Эффективные алгоритмы решения функциональных уравнений с суперпозицией на примере уравнения Фейгенбаума

Цель. Рассмотреть новые алгоритмы решения функциональных уравнений на примере уравнения Фейгенбаума. Данное уравнение представляет большой интерес в теории детерминированного хаоса и является хорошим показательным примером в классе функциональных уравнений с суперпозицией. Методы. В статье предлагаются три новых эффективных метода решения функциональных уравнений — метод последовательных приближений, метод последовательных приближений с применением быстрого преобразования Фурье и численно-аналитический метод с применением малого параметра. Результаты. Были приведены три новых метода решения функциональных уравнений, рассмотренных на примере уравнения Фейгенбаума. Для каждого из них были исследованы особенности их применения, а также оценена сложность получаемых в результате алгоритмов. Проведено сравнение методов, используемых ранее исследователями для решения функциональных уравнений, с описанными в данной статье. В описании последнего, численно-аналитического метода, были выписаны несколько коэффициентов разложений универсальных постоянных Фейгенбаума. Заключение. Полученные алгоритмы позволяют решать функциональные уравнения с суперпозицией, основываясь на методах простой итерации, без необходимости обращения матрицы Якоби. Данная особенность сильно упрощает использование компьютерной памяти и дает выигрыш по времени работы рассматриваемых алгоритмов, по сравнению с ранее используемыми. Также последний, численно-аналитический метод позволил получать последовательно коэффициенты разложений универсальных постоянных Фейгенбаума, что, по сути, может являться аналитическим представлением данных констант.

динамический хаос, уравнение Фейгенбаума, функциональные уравнения с суперпозицией, степенные ряды