Degenerate cases in discrete Lotka – Volterra dynamical systems

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The purpose of the work is to study the asymptotic behavior of trajectories of interior points of discrete Lotka–Volterra dynamical systems with degenerate skew-symmetric matrices operating in two-dimensional and three-dimensional simplexes. It turned out that in a number of applied problems, the Lotka–Volterra mappings of this type arise and the simplex points in this case are considered as the state of the system under study. In this case, the mapping preserving the simplex determines the discrete law of evolution of this system. For an arbitrary starting point, we can construct a sequence — an orbit that determines its evolution. And if in this case the mapping in question is an automorphism, we can define both a positive and a negative orbit for the point in question. At the same time, the limiting sets of positive and negative orbits are of particular interest. Methods. It is known that for Lotka–Volterra mappings it is possible to define limit sets, which in the case of non-degenerate mappings consist of a single point. In this paper, we define these sets for degenerate Lotka–Volterra mappings by constructing the Lyapunov function and applying Jacobian spectrum analysis. It should be noted that these sets allow us to describe the dynamics of the systems under consideration. Results. Taking into account that the considered mappings are automorphisms, using the Lyapunov functions and applying the analysis of the Jacobian spectrum, sets of limit points of both positive and negative trajectories are constructed and it is proved that in the degenerate case they are infinite. It is also shown that partially oriented graphs can be constructed for degenerate mappings. Conclusion. Degenerate cases of Lotka–Volterra mappings have not been considered by other authors before us. These mappings are interesting because they can be considered as discrete models of epidemiological situations, in particular, for studying the course of airborne viral infections. The results obtained in this work provide a detailed description of the dynamics of the trajectories of Lotka–Volterra mappings with degenerate matrices. In addition, partially oriented graphs were constructed for the systems under consideration in order to visually represent the dynamics of epidemiological situations.  

About the authors

Rasul Nabiyevich Ganikhodzhaev

National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek

ORCID iD: 0000-0001-6551-5257
Scopus Author ID: 35098653200
Узбекистан, город Ташкент, Алмазарский район

Dilfuza Bakhromovna Eshmamatova

Toshkent davlat transport universiteti

ORCID iD: 0000-0002-1096-2751
Scopus Author ID: 57214791647
1-House of Temiryulchilar street of Mirabad District of Tashkent City

