Determination of the shape and dimensions of the polymer molecules in solutions using diffusional NMR relaxation

Full Text

1. Постановка задачи

Целью исследования является разработка метода, позволяющего на основе данных ядерного магнитного резонанса (ЯМР) о диффузионной подвижности растворенного полимера определять форму и размеры его молекул.

Известно [1], что полимерная молекула с малым числе звеньев, как правило, линейна, а с большим представляет собой либо клубок, либо глобулу, т.е. напоминает, скорее, шар.

Коэффициент диффузии (далее – КД) молекулы в форме шара радиуса R в жидкости с вязкостью h, вычисленный с использованием формулы Стокса,

$D=k_{B}T\text{}/\left(6\pi \eta R\right).$

Коэффициент диффузии линейной молекулы является симметричным тензором. Действительно, на цилиндр радиусом R и длиной L >> R, движущийся в вязкой жидкости со скоростью V вдоль и поперек своей оси, со стороны жидкости действуют силы, соответственно,

$F_{\parallel }=\frac{2\pi \eta L}{\Lambda }V,$$F_{\perp }=\frac{4\pi \eta L}{\Lambda }V,$ (1.1)

где $\Lambda =\ln \left(L/R\right)$. Для вывода первой формулы нужно сначала рассмотреть движение бесконечно длинного цилиндра и приравнять к нулю скорость увлекаемой им жидкости на расстоянии от оси r ~ L, что дает для F_{| |} выражение (1.1), справедливое с логарифмической точностью ~1/L. Приведенное в (1.1) выражение для F_⊥ имеет такую же погрешность и является предельным случаем задачи об обтекании эллипсоида, решенной в [2].

Если создать условия, при которых растворенные линейные молекулы будут диффундировать либо только вдоль, либо только поперек своей оси, то, в соответствии с формулами (1.1), КД для таких движений будут различаться в два раза:

$D_{\parallel }=\frac{k_{B}T\Lambda }{2\pi \eta L},$$D_{\perp }=\frac{k_{B}T\Lambda }{4\pi \eta L},$ (1.2)

(в этом качественном соображении состоит исходная идея определения формы растворенных молекул). Покажем, что такие условия существуют.

2. Наблюдение двух режимов диффузии

Данная работа была проделана в рамках разработок биоразлагаемых наноконтейнеров для адресной доставки лекарственных средств. Одна из задач состояла в том, чтобы научиться определять и отбирать полимерные молекулы, принимающие в заданном растворителе линейную форму.

Для отработки методики отбора был выбран полиэтиленгликоль (ПЭГ), молекулы которого состоят из ~10 звеньев. В этом случае

$L~20 нм,$$R~0.2 нм.$ (2.1)

Из условий (2.1) следует, что погрешность формул (1.2) составляет $~1/\Lambda ~20\%,$ что приемлемо для возможности различения КД из (1.2).

Для измерения КД применялась импульсная последовательность DOSY (см., напр., труд [3]). В ней, как и в известной последовательности КПМГ (Карр–Парселл–Мейбум–Гилл), измеряется спад интенсивности спинового эха со временем.

Соответствующая методика измерения КД молекул хорошо отработана, изложена во многих руководствах (см., напр., [4–6]). Этот технический вопрос, второстепенный как для нас, так и для основной тематики журнала, не будем обсуждать детально. Для пояснения сути метода достаточно будет сказать, что зависимость величины сигнала протонного спинового эха от времени t в простых случаях имеет вид

$U=U_0\exp \left(-\alpha t\right)$, (2.2)

где параметр a известным образом (см. пионерскую работу [5]) связан с КД. Так, $\alpha =D{\left(\gamma G{T}_{\pi }\right)}^2\text{}/12$ в наиболее простом случае — для последовательности КПМГ при наличии постоянного по времени и объему образца градиента модуля магнитного поля G = |∇B |. Здесь g — гиромагнитное отношение (для протонов g = 2.675 × 10⁸ с⁻¹ Тл⁻¹), T_p — период между повторяющимися p-импульсами в КПМГ-последовательности. Измеряя a, находим КД.

Из формул (1.2) и (2.1) следует оценка D ~ (1–3) ×10^–6 см²/c, что, во-первых, удовлетворительно согласуется с результатами наших измерений (рис. 1) и, во-вторых, указывает на возможность определения размеров макромолекул рассматриваемым методом. В нашем методе улавливается сигнал от протонов, входящих в состав растворенных молекул. По этой причине в качестве растворителя был выбран дейтерохлороформ CDCl₃. Применение этого растворителя вместо хлороформа CHCl₃ позволяет избавиться от фонового сигнала, производимого протонами растворителя.

Обсудим смысл данных, приведенных на рис. 1 и 2.

Из них видно, что при мольных долях линейных молекул ПЭГ $\xi \lesssim 0.05$ имеет место случай (2.2), т.е. сигнал спинового эха описывается одной экспонентой. Затухание спинового эха определяется перемещением молекул только вдоль градиента модуля магнитного поля ∇B, который создается при измерениях по методу DOSY.

