\right)\right|}^2+\right.\\ \left.+{\rho }_{44}n{\left|S_{n-1}\left(t\right)\right|}^2+{\rho }_{22}|U_{\mathrm{22,}n}^{}{|}^2\right]+\end{array}$

$\begin{array}{l}+{\sum }_{n=0}^{\infty }{p}_n[{\rho }_{23}{U}_{\mathrm{22,}n}^{}{U}_{\mathrm{23,}n}^{*}+\\ +{\rho }_{23}^{*}{U}_{\mathrm{23,}n}^{}{U}_{\mathrm{22,}n}^{*}+{\rho }_{33}\left|U_{\mathrm{23,}n}^{}{|}^2\right],\end{array}$

${\rho }_{33}\left(t\right)={\sum }_{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\rho }_{11}(n+1){\left|S_{n+1}\left(t\right)\right|}^2+{\rho }_{44}n{\left|S_{n-1}\left(t\right)\right|}^2\right]+$

$\begin{array}{l}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\rho }_{22}\right|U_{\mathrm{23,}n}^{}{|}^2+{\rho }_{23}{U}_{\mathrm{23,}n}^{}{U}_{\mathrm{22,}n}^{*}+\\ +{\rho }_{23}^{*}{U}_{\mathrm{22,}n}^{}{U}_{\mathrm{23,}n}^{*}+{\rho }_{33}\left|U_{\mathrm{22,}n}^{}{|}^2\right],\end{array}$

${\rho }_{33}\left(t\right)={\sum }_{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\rho }_{11}(n+1){\left|S_{n+1}\left(t\right)\right|}^2+{\rho }_{44}n{\left|S_{n-1}\left(t\right)\right|}^2\right]+$

$\begin{array}{l}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\rho }_{22}\right|U_{\mathrm{23,}n}^{}{|}^2+{\rho }_{23}{U}_{\mathrm{23,}n}^{}{U}_{\mathrm{22,}n}^{*}+\\ +{\rho }_{23}^{*}{U}_{\mathrm{22,}n}^{}{U}_{\mathrm{23,}n}^{*}+{\rho }_{33}\left|U_{\mathrm{22,}n}^{}{|}^2\right],\end{array}$

$\begin{array}{l}{\rho }_{24}\left(t\right)={\sum }_{n=1}^{\infty }{p}_n\left[({\rho }_{24}{U}_{\mathrm{22,}n}^{}+{\rho }_{34}{U}_{\mathrm{23,}n}^{})\left(2n{Q}_{n-1}\left(t\right)+1\right)+\right.\\ \left.+({\rho }_{12}+{\rho }_{13})(n+1)S_{n+1}\left(t\right)S_{n-1}^{*}\left(t\right)\right],\end{array}$

$\begin{array}{l}{\rho }_{24}\left(t\right)={\sum }_{n=1}^{\infty }{p}_n\left[({\rho }_{34}{U}_{\mathrm{22,}n}^{}+{\rho }_{24}{U}_{\mathrm{23,}n}^{}){\left(2n{S}_{n-1}\left(t\right)+1\right)}^{*}+\right.\\ \left.+({\rho }_{12}+{\rho }_{13})(n+1)S_{n+1}\left(t\right)S_{n-1}^{*}\left(t\right)\right],\end{array}$

${\rho }_{44}\left(t\right)=1-{\rho }_{11}\left(t\right)-{\rho }_{22}\left(t\right)-{\rho }_{33}\left(t\right).$

Здесь

$\begin{array}{l}{U}_{\mathrm{23,}n}\left(t\right)=\frac{Exp\left[-i\frac{(\alpha +{\theta }_n)}{2}t\right]}{4{\theta }_n}\left(\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.(1-Exp[i{\theta }_{n}t\left]\right)\alpha -\\ -2{\theta }_{n}Exp\left[i\frac{(3\alpha +{\theta }_n)t}{2}\right]+{\theta }_n(1+Exp[i{\theta }_{n}t\left]\right)\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right),\end{array}$

$\begin{array}{l}{U}_{\mathrm{22,}n}=\frac{Exp\left[-i\frac{(\alpha +{\theta }_n)}{2}t\right]}{4{\theta }_n}\left(\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.(1-Exp[i{\theta }_{n}t\left]\right)\alpha +\\ +2{\theta }_{n}Exp\left[i\frac{(3\alpha +{\theta }_n)t}{2}\right]+{\theta }_n(1+Exp[i{\theta }_{n}t\left]\right)\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right),\end{array}$

