Неравенства типа Харди для одной весовой функции и их применения

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Доказаны новые одномерные неравенства типа Харди для весовой функции вида $x^\alpha(2-x)^\beta$ при положительных и отрицательных значениях параметров $\alpha$ и $\beta$. В некоторых случаях константы в полученных одномерных неравенствах являются точными. Одномерные неравенства с дополнительными слагаемыми используются при обосновании многомерных неравенств с весовыми функциями, зависящими от степеней расстояния в среднем или функции расстояния до границы области. Пространственные неравенства доказываются в произвольных областях, в областях регулярных в смысле Дэвиса, в областях, удовлетворяющих условию конуса, в областях, $\lambda$-близких к выпуклым, и выпуклых областях. Константа перед дополнительным слагаемым в пространственном неравенстве зависит от объема или диаметра области. Как следствие этих многомерных неравенств в различных классах областей установлены оценки для первого собственного значения лапласиана при граничных условиях Дирихле. Одномерные неравенства также применяются при получении новых классов однолистных мероморфных в односвязных областях функций. Ослаблены известные достаточные условия однолистности типа Нехари–Покорного.Библиография: 36 наименований.

Об авторах

Рамиль Гайсаевич Насибуллин

Институт математики и механики им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета

Email: NasibullinRamil@gmail.com
кандидат физико-математических наук, без звания

Список литературы

  1. A. A. Balinsky, W. D. Evans, R. T. Lewis, The analysis and geometry of Hardy's inequality, Universitext, Springer, Cham, 2015, xv+263 pp.
  2. Ф. Г. Авхадиев, “Свойства и применения функции расстояния открытого подмножества в евклидовом пространстве”, Изв. вузов. Матем., 2020, № 4, 87–92
  3. H. Brezis, M. Marcus, “Hardy's inequalities revisited”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 25:1-2 (1997), 217–237
  4. T. Matskewich, P. E. Sobolevskii, “The best possible constant in generalized Hardy's inequality for convex domain in ${R}^n$”, Nonlinear Anal., 28:9 (1997), 1601–1610
  5. Ф. Г. Авхадиев, “Геометрическое описание областей, для которых константа Харди равна $1/4$”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:5 (2014), 3–26
  6. M. Marcus, V. J. Mizel, Y. Pinchover, “On the best constant for Hardy's inequality in $mathbb{R}^n$”, Trans. Amer. Math. Soc., 350:8 (1998), 3237–3255
  7. E. B. Davies, “The Hardy constant”, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 46:4 (1995), 417–431
  8. C. Bandle, Isoperimetric inequalities and applications, Monogr. Stud. Math., 7, Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.–London, 1980, x+228 pp.
  9. M. Hoffmann-Ostenhof, T. Hoffmann-Ostenhof, A. Laptev, “A geometrical version of Hardy's inequality”, J. Funct. Anal., 189:2 (2002), 539–548
  10. W. D. Evans, R. T. Lewis, “Hardy and Rellich inequalities with remainders”, J. Math. Inequal., 1:4 (2007), 473–490
  11. F. G. Avkhadiev, “Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants”, Lobachevskii J. Math., 21 (2006), 3–31
  12. Ф. Г. Авхадиев, “Неравенства типа Харди в плоских и пространственных открытых множествах”, Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, Сборник статей, Труды МИАН, 255, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2006, 8–18
  13. S. Filippas, V. Maz'ya, A. Tertikas, “On a question of Brezis and Marcus”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 25:4 (2006), 491–501
  14. F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths, “Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains”, ZAMM Z. Angew. Math. Mech., 87:8-9 (2007), 632–642
  15. F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths, “Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constant”, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, 18:4 (2011), 723–736
  16. Ф. Г. Авхадиев, Р. Г. Насибуллин, “Неравенства типа Харди в произвольных областях с конечным внутренним радиусом”, Сиб. матем. журн., 55:2 (2014), 239–250
  17. J. Hersch, “Sur la frequence fondamentale d'une membrane vibrante: evaluations par defaut et principe de maximum”, Z. Angew. Math. Phys., 11 (1960), 387–413
  18. В. И. Левин, “О неравенствах. II. Об одном классе интегральных неравенств”, Матем. сб., 4(46):2 (1938), 309–324
  19. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985, 416 с.
  20. J. Tidblom, “A geometrical version of Hardy's inequality for $mathring W^{1,p}(Omega)$”, Proc. Amer. Math. Soc., 132:8 (2004), 2265–2271
  21. Z. Nehari, “The Schwarzian derivative and schlicht functions”, Bull. Amer. Math. Soc., 55:6 (1949), 545–551
  22. Ф. Г. Авхадиев, Л. А. Аксентьев, А. М. Елизаров, “Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения”, Итоги науки и техн. Сер. Матем. анал., 25, ВИНИТИ, М., 1987, 3–121
  23. Ф. Г. Авхадиев, Л. А. Аксентьев, “Достижения и проблемы в достаточных условиях конечнолистности аналитических функций”, Изв. вузов. Матем., 1986, № 10, 3–16
  24. Ф. Г. Авхадиев, “Некоторые достаточные условия однолистности аналитических функций”, Тр. сем. по краев. задачам, 9, Изд-во Казан. ун-та, Казань, 1972, 3–11
  25. Ф. Г. Авхадиев, Конформные отображения и краевые задачи, 2-е изд., перераб. и доп., Изд-во Казан. ун-та, Казань, 2019, 412 с.
  26. S. Yamashita, “Inequalities for the Schwarzian derivative”, Indiana Univ. Math. J., 28:1 (1979), 131–135
  27. Дж. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, т. 1, 2, ИЛ, М., 1949, 798 с., 220 с.
  28. P. R. Beesack, K. M. Das, “Extensions of Opial's inequality”, Pacific J. Math., 26:2 (1968), 215–232
  29. R. C. Brown, D. B. Hinton, “Opial's inequality and oscillation of 2nd order equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 125:4 (1997), 1123–1129
  30. R. Nasibullin, “A geometrical version of Hardy–Rellich type inequalities”, Math. Slovaca, 69:4 (2019), 785–800
  31. E. B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge Stud. Adv. Math., 42, Cambridge Univ.Press., Cambridge, 1995, x+182 pp.
  32. А. М. Тухватуллина, “Неравенства типа Харди для специального семейства невыпуклых областей”, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки, 153, № 1, Изд-во Казан. ун-та, Казань, 2011, 211–220
  33. Р. Г. Насибуллин, А. М. Тухватуллина, “Неравенства типа Харди с логарифмическими и степенными весами для специального семейства невыпуклых областей”, Уфимск. матем. журн., 5:2 (2013), 43–55
  34. Ф. Г. Авхадиев, “Интегральные неравенства Харди и Реллиха в областях, удовлетворяющих условию внешней сферы”, Алгебра и анализ, 30:2 (2018), 18–44
  35. В. В. Покорный, “О некоторых достаточных условиях однолистности”, Докл. АН СССР, 79:5 (1951), 743–746
  36. Р. Г. Насибуллин, “Неравенства Харди для веса Якоби и их применения”, Сиб. матем. журн., 63:6 (2022), 1313–1333

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Насибуллин Р.Г., 2023

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».