Simulation of the radiation pattern of an equidistant microphone array

Full Text

Введение

Эквидистантные микрофонные решётки являются ключевым элементом в системах пространственной обработки звука, где их эффективность определяется диаграммой направленности (ДН) — угловой зависимостью чувствительности к акустическим волнам.

В настоящее время ДН таких решёток традиционно моделируется в предположении абсолютной жесткости несущей конструкции [1]. При этом влияние акустико-механического взаимодействия, заключающегося в возникновении упругих деформаций платы под действием звукового давления, в большинстве работ игнорируется, что может приводить к погрешности прогнозирования пространственных характеристик.

Целью данной работы является разработка методики моделирования ДН эквидистантной микрофонной решётки, учитывающей акустико-механическое взаимодействие. Практическая значимость исследования заключается в возможности оценки влияния деформаций конструкции на направленные свойства массива и последующей оптимизации геометрии решёток для конкретных прикладных задач без проведения натурных экспериментов.

Математическая модель

 Для описания взаимодействия акустического поля с упругой конструкцией решётки использовалась связанная задача акустики и структурной механики.

Акустическая часть модели описывается трёхмерным волновым уравнением [2]:

 

(1)

 

где p — акустическое давление;

      c — скорость звука;

      x — координата в направлении распространения волны;

       t — время распространения волны.

Для гармонических колебаний с определенной частотой уравнение (1) преобразуется к уравнению Гельмгольца [2]:

(2)

где k — волновое число;

      Ñ — оператор Лапласа.

Переход от трёхмерного волнового уравнения к уравнению Гельмгольца представляет собой фундаментальную математическую процедуру, основанную на методе разделения переменных и применяемую для анализа гармонических акустических процессов.

Ключевая идея заключается в представлении комплексной амплитуды давления в виде произведения двух функций: одной, зависящей только от пространственных координат, и другой — описывающей гармоническую временную зависимость.

Механическая часть модели описывает деформации платы под действием акустического давления уравнениями теории упругости [3]:

 

(3)

 

где s — тензор напряжений;

      F —  вектор объёмных сил;

      r — плотность материала;

      u — вектор перемещений;

      Ñ — дивергенция тензора.

Связь между задачами обеспечивается через граничные условия на поверхности платы, где акустическое давление p создает распределенную нагрузку.

Расчет диаграммы направленности выполняется методом синфазного суммирования:

(4)

Основная часть

 Для разработки данного метода была использована модель платы с 36 микрофонами [4]. Сама плата имеет размеры 260 на 260 мм с толщиной 2 мм. Расстояние между центрами микрофонов составляет 50 мм. Следует отметить, что материалом платы является FR-4 (рис. 1).

Для точных результатов моделирования была создана воздушная полость вокруг платы (рис. 2). Внутри нее проходит плоская падающая волна («Incident Wave Source») [5], ее амплитуда составляет 1 Па и также с параметрическим углом падения волны относительно платы (рис. 3). Моделирование проходило на частоте 500 Гц.

Рис. 1. 3D-модель платы

Рис. 2. Графическая модель воздушной полости вокруг платы

Рис. 3. Направление плоской падающей волны

 

Деформация платы

Результаты моделирования показали механические деформации платы под воздействием акустического давления (рис. 4). Максимальное значение деформации составило 2,5993  

Рис. 4. Модель механической деформации платы под воздействием акустического давления

Наблюдаемый изгиб платы представляет собой сложный механический отклик на распределенное акустическое давление и обусловлен совокупностью нескольких физических факторов. Прежде всего, акустическая волна, падающая на поверхность платы, создает пространственно-неоднородное давление. Это переменное давление действует как распределенная нагрузка, вызывая изгибные деформации. Однако в отличие от статической нагрузки, динамический характер акустического воздействия приводит к возбуждению определенных мод колебаний, соответствующих собственным частотам пластины.

Геометрия платы и условия закрепления играют определяющую роль в формировании картины деформаций. Центральная часть платы, являющаяся наиболее удаленной от краев, демонстрирует максимальную амплитуду прогиба (рис. 5). При этом распределение деформаций существенно зависит от соотношения между характерным размером платы и длиной акустической волны. Когда эти параметры становятся соизмеримыми, возникает сложная интерференционная картина, усиливающая деформацию в определенных областях.