$Q_n=\frac{A_n}{{\lambda }_n}{{,}_{}}_{}{S}_n=\frac{B_n}{{\theta }_n},$

$A_n=\exp \left[-i\frac{g\alpha }{2}t\right]\left\{\cos \left(\frac{g{\theta }_n}{2}t\right)+i\frac{\alpha }{{\theta }_n}\sin \left(\frac{g{\theta }_n}{2}t\right)\right\}-\mathrm{1,}$

$B_n=\exp \left[-i\frac{g}{2}(\alpha +{\theta }_n)t\right]\left[1-\exp \left(ig{\theta }_{n}t\right)\right],$

${\lambda }_n=2(2n+1),{\theta }_n=\sqrt{8(2n+1)+{\alpha }^2}.$

Начальные значения элементов двухкубитной матрицы плотности для когерентного начального состояния кубитов (3), теплового состояния (4) и перепутанных состояний (5) и (6) равны, соответственно

${\rho }_{11}=\sin {\theta }_A\sin {\theta }_B,{\rho }_{12}={\rho }_{13}={\rho }_{14}={\rho }_{24}={\rho }_{34}=\mathrm{0,}$

${\rho }_{44}\left(0\right)=\cos {\theta }_A\cos {\theta }_B,{\rho }_{23}\left(0\right)=\cos {\theta }_A\sin {\theta }_B,$

${\rho }_{32}\left(0\right)=\cos \theta \sin \theta ,{\rho }_{33}\left(0\right)={\sin }^2\theta ;$

${\rho }_{12}={\rho }_{13}={\rho }_{14}={\rho }_{23}={\rho }_{24}={\rho }_{34}=\mathrm{0,}$

${\rho }_{11}={\lambda }^2,{\rho }_{22}={\rho }_{33}=\lambda (1-\lambda ),{\rho }_{44}={(1-\lambda )}^2;$

${\rho }_{11}={\rho }_{12}={\rho }_{13}={\rho }_{14}={\rho }_{24}={\rho }_{34}=\mathrm{0,}$

${\rho }_{22}\left(0\right)={\cos }^2\theta ,{\rho }_{23}\left(0\right)=\cos \theta \sin \theta ,$

${\rho }_{32}\left(0\right)=\cos \theta \sin \theta ,{\rho }_{33}\left(0\right)={\sin }^2\theta$

и

${\rho }_{11}\left(0\right)={\sin }^2\theta ,{\rho }_{44}\left(0\right)={\cos }^2\theta ,{\rho }_{23}\left(0\right)=\cos \theta \sin \theta ,$

${\rho }_{12}={\rho }_{13}={\rho }_{14}={\rho }_{22}={\rho }_{24}={\rho }_{33}={\rho }_{34}=0.$

Частично транспонированная по переменным одного кубита двухкубитная матрица для (10) имеет вид

${\rho }_A^T\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_{11}& {\rho }_{12}& {\rho }_{13}& {\rho }_{23}^{*}\\ {\rho }_{12}^{*}& {\rho }_{22}& {\rho }_{14}^{*}& {\rho }_{24}\\ {\rho }_{13}^{*}& {\rho }_{14}& {\rho }_{33}& {\rho }_{34}\\ {\rho }_{23}& {\rho }_{24}^{*}& {\rho }_{34}^{*}& {\rho }_{34}\end{array}\right).$ (11)

Нами найдены явные выражения для собственных значений частично транспонированной по переменным одного кубита матрицы (11). В настящей работе указанные выражения не приведены ввиду их чрезвычайно громоздкого вида. При этом все четыре собственных значения могут принимать отрицательные значения и, соответственно, должны быть учтены в сумме (9). Результаты компьютерного моделирования параметра отрицательности показаны на рис. 1–6.

2. Результаты и обсуждение

На рис. 1 показана отрицательность как функция безразмерного времени $gt$ для когерентного начального состояния (3) с ${\theta }_1=\pi /\mathrm{4,}$ ${\theta }_2=-\pi /4$ и некогерентного начального состояния кубитов вида $|+,-⟩.$ Параметр диполь-дипольного взаимодействия кубитов выбран равным $\alpha =\mathrm{0,1.}$ Среднее число фотонов $\overline{n}=10.$ Из рис. 1 хорошо видно, что начальная когерентность кубитов приводит к существенному увеличению степени перепутывания кубитов, индуцированного тепловым полем резонатора в сравнении с начальными состояниями без когерентности. На рис. 2 показана отрицательность как функция безразмерного времени для когерентного начального состояния (3) с ${\theta }_1=\pi /\mathrm{4,}$ ${\theta }_2=-\pi /4$ и некогерентного начального состояния кубитов вида $|+,-⟩.$ Параметр диполь-дипольного взаимодействия кубитов выбран равным $\alpha =\mathrm{0,1.}$ Среднее число фотонов $\overline{n}=20.$ Из рис. 1 и 2 видно, что при увеличении интенсивности теплового поля максимальная степень перепутывания кубитов уменьшается значительно сильнее для некогерентных начальных состояний.

