Blow-up and global solubility in the classical sense of the Cauchy problem for a formally hyperbolic equation with a non-coercive source

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider an abstract Cauchy problem with non-linear operator coefficients and prove the existence of a uniquenon-extendable classical solution. Under certain sufficient close-to-necessary conditions, we obtainfinite-time blow-up conditions and upper and lower bounds for the blow-up time. Moreover, under certain sufficientclose-to-necessary conditions, we obtain a result on the existence of a global-in-time solutionindependently of the size of the initial functions.

About the authors

Maxim Olegovich Korpusov

Lomonosov Moscow State University; Peoples' Friendship University of Russia

Email: korpusov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. H. A. Levine, “Some nonexistence and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form $Pu_t=-Au+mathscr F(u)$”, Arch. Rational. Mech. Anal., 51 (1973), 371–386
  2. H. A. Levine, “Instability and nonexistence of global solutions to nonlinear wave equations of the form $Pu_{tt}=-Au+mathscr F(u)$”, Trans. Amer. Math. Soc., 192 (1974), 1–21
  3. B. Straughan, “Further global nonexistence theorems for abstract nonlinear wave equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 48:2 (1975), 381–390
  4. В. К. Калантаров, О. А. Ладыженская, “О возникновении коллапсов для квазилинейных уравнений параболического и гиперболического типов”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 10, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 69, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1977, 77–102
  5. H. A. Levine, J. Serrin, “Global nonexistence theorems for quasilinear evolution equations with dissipation”, Arch. Rational Mech. Anal., 137:4 (1997), 341–361
  6. H. A. Levine, Sang Ro Park, J. Serrin, “Global existence and nonexistence theorems for quasilinear evolution equations of formally parabolic type”, J. Differential Equations, 142:1 (1998), 212–229
  7. P. Pucci, J. Serrin, “Some new results on global nonexistence for abstract evolution with positive initial energy”, Topol. Methods Nonlinear Anal., 10:2 (1997), 241–247
  8. P. Pucci, J. Serrin, “Global nonexistence for abstract evolution equations with positive initial energy”, J. Differential Equations, 150:1 (1998), 203–214
  9. H. A. Levine, G. Todorova, “Blow up of solutions of the Cauchy problem for a wave equation with nonlinear damping and source terms and positive initial energy”, Proc. Amer. Math. Soc., 129:3 (2001), 793–805
  10. М. О. Корпусов, “Разрушение решений обобщенного уравнения Клейна–Гордона с сильной диссипацией”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:2 (2013), 109–138
  11. М. О. Корпусов, “О разрушении решения одной нелинейной системы уравнений с положительной энергией в теории поля”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 58:3 (2018), 447–458
  12. B. A. Bilgin, V. K. Kalantarov, “Non-existence of global solutions to nonlinear wave equations with positive initial energy”, Commun. Pure Appl. Anal., 17:3 (2018), 987–999
  13. V. Georgiev, G. Todorova, “Existence of a solution of the wave equation with nonlinear damping and source terms”, J. Differential Equations, 109:2 (1994), 295–308
  14. S. A. Messaoudi, “Blow up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equation”, Math. Nachr., 260 (2003), 58–66
  15. S. A. Messaoudi, “Blow-up of positive-initial-energy solutions of a nonlinear viscoelastic hyperbolic equation”, J. Math. Anal. Appl., 320:2 (2006), 902–915
  16. М. О. Корпусов, “О разрушении решений класса сильно нелинейных уравнений типа Соболева”, Изв. РАН. Сер. матем., 68:4 (2004), 151–204
  17. М. О. Корпусов, А. Г. Свешников, “О разрушении решений класса сильно нелинейных волновых диссипативных уравнений типа Соболева с источниками”, Изв. РАН. Сер. матем., 69:4 (2004), 89–128
  18. М. О. Корпусов, А. А. Панин, “О разрушении решения абстрактной задачи Коши для формально гиперболического уравнения с двойной нелинейностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:5 (2014), 91–142
