Определение формы и размеров молекул полимеров в растворах с использованием диффузионной ЯМР-релаксации

Полный текст

1. Постановка задачи

Целью исследования является разработка метода, позволяющего на основе данных ядерного магнитного резонанса (ЯМР) о диффузионной подвижности растворенного полимера определять форму и размеры его молекул.

Известно [1], что полимерная молекула с малым числе звеньев, как правило, линейна, а с большим представляет собой либо клубок, либо глобулу, т.е. напоминает, скорее, шар.

Коэффициент диффузии (далее – КД) молекулы в форме шара радиуса R в жидкости с вязкостью h, вычисленный с использованием формулы Стокса,

$D=k_{B}T\text{}/\left(6\pi \eta R\right).$

Коэффициент диффузии линейной молекулы является симметричным тензором. Действительно, на цилиндр радиусом R и длиной L >> R, движущийся в вязкой жидкости со скоростью V вдоль и поперек своей оси, со стороны жидкости действуют силы, соответственно,

$F_{\parallel }=\frac{2\pi \eta L}{\Lambda }V,$$F_{\perp }=\frac{4\pi \eta L}{\Lambda }V,$ (1.1)

где $\Lambda =\ln \left(L/R\right)$. Для вывода первой формулы нужно сначала рассмотреть движение бесконечно длинного цилиндра и приравнять к нулю скорость увлекаемой им жидкости на расстоянии от оси r ~ L, что дает для F_{| |} выражение (1.1), справедливое с логарифмической точностью ~1/L. Приведенное в (1.1) выражение для F_⊥ имеет такую же погрешность и является предельным случаем задачи об обтекании эллипсоида, решенной в [2].

Если создать условия, при которых растворенные линейные молекулы будут диффундировать либо только вдоль, либо только поперек своей оси, то, в соответствии с формулами (1.1), КД для таких движений будут различаться в два раза:

$D_{\parallel }=\frac{k_{B}T\Lambda }{2\pi \eta L},$$D_{\perp }=\frac{k_{B}T\Lambda }{4\pi \eta L},$ (1.2)

(в этом качественном соображении состоит исходная идея определения формы растворенных молекул). Покажем, что такие условия существуют.

2. Наблюдение двух режимов диффузии

Данная работа была проделана в рамках разработок биоразлагаемых наноконтейнеров для адресной доставки лекарственных средств. Одна из задач состояла в том, чтобы научиться определять и отбирать полимерные молекулы, принимающие в заданном растворителе линейную форму.

Для отработки методики отбора был выбран полиэтиленгликоль (ПЭГ), молекулы которого состоят из ~10 звеньев. В этом случае

$L~20 нм,$$R~0.2 нм.$ (2.1)

Из условий (2.1) следует, что погрешность формул (1.2) составляет $~1/\Lambda ~20\%,$ что приемлемо для возможности различения КД из (1.2).

Для измерения КД применялась импульсная последовательность DOSY (см., напр., труд [3]). В ней, как и в известной последовательности КПМГ (Карр–Парселл–Мейбум–Гилл), измеряется спад интенсивности спинового эха со временем.

Соответствующая методика измерения КД молекул хорошо отработана, изложена во многих руководствах (см., напр., [4–6]). Этот технический вопрос, второстепенный как для нас, так и для основной тематики журнала, не будем обсуждать детально. Для пояснения сути метода достаточно будет сказать, что зависимость величины сигнала протонного спинового эха от времени t в простых случаях имеет вид

$U=U_0\exp \left(-\alpha t\right)$, (2.2)

где параметр a известным образом (см. пионерскую работу [5]) связан с КД. Так, $\alpha =D{\left(\gamma G{T}_{\pi }\right)}^2\text{}/12$ в наиболее простом случае — для последовательности КПМГ при наличии постоянного по времени и объему образца градиента модуля магнитного поля G = |∇B |. Здесь g — гиромагнитное отношение (для протонов g = 2.675 × 10⁸ с⁻¹ Тл⁻¹), T_p — период между повторяющимися p-импульсами в КПМГ-последовательности. Измеряя a, находим КД.

Из формул (1.2) и (2.1) следует оценка D ~ (1–3) ×10^–6 см²/c, что, во-первых, удовлетворительно согласуется с результатами наших измерений (рис. 1) и, во-вторых, указывает на возможность определения размеров макромолекул рассматриваемым методом. В нашем методе улавливается сигнал от протонов, входящих в состав растворенных молекул. По этой причине в качестве растворителя был выбран дейтерохлороформ CDCl₃. Применение этого растворителя вместо хлороформа CHCl₃ позволяет избавиться от фонового сигнала, производимого протонами растворителя.

Обсудим смысл данных, приведенных на рис. 1 и 2.

Из них видно, что при мольных долях линейных молекул ПЭГ $\xi \lesssim 0.05$ имеет место случай (2.2), т.е. сигнал спинового эха описывается одной экспонентой. Затухание спинового эха определяется перемещением молекул только вдоль градиента модуля магнитного поля ∇B, который создается при измерениях по методу DOSY.

