Smooth solutions of the eikonal equation and the behaviour of local minima of the distance function
- Authors: Tsar'kov I.G.1
-
Affiliations:
- Lomonosov Moscow State University
- Issue: Vol 83, No 6 (2019)
- Pages: 167-194
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133793
- DOI: https://doi.org/10.4213/im8850
- ID: 133793
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
We study smooth solutions of the eikonal equation. To do this, we investigate the problem ofgeometric-topological properties of the singularities of the distance function and the regular set. Weestablish a connection between the caustic and domains where the number of local minima ofthe distance function is constant. We pose a number of problems about reflecting surfaces bringing light to a singlepoint (a focus) and introduce the notions of generalized ellipsoids and paraboloids.
Keywords
About the authors
Igor' Germanovich Tsar'kov
Lomonosov Moscow State University
Email: tsar@mech.math.msu.su
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
References
- M. Борн, Э. Вольф, Основы оптики, Наука, М., 1970, 856 с.
- Дж. Брус, П. Джиблин, Кривые и особенности. Геометрическое введение в теорию особенностей, Современная математика: Вводные курсы, Мир, М., 1988, 264 с.
- Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс, Фейнмановские лекции по физике, т. 3, Излучение, волны, кванты, 3-е изд., Мир, М., 1976, 240 с.
- Ю. А. Кравцов, Ю. И. Орлов, Геометрическая оптика неоднородных сред, Наука, М., 1980, 304 с.
- В. И. Арнольд, Особенности каустик и волновых фронтов, Фазис, М., 1996, x+334 с.
- С. Н. Кружков, “Обобщенные решения уравнений Гамильтона–Якоби типа эйконала. I. Постановка задач, теоремы существования, единственности и устойчивости, некоторые свойства решений”, Матем. сб., 98(140):3(11) (1975), 450–493
- А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения”, УМН, 71:1(427) (2016), 3–84
- В. С. Балаганский, Л. П. Власов, “Проблема выпуклости чебышeвских множеств”, УМН, 51:6(312) (1996), 125–188
- А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и другие геометрические свойства солнц и чебышевских множеств”, Фундамент. и прикл. матем., 19:4 (2014), 21–91
- В. С. Балаганский, “Необходимые условия дифференцируемости функции расстояния”, Матем. заметки, 72:6 (2002), 815–820
- I. G. Tsar'kov, “Properties of $C^1$-solution to the eikonal equation”, Lobachevskii J. Math., 38:4 (2017), 763–766
- I. G. Tsar'kov, “Singular sets of surfaces”, Russ. J. Math. Phys., 24:2 (2017), 263–271
- И. Г. Царьков, “Некоторые приложения геометрической теории приближения”, Дифференциальные уравнения. Математический анализ, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз., 143, ВИНИТИ РАН, М., 2017, 63–80
- В. Гуревич, Г. Волмэн, Теория размерности, ИЛ, М., 1948, 232 с.
- S. Eilenberg, D. Montgomery, “Fixed point theorems for multi-valued transformations”, Amer. J. Math., 68:2 (1946), 214–222