Рис. 1. Отрицательность как функция безразмерного времени $\mathit{g}\mathit{t}$ для когерентного состояния (3) с ${\mathit{\theta }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{,}$ ${\mathit{\theta }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}$ (сплошная линия) и некогерентного состояния $\mathbf{|}\mathbf{+}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{⟩}$ (штриховая линия). Параметр диполь-дипольного взаимодействия $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{.}$ Среднее число тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{10}$

Fig. 1. Negativity as a function of dimensionless time $\mathit{g}\mathit{t}$ for the coherent state (3) with ${\mathit{\theta }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{,}$ ${\mathit{\theta }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}$ (solid line) and the incoherent state $\mathbf{|}\mathbf{+}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{⟩}$ (dashed line). Dipole-dipole communication parameter $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{.}$ Average number of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{10}$

Рис. 2. Отрицательность как функция безразмерного времени $\mathit{g}\mathit{t}$ для когерентного состояния (3) с ${\mathit{\theta }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{,}$ ${\mathit{\theta }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}$ (сплошная линия) и некогерентного состояния $\mathbf{|}\mathbf{+}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{⟩}$ (штриховая линия). Параметр диполь-дипольного взаимодействия $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{.}$ Среднее число тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{20}$

Fig. 2. Negativity as a function of dimensionless time $\mathit{g}\mathit{t}$ for the coherent state (3) with ${\mathit{\theta }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{,}$ ${\mathit{\theta }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}$(solid line) and incoherent state $\mathbf{|}\mathbf{+}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{⟩}$ (dashed line). Dipole-dipole communication parameter $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{.}$ Average number of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{20}$

На рис. 3 показана отрицательность как функция безразмерного времени для когерентного начального состояния (3) с ${\theta }_1=\pi /\mathrm{4,}$${\theta }_2=-\pi /4$ в отсутствие диполь-дипольного взаимодействия кубитов (штриховая линия) и в присутствии такового взаимодействия в случае $\alpha =\mathrm{0,1}$ (сплошная линия). Среднее число фотонов $\overline{n}=10.$ Из рис. 3 следует, что резкое увеличение степени перепутывания кубитов в случае начального когерентного состояния имеет место только при наличии диполь-дипольного взаимодействия кубитов. Таким образом, одновременное использование начальной когерентности состояний кубитов и диполь-дипольного взаимодействия может быть применено для эффективного управления и контроля за степенью их перепутывания. Такой эффект может быть использован при реализации эффективных схем применения перепутанных состояний в физике квантовых вычислений. На рис. 4 показана отрицательность как функция безразмерного времени для хаотичного теплового начального распределения кубитов по уровню энергии (4) с $\lambda =\mathrm{0,005.}$ Интересно заметить, что даже для хаотичного начального состояния кубитов хаотичное тепловое поле резонатора может индуцировать перепутывание кубитов. Максимальная степень перепутывания кубитов для такого состояния имеет место для $\lambda =0$ (т. е. для состояния $|-,-⟩).$ При этом, как видно из рис. 4, включение диполь-дипольного взаимодействия приводит к увеличению максимальной степени перепутывания кубитов. Для состояний $\lambda >\mathrm{0,01}$ с перепутывания кубитов в ходе их эволюции в тепловом резонаторе не возникает. На рис. 5 и 6 показана отрицательность как функция безразмерного времени для белловских перепутанных состояний кубитов (5) и (6) соответственно при выборе в обоих случаях $\theta =\pi /4.$ Штриховая линия на рис. 5 и 6 соответствует модели без диполь-дипольного взаимодействия кубитов, сплошная линия ‒ модели с дипольно-связанными кубитами в случае $\alpha =1.$ Среднее число фотонов $\overline{n}=1.$ Из этих рисунков хорошо видно, что в случае начальных перепутанных состояний кубитов, включение диполь-дипольного взаимодействия практически не влияет ни на характер поведения отрицательности, ни на максимальные значения степени перепутывания кубитов.