  19. A. B. Al'shin, M. O. Korpusov, A. G. Sveshnikov, Blow-up in nonlinear Sobolev type equations, De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl., 15, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2011, xii+648 pp.
  20. М. И. Рабинович, “Автоколебания распределенных систем”, Изв. вузов. Радиофизика, 17:4 (1974), 477–510
  21. Д. Ч. Ким, “Видеосолитоны в дисперсной линии передачи с нелинейной емкостью $p-n$-перехода”, ЖТФ, 83:3 (2013), 31–40
  22. В. М. Журавлев, “Автоволны в двухпроводных линиях с нелинейным активным элементом экспоненциального типа”, Письма в ЖЭТФ, 75:1 (2002), 11–16
  23. М. О. Корпусов, “О разрушении решений волновых уравнений в системах с распределенными параметрами”, ТМФ, 167:2 (2011), 206–213
  24. М. О. Корпусов, “О разрушении решений нелинейных уравнений типа уравнения Хохлова–Заболотской”, ТМФ, 194:3 (2018), 403–417
  25. M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, A. A. Panin, G. I. Shlyapugin, “On the blow-up phenomena for a 1-dimensional equation of ion-sound waves in a plasma: analytical and numerical investigation”, Math. Methods Appl. Sci., 41:8 (2018), 2906–2929
  26. M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, “Instantaneous blow-up versus local solvability for one problem of propagation of nonlinear waves in semiconductors”, J. Math. Anal. Appl., 459:1 (2018), 159–181
  27. М. О. Корпусов, Д. В. Лукьяненко, А. А. Панин, Е. В. Юшков, “О разрушении решений одного полного нелинейного уравнения ионно-звуковых волн в плазме с некоэрцитивными нелинейностями”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 43–78
  28. А. А. Панин, Г. И. Шляпугин, “О локальной разрешимости и разрушении решений одномерных уравнений типа Ядзимы–Ойкавы–Сацумы”, ТМФ, 193:2 (2017), 179–192
  29. М. О. Корпусов, А. А. Панин, “О непродолжаемом решении и разрушении решения одномерного уравнения ионно-звуковых волн в плазме”, Матем. заметки, 102:3 (2017), 383–395
  30. М. О. Корпусов, Д. В. Лукьяненко, Е. А. Овсянников, А. А. Панин, “Локальная разрешимость и разрушение решения одного уравнения с квадратичной некоэрцитивной нелинейностью”, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 10:2 (2017), 107–123
  31. M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, A. A. Panin, E. V. Yushkov, “Blow-up phenomena in the model of a space charge stratification in semiconductors: analytical and numerical analysis”, Math. Methods Appl. Sci., 40:7 (2017), 2336–2346
  32. Д. В. Лукьяненко, А. А. Панин, “Разрушение решения уравнения стратификации объемного заряда в полупроводниках: численный анализ при сведении исходного уравнения к дифференциально-алгебраической системе”, Выч. мет. программирование, 17:4 (2016), 437–446
  33. А. А. Панин, “Локальная разрешимость и разрушение решения для уравнения Розенау–Бюргерса с различными граничными условиями”, ТМФ, 177:1 (2013), 93–110
  34. М. О. Корпусов, А. А. Панин, “Локальная разрешимость и разрушение решения для уравнения Бенджамена–Бона–Махони–Бюргерса с нелокальным граничным условием”, ТМФ, 175:2 (2013), 159–172
  35. M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, A. A. Panin, E. V. Yushkov, “Blow-up for one Sobolev problem: theoretical approach and numerical analysis”, J. Math. Anal. Appl., 442:2 (2016), 451–468
  36. Э. Митидиери, С. И. Похожаев, “Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных”, Тр. МИАН, 234, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2001, 3–383
  37. Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас, Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения, Мир, М., 1978, 336 с.
  38. А. А. Панин, “О локальной разрешимости и разрушении решения абстрактного нелинейного интегрального уравнения Вольтерра”, Матем. заметки, 97:6 (2015), 884–903
  39. В. И. Богачeв, О. Г. Смолянов, Действительный и функциональный анализ, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2009, 724 с.
  40. А. Картан, Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы, Мир, М., 1971, 392 с.
  41. Б. П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости, Наука, М., 1967, 472 с.

Copyright (c) 2020 Korpusov M.O.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies