On the standard conjecture for a $3$-dimensional variety fibred by curves with a non-injective Kodaira–Spencer map

Мұқаба

Дәйексөз келтіру

Толық мәтін

Ашық рұқсат Ашық рұқсат
Рұқсат жабық Рұқсат берілді
Рұқсат жабық Тек жазылушылар үшін

Аннотация

We prove that the Grothendieck standard conjecture of Lefschetz type holds for a complex projective 3-dimensional variety fibred by curves (possibly with degeneracies) over a smooth projective surface provided that the endomorphism ring of theJacobian variety of some smooth fibre coincides with the ring of integers and the corresponding Kodaira–Spencer maphas rank $1$ on some non-empty open subset of the surface. When the generic fibre of the structure morphism is ofgenus $2$, the condition on the endomorphisms of the Jacobian may be omitted.

Авторлар туралы

Sergey Tankeev

Vladimir State University

Email: tankeev@vlsu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Әдебиет тізімі

  1. A. Grothendieck, “Standard conjectures on algebraic cycles”, Algebraic geometry, Internat. colloq. (Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968), Oxford Univ. Press, London, 1969, 193–199
  2. S. L. Kleiman, “Algebraic cycles and the Weil conjectures”, Dix exposes sur la cohomologie des schemas, Adv. Stud. Pure Math., 3, North-Holland, Amsterdam, 1968, 359–386
  3. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для комплексных абелевых схем над гладкими проективными кривыми”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:3 (2003), 183–224
  4. С. Г. Танкеев, “О численной эквивалентности алгебраических циклов на потенциально простых абелевых схемах простой относительной размерности”, Изв. РАН. Сер. матем., 69:1 (2005), 145–164
  5. С. Г. Танкеев, “Моноидальные преобразования и гипотезы об алгебраических циклах”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:3 (2007), 197–224
  6. D. I. Lieberman, “Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds”, Amer. J. Math., 90:2 (1968), 366–374
  7. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:5 (2011), 177–194
  8. D. Arapura, “Motivation for Hodge cycles”, Adv. Math., 207:2 (2006), 762–781
  9. F. Charles, E. Markman, “The standard conjectures for holomorphic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert schemes of $K3$ surfaces”, Compos. Math., 149:3 (2013), 481–494
  10. О. В. Никольская, “Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств $K3$-поверхностей”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:1 (2013), 145–164
  11. О. В. Никольская, “Об алгебраических циклах на расслоенных произведениях неизотривиальных семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1”, Модел. и анализ информ. систем, 23:4 (2016), 440–465
  12. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе и существовании разложения Чжоу–Лефшеца для комплексных проективных многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:1 (2015), 185–216
  13. С. Г. Танкеев, “Об индуктивном подходе к стандартной гипотезе для расслоенного комплексного многообразия с сильными полустабильными вырождениями”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:6 (2017), 199–231
  14. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для расслоенного произведения трех эллиптических поверхностей с попарно непересекающимися дискриминантными локусами”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:3 (2019), 213–256
  15. A. Grothendieck, “Un theorème sur les homomorphismes de schemas Abeliens”, Invent. Math., 2 (1966), 59–78
  16. П. Делинь, “Теория Ходжа. II”, Математика. Сб. пер., 17, № 5, Мир, М., 1973, 3–56
  17. K. Kodaira, D. C. Spencer, “On deformations of complex analytic structures. I”, Ann. of Math. (2), 67:2 (1958), 328–401
  18. E. M. Friedlander, B. Mazur, Filtrations on the homology of algebraic varieties, Mem. Amer. Math. Soc., 110, no. 529, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, x+110 pp.
  19. G. Kempf, F. Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat, Toroidal embeddings, v. 1, Lecture Notes in Math., 339, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1973, viii+209 pp.
  20. S. Zucker, “Hodge theory with degenerating coefficients: $L_2$ cohomology in the Poincare metric”, Ann. of Math. (2), 109:3 (1979), 415–476
  21. C. H. Clemens, “Degeneration of Kähler manifolds”, Duke Math. J., 44:2 (1977), 215–290
  22. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 74:1 (2010), 175–196
  23. Р. Годеман, Алгебраическая топология и теория пучков, ИЛ, М., 1961, 319 с.
  24. Дж. Милн, Этальные когомологии, Мир, М., 1983, 392 с.
  25. Р. Уэллс, Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, Мир, М., 1976, 284 с.
  26. Н. Бурбаки, Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра, Элементы математики, Наука, М., 1987, 183 с.
  27. P. Deligne, “Theorie de Hodge. III”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 44 (1974), 5–77
  28. W. Schmid, “Variation of Hodge structure: the singularities of the period mapping”, Invent. Math., 22:3-4 (1973), 211–319
  29. B. B. Gordon, “A survey of the Hodge conjecture for Abelian varieties”, Appendix in:: J. D. Lewis, A survey of the Hodge conjecture, CRM Monogr. Ser., 10, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 297–356
  30. Г. А. Мустафин, “Семейства алгебраических многообразий и инвариантные циклы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 49:5 (1985), 948–978
  31. T. E. Venkata Balaji, An introduction to families, deformations and moduli, Universitätsverlag Göttingen, Göttingen, 2010, xxvi+208 pp.
  32. А. Н. Паршин, “Модулярные соответствия, высоты и изогении абелевых многообразий”, Труды Международной конференции по теории чисел (Москва, 14–18 сентября 1971 г.), Тр. МИАН СССР, 132, 1973, 211–236
  33. K. Kodaira, Complex manifolds and deformation of complex structures, Transl. from the Japan., Grundlehren Math. Wiss., 283, Springer-Verlag, New York, 1986, x+465 pp.
  34. Ю. Г. Зархин, “Веса простых алгебр Ли в когомологиях алгебраических многообразий”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:2 (1984), 264–304
  35. E. Kani, “Jacobians isomorphic to a product of two elliptic curves and ternary quadratic forms”, J. Number Theory, 139 (2014), 138–174

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар
Әрекет
1. JATS XML
Жүктеу

© Tankeev S.G., 2020

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).