При малых концентрациях раствора молекулы движутся независимо друг от друга. За характерное время релаксации сигнала $\tau ~1/\alpha ~0.5$ c молекула диффундирует на расстояние $S~\sqrt{6D\tau }~0.002 см\gg L.$ За это время линейная молекула хаотически совершает ~S/L ~ 1000 полных оборотов. В таком случае все протоны каждой отдельной молекулы между собой равноправны, поскольку диффузионносмещаются практически на одинаковые расстояния $~\sqrt{6D\tau },$ отличающиеся друг от друга на малую величину $\le L\ll \sqrt{6D\tau }.$ По этой причине наблюдаемый коэффициент диффузии для всех протонов линейных молекул одинаков, и ЯМР-сигнал описывается одной экспонентой. Таким образом, при малых x по этому сигналу нельзя отличить линейную молекулу от сферической.

Положение меняется с ростом x, когда молекулы начинают касаться друг друга, и по этой причине их вращение затрудняется. Имея это обстоятельство в виду, а также формулы (1.2), мы обработали сигнал по формуле

$U=U_1{e}^{-{\alpha }_{1}t}+U_2{e}^{-{\alpha }_{2}t}$ (2.3)

и получили результаты, представленные на рис. 1 и 2.

 

Рис. 1. Зависимость величин коэффициентов диффузии D₁ и D₂ от мольной доли линейных молекул полиэтиленгликоля (ПЭГ), растворенных в дейтерохлороформе CDCl₃.

 

Рис. 2. Зависимость величин предэкспоненциальных множителей U_1,2 от мольной доли линейных молекул ПЭГ в CDCl₃.

 

Видно, что двухкомпонентная диффузия (2.3) существует при мольных долях ПЭГ $0.05\lesssim \xi \lesssim 0.12$ причем, согласно рис. 1, измеренные величины КД согласуются с формулами (1.2), т.е. различаются примерно в два раза. Некие сбои, отмеченные на рис. 2, связаны с неустойчивостями нахождения параметров формулы (2.3) по методу наименьших квадратов, порожденными недостаточным объемом статистики.

При концентрациях $\xi \gtrsim 0.05$ длина молекул ПЭГ превышает расстояние между их центрами, поэтому вращение молекул становится затрудненным, “замороженным”, что и приводит к двухкомпонентности наблюдаемого сигнала.

Как говорилось ранее, затухание спинового эха определяется перемещением молекул только вдоль вектора ∇B градиента модуля магнитного поля. Приближенно, на качественном уровне, линейные молекулы можно подразделить на две группы: ориентированные преимущественно вдоль и поперек вектора ∇B. Из-за затрудненности вращения каждой из этих групп свойственен свой коэффициент диффузии, определяемый формулами (1.2), что и проявляется в сигнале спинового эха.

При более строгой обработке опытов молекулы следовало бы разделить на большее количество групп в зависимости от их ориентации относительно ∇B, что привело бы к увеличению количества слагаемых в формуле (2.3). Однако, как показали приведенные здесь данные опытов с молекулами ПЭГ, а также с другими линейными молекулами (для краткости изложения их не обсуждаем), учет двух экспонент достаточен для различения линейных молекул от сферических.

Неясной остается природа однокомпонентности диффузии при $\xi \gtrsim 0.12$ что может стать предметом будущего исследования.

Заключение

В работе показано, что диффузионно-чувствительный метод ядерного магнитного резонанса (DOSY) позволяет идентифицировать конформационное состояние растворенных макромолекул в форме клубка (глобулы) или стержня.

В первом случае интенсивность сигнала спинового эха от макромолекул описывается одним слагаемым, экспоненциально спадающим со временем. В случае же линейных молекул в сигнале обнаруживаются по меньшей мере две экспоненты.

Этот результат может найти применение в физикохимии растворов макромолекул. Во всяком случае, он практически значим в некоторых медицинских приложениях, на которые и направлено наше исследование.

Финансирование

Работа проведена в рамках выполнения государственного задания НИЦ “Курчатовский институт” при частичной поддержке гранта Российского научного фонда № 23-19-00451.

About the authors

V. A. Ivanova

Moscow Institute of Physics and Technology

Email: valeriya.ivanova@phystech.edu
Russian Federation, Dolgoprudny, Moscow Region, 141701 Russia

A. V. Maksimychev

Moscow Institute of Physics and Technologya

Email: maksimychev.av@mipt.ru
Russian Federation, Dolgoprudny, Moscow Region, 141701 Russi

P. L. Men’shikov

Moscow Institute of Physics and Technology; National Research Center "Kurchatov Institute"

Email: menshikov2005@mail.ru
Russian Federation, Dolgoprudny, Moscow Region, 141701 Russia; Moscow, 123182 Russia

A. R. Pashutin

Moscow Institute of Physics and Technology

Email: nituhsap@mail.ru
Russian Federation, Dolgoprudny, Moscow Region, 141701 Russia

A. M. Perepukhov

Moscow Institute of Physics and Technology; Zelinsky Institute of Organic Chemistry of the Russian Academy of Sciences

Email: aleksandr-iv@mail.ru
Russian Federation, Dolgoprudny, Moscow Region, 141701; Moscow

A. N. Rozhkov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, of the Russian Academy of Sciences

Email: rozhkov@ipmnet.ru
Russian Federation, Moscow, 119526 Russia

M. V. Tsar’kov

Moscow Institute of Physics and Technology

Author for correspondence.
Email: m.carkov@phystech.edu
Russian Federation, Dolgoprudny, Moscow Region, 141701 Russia

References

Supplementary files