Рис. 5. Максимальная амплитуда прогиба на центральной части платы

 

Для оценки влияния деформаций на пространственные характеристики решётки проведено сравнительное моделирование двух конфигураций: упругая плата (полная связанная задача); абсолютно жёсткая плата (граничное условие твёрдой стенки).

Сравнение проведено в диапазоне углов падения волны от 77° до 90°. Результаты сравнения синфазных сумм сигналов представлены в табл. 1.

Таблица 1. Сравнения синфазных сумм сигналов на двух платах

Угол наклона	Pупр., Па	Pжест., Па	Погрешность, %
77	38,7938	38,8076	0,0356
78	38,8694	38,8833	0,0357
79	38,9378	38,9517	0,0357
80	38,9988	39,0127	0,0357
81	39,0521	39,0660	0,0358
82	39,0977	39,1117	0,0358
83	39,1356	39,1496	0,0358
84	39,1657	39,1798	0,0359
85	39,1882	39,2023	0,0359
86	39,2029	39,2170	0,0360
87	39,2097	39,2238	0,0360
88	39,2086	39,2227	0,0360
89	39,1996	39,2137	0,0360
90	39,1829	39,1970	0,0360
Среднее			0,0358

 

Относительная погрешность рассчитывалась по формуле:

 

(5)

 

Средняя погрешность в исследованном диапазоне углов составила 0,0358 %, что на три порядка меньше типичной погрешности акустических измерений (1-5 %).

Отсюда следует, что механические деформации платы под действием акустического давления частотой 500 Гц не оказывают значимого влияния на диаграмму направленности решётки. Полученные результаты позволяют пренебречь учётом деформаций при проектировании аналогичных микрофонных систем в данном частотном диапазоне.

Построение ДН

 Для построения ДН под каждым углом направления прихода волны нами регистрировалось акустическое давление на каждом микрофоне (рис. 6).

Рис. 6. Таблица значений давления акустической волны на каждом микрофоне на определенном угле

В дальнейшем построение графика всей микрофонной решётки строилось путем синфазного суммирования этих сигналов. После полного моделирования все значения переводилось из Па в Дб с помощью формулы:

 

,

(6)

 

где P_вход – 1 Па;

      P_выход – суммарное значение всех микрофонов на определенном угле.

По итогу была построена ДН в полярной и декартовой системе координат, которая представлена на рис. 7-8.

 

Рис. 7. ДН решётки в полярной системе координат

Рис. 8. ДН решётки в декартовой системе координат

 

Заключение

 Разработанная методика позволяет с высокой точностью прогнозировать акустические характеристики системы на этапе проектирования, что существенно сокращает временные и финансовые затраты на изготовление физических прототипов.

Ключевым результатом работы стала количественная оценка влияния акустико-механического взаимодействия на пространственные характеристики массива. Установлено, что для исследованной конфигурации (частота 500 Гц, материал FR-4) механические деформации платы не оказывают значимого влияния на ДН — средняя погрешность между моделями с упругой и абсолютно жесткой платой составила 0,0358 %.

Полученные результаты позволяют конкретизировать границы применимости упрощенных моделей и разрабатывать эффективные алгоритмы пространственной обработки сигналов без учета деформаций несущей конструкции в заданном частотном диапазоне.

Предложенный подход открывает перспективы для дальнейшей оптимизации конструкций микрофонных решеток и разработки компенсационных алгоритмов для случаев, когда учет механических деформаций становится необходимым. Применение данной методики позволяет перейти к целенаправленному проектированию акустических систем с заданными характеристиками направленности.

_________________________________

© Сукачев А.И., Верлин Р.А.,

Сукачева Е.А., Башкиров А.В., 2025

About the authors

Aleksandr I. Sukachev

Voronezh State Technical University

Author for correspondence.
Email: mag.dip@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-0238-5579

Assistant Professor

Russian Federation, 84 20-letya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia

Roman A. Verlin

Voronezh State Technical University

Email: romanverlin@yandex.ru

student

Russian Federation, 84 20-letya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia

Elena A. Sukacheva

Voronezh State Technical University

Email: mag.dip@yandex.ru

Assistant

Russian Federation, 84 20-letya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia

Aleksey V. Bashkirov

Voronezh State Technical University

Email: fabi7@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-0939-722X

Dr. Sc. (Technical), Associate Professor, Vice-Rector for Science and Innovation

Russian Federation, 84 20-letya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia

References

Supplementary files