При малых концентрациях раствора молекулы движутся независимо друг от друга. За характерное время релаксации сигнала $\tau ~1/\alpha ~0.5$ c молекула диффундирует на расстояние $S~\sqrt{6D\tau }~0.002 см\gg L.$ За это время линейная молекула хаотически совершает ~S/L ~ 1000 полных оборотов. В таком случае все протоны каждой отдельной молекулы между собой равноправны, поскольку диффузионносмещаются практически на одинаковые расстояния $~\sqrt{6D\tau },$ отличающиеся друг от друга на малую величину $\le L\ll \sqrt{6D\tau }.$ По этой причине наблюдаемый коэффициент диффузии для всех протонов линейных молекул одинаков, и ЯМР-сигнал описывается одной экспонентой. Таким образом, при малых x по этому сигналу нельзя отличить линейную молекулу от сферической.

Положение меняется с ростом x, когда молекулы начинают касаться друг друга, и по этой причине их вращение затрудняется. Имея это обстоятельство в виду, а также формулы (1.2), мы обработали сигнал по формуле

$U=U_1{e}^{-{\alpha }_{1}t}+U_2{e}^{-{\alpha }_{2}t}$ (2.3)

и получили результаты, представленные на рис. 1 и 2.

 

Рис. 1. Зависимость величин коэффициентов диффузии D₁ и D₂ от мольной доли линейных молекул полиэтиленгликоля (ПЭГ), растворенных в дейтерохлороформе CDCl₃.

 

Рис. 2. Зависимость величин предэкспоненциальных множителей U_1,2 от мольной доли линейных молекул ПЭГ в CDCl₃.

 

Видно, что двухкомпонентная диффузия (2.3) существует при мольных долях ПЭГ $0.05\lesssim \xi \lesssim 0.12$ причем, согласно рис. 1, измеренные величины КД согласуются с формулами (1.2), т.е. различаются примерно в два раза. Некие сбои, отмеченные на рис. 2, связаны с неустойчивостями нахождения параметров формулы (2.3) по методу наименьших квадратов, порожденными недостаточным объемом статистики.

При концентрациях $\xi \gtrsim 0.05$ длина молекул ПЭГ превышает расстояние между их центрами, поэтому вращение молекул становится затрудненным, “замороженным”, что и приводит к двухкомпонентности наблюдаемого сигнала.

Как говорилось ранее, затухание спинового эха определяется перемещением молекул только вдоль вектора ∇B градиента модуля магнитного поля. Приближенно, на качественном уровне, линейные молекулы можно подразделить на две группы: ориентированные преимущественно вдоль и поперек вектора ∇B. Из-за затрудненности вращения каждой из этих групп свойственен свой коэффициент диффузии, определяемый формулами (1.2), что и проявляется в сигнале спинового эха.

При более строгой обработке опытов молекулы следовало бы разделить на большее количество групп в зависимости от их ориентации относительно ∇B, что привело бы к увеличению количества слагаемых в формуле (2.3). Однако, как показали приведенные здесь данные опытов с молекулами ПЭГ, а также с другими линейными молекулами (для краткости изложения их не обсуждаем), учет двух экспонент достаточен для различения линейных молекул от сферических.

Неясной остается природа однокомпонентности диффузии при $\xi \gtrsim 0.12$ что может стать предметом будущего исследования.

Заключение

В работе показано, что диффузионно-чувствительный метод ядерного магнитного резонанса (DOSY) позволяет идентифицировать конформационное состояние растворенных макромолекул в форме клубка (глобулы) или стержня.

В первом случае интенсивность сигнала спинового эха от макромолекул описывается одним слагаемым, экспоненциально спадающим со временем. В случае же линейных молекул в сигнале обнаруживаются по меньшей мере две экспоненты.

Этот результат может найти применение в физикохимии растворов макромолекул. Во всяком случае, он практически значим в некоторых медицинских приложениях, на которые и направлено наше исследование.

Финансирование

Работа проведена в рамках выполнения государственного задания НИЦ “Курчатовский институт” при частичной поддержке гранта Российского научного фонда № 23-19-00451.

Об авторах

В. А. Иванова

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Email: valeriya.ivanova@phystech.edu
Россия, Московская обл., Долгопрудный

А. В. Максимычев

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Email: maksimychev.av@mipt.ru
Россия, Московская обл., Долгопрудный

П. Л. Меньшиков

Московский физико-технический институт (государственный университет); Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”

Email: menshikov2005@mail.ru
Россия, Московская обл., Долгопрудный; Москва

А. Р. Пашутин

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Email: nituhsap@mail.ru
Россия, Московская обл., Долгопрудный

А. М. Перепухов

Московский физико-технический институт (государственный университет); Институт органической химии им. Н. Д. Зелинского РАН

Email: aleksandr-iv@mail.ru
Россия, Московская обл., Долгопрудный; Москва

А. Н. Рожков

Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН

Email: rozhkov@ipmnet.ru
Россия, Москва

М. В. Царьков

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Автор, ответственный за переписку.
Email: m.carkov@phystech.edu
Россия, Московская обл., Долгопрудный

Список литературы

Дополнительные файлы