Рис. 3. Отрицательность как функция безразмерного времени $\mathit{g}\mathit{t}$ для когерентного состояния (3) с ${\mathit{\theta }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{,}$ ${\mathit{\theta }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ Параметр диполь-дипольного взаимодействия $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}$ (штриховая линия) и $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{2}$ (сплошная линия). Среднее число тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{10}$

Fig. 3. Negativity as a function of dimensionless time $\mathit{g}\mathit{t}$ for the coherent state (3) with ${\mathit{\theta }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{,}$ ${\mathit{\theta }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ The dipole-dipole interaction parameter $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}$ (dashed line) and $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{2}$ (solid line). Average number of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{10}$

Рис. 4. Отрицательность как функция безразмерного времени $\mathit{g}\mathit{t}$ для смешанного состояния кубитов (4) с $\mathit{\lambda }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{005}\mathbf{.}$ Параметр диполь-дипольного взаимодействия $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}$ (сплошная линия) и $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}$ (штриховая линия). Среднее число тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}$

Fig. 4. Negativity as a function of dimensionless time $\mathit{g}\mathit{t}$ for the mixed state of qubits (4) with $\mathit{\lambda }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{005}\mathbf{.}$ Dipole-dipole interaction parameter $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}$ (solid line) and $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}$ (dashed line). Average number of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}$

Рис. 5. Отрицательность как функция безразмерного времени $\mathit{g}\mathit{t}$ для белловского перепутанного (5) с $\mathit{\theta }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ Параметр диполь-дипольного взаимодействия $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}$ (штриховая линия) и $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{1}$ (сплошная линия). Среднее число тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$

Fig. 5. Negativity as a function of dimensionless time $\mathit{g}\mathit{t}$ for Bell entangled (5) with $\mathit{\theta }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ Dipole-dipole interaction parameter $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}$ (dashed line) and $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{1}$ (solid line). Average number of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$

Рис. 6. Отрицательность как функция безразмерного времени $\mathit{g}\mathit{t}$ для белловского перепутанного (6) с $\mathit{\theta }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ Параметр диполь-дипольного взаимодействия $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}$ (штриховая линия) и $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{1}$ (сплошная линия). Среднее число тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$

Fig. 6. Negativity as a function of dimensionless time $\mathit{g}\mathit{t}$ for Bell entangled (6) with $\mathit{\theta }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ Dipole-dipole interaction parameter $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{0}$ (dashed line) and $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathbf{1}$ (solid line). Average number of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$

Заключение

В настоящей работе нами найдено точное решение квантового уравнения эволюции системы двух дипольно-связанных сверхпроводящих кубитов, взаимодействующих с модой квантового теплового элекромагнитного поля идеального резонатора для когерентных, хаотических и перепутанных начальных состояний кубитов белловского типа. На основе точного решения уравнения эволюции удалось вычислить в аналитическом виде параметр перепутывания кубитов (отрицательность). Результаты компьютерного моделирования отрицательности для начального когерентного состояния кубитов показывают, что при аналичии диполь-дипольного взаимодействия учет начальной когерентности состояний кубитов приводит к существенному возрастанию максимальной степени их перепутывания. Выявлено также, что тепловое поле резонатора индуцирует перепутывание кубитов даже в случае их хаотического начального состояния. При этом показано, что указанные эффекты могут быть использованы для эффективного контроля за степенью перепутанности кубитов, необходимого при квантовой обработке информации. В случае начальных перепутанных состояний кубитов включение диполь-дипольного взаимодействия существенно не влияет на перепутывание кубитов.

Об авторах

Евгений Константинович Башкиров

Автор, ответственный за переписку.
Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0003-2569-1322

доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей и теоретической физики

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Отрицательность как функция безразмерного времени для когерентного состояния (3) с (сплошная линия) и некогерентного состояния (штриховая линия). Параметр диполь-дипольного взаимодействия Среднее число тепловых фотонов

Скачать (231KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Отрицательность как функция безразмерного времени для когерентного состояния (3) с (сплошная линия) и некогерентного состояния (штриховая линия). Параметр диполь-дипольного взаимодействия Среднее число тепловых фотонов

Скачать (181KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Отрицательность как функция безразмерного времени для когерентного состояния (3) с Параметр диполь-дипольного взаимодействия (штриховая линия) и (сплошная линия). Среднее число тепловых фотонов

Скачать (137KB)

Метаданные

5. Рис. 4. Отрицательность как функция безразмерного времени для смешанного состояния кубитов (4) с Параметр диполь-дипольного взаимодействия (сплошная линия) и (штриховая линия). Среднее число тепловых фотонов

Скачать (124KB)

Метаданные

6. Рис. 5. Отрицательность как функция безразмерного времени для белловского перепутанного (5) с Параметр диполь-дипольного взаимодействия (штриховая линия) и (сплошная линия). Среднее число тепловых фотонов

Скачать (237KB)

Метаданные

7. Рис. 6. Отрицательность как функция безразмерного времени для белловского перепутанного (6) с Параметр диполь-дипольного взаимодействия (штриховая линия) и (сплошная линия). Среднее число тепловых фотонов

Скачать (162KB)

Метаданные