Error Rakhimzhonovich Error

National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek

ORCID iD: 0009-0008-0762-1180
Узбекистан, город Ташкент, Алмазарский район

Sirojiddin Ismoyiljon ugli Masharipov

National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek

ORCID iD: 0000-0002-9414-3250
Узбекистан, город Ташкент, Алмазарский район

References

  1. Devaney R. L. A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiment. New York: CRC Press, 2020. 328 p. doi: 10.1201/9780429280665.
  2. Strogatz S. Nonlinear Dynamics and Chaos. New York: CRC Press, 2019. 532 p.
  3. Anupam P., Sandip M., Lan S. S., Hidekatsu Y. Micro-scale variability enhances trophic transfer and potentially sustains biodiversity in plankton ecosystems // J. Theor. Biol. 2017. Vol. 412. P. 86–93. doi: 10.1016/j.jtbi.2016.10.005.
  4. Muller J., Kuttler C. Methods and Models in Mathematical Biology. Deterministic and Stochastic Approaches. Berlin: Springer, 2015. 711 p. doi: 10.1007/978-3-642-27251-6.
  5. Бернштейн С. Н. Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследованности // Ученые записки научно-исследовательских кафедр Украины. Отдел математический. 1924. Т. 1. С. 83–115.
  6. Шильников Л. П., Шильников A. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. O. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1. M.: Институт Компьютерных Исследований, 2004. 416 c.
  7. Amraoui S., Auroux D., Blum J. Back-and-forth nudging for the quasi-geostrophic ocean dynamics with altimetry: theoretical convergence study and numerical experiments with the future swot observations // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2023. Vol. 16, iss. 2. P. 197–219. doi: 10.3934/dcdss.2022058.
  8. Brauer F., Castillo-Chavez C. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. New York: Springer, 2012. 522 p. doi: 10.1007/978-1-4614-1686-9.
  9. Jiang Xu, Yinong Wang, Zhongwei Cao. Dynamics of a stochastic SIRS epidemic model with standard incidence under regime switching // International Journal of Biomathematics. 2021. Vol. 19, iss. 10. P. 10618–10636. doi: 10.3934/mbe.2022496.
  10. Carrasco-Gutierrez C. E., Sosa W. A discrete dynamical system and its applications // Pesquisa Operacional. 2019. Vol. 39, iss. 3. P. 457–469. doi: 10.1590/0101-7438.2019.039.03.0457.
  11. Jin X., Jia J. Qualitative study of a stochastic SIRS epidemic model with information intervention // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2020. Vol. 547. P. 123866. doi: 10.1016/j.physa.2019.123866.
  12. Кулаков М. П., Фрисман Е. Я. Простая и сложная динамика в модели эволюции двух миграционно связанных популяций с непересекающимися поколениями // Известия вузов. ПНД. 2022. Т. 30, № 2. С. 208–232. doi: 10.18500/0869-6632-2022-30-2-208-232.
  13. Ростунцова А. А., Рыскин Н. М. Исследование характера модуляционной неустойчивости при циклотронном резонансном взаимодействии излучения со встречным прямолинейным пучком электронов // Известия вузов. ПНД. 2023. Т. 31, № 5. Р. 597–609. doi: 10.18500/0869-6632-003067.
  14. Kermack W. O., Mc.Kendrick A. G. A contribution to the mathematical theory of epidemics // Proc. R. Soc. Lond. A. 1927. Vol. 115, no. 772. P. 700–721. doi: 10.1098/rspa.1927.0118.
  15. Мюррей Дж. Математическая биология. Том 1. Введение. М.: Институт компьютерных исследований, 2009. 776 с.
  16. Ганиходжаев Р. Н., Эшмаматова Д. Б. Квадратичные автоморфизмы симплекса и асимптотическое поведение их траекторий // Владикавказский математический журнал. 2006. Т. 8, № 2. С. 12–28.
  17. Rozikov U. A., Shoyimardonov S. K. Ocean ecosystem discrete time dynamics generated by l-Volterra operators // International Journal of Biomathematics. 2019. Vol. 12, iss. 2. P. 1950015. doi: 10.1142/S1793524519500153.
  18. Tadzhieva M. A., Eshmamatova D. B., Ganikhodzhaev R. N. Volterra-type quadratic stochastic operators with a homogeneous tournament // J. Math. Sci. 2024. Vol. 278. P. 546–556. doi: 10.1007/s10958-024-06937-0.
  19. Eshmamatova D. B. Discrete analog of the SIR model // AIP Conference Proceedings. 2023. Vol. 2781. Р. 020024. doi: 10.1063/5.0144884.
  20. Eshmamatova D. B., Tadzhiyeva M. A., Ganikhodzhaev R. N. Degenerate cases in Lotka–Volterra systems // AIP Conference Proceedings. 2023. Vol. 2781. P. 020034. doi: 10.1063/5.0144887.
  21. Rozikov U. A., Zhamilov U. U. Volterra quadratic stochastic operators of a two-sex population // Ukr. Math. J. 2011. Vol. 63, iss. 7. P. 1136–1153. doi: 10.1007/s11253-011-0568-y.
  22. Ganikhodzhaev R. N., Tadzieva M. A., Eshmamatova D. B. Dynamical properties of quadratic homeomorphisms of a finite-dimensional simplex // J. Math. Sci. 2020. Vol. 245, iss. 3. P. 398–402. doi: 10.1007/s10958-020-04702-7.
  23. Трубецков Д. И. Феномен математической модели Лотки–Вольтерры и сходных с ней // Известия вузов. ПНД. 2011. Т. 19, № 2. C. 69–88. doi: 10.18500/0869-6632-2011-19-2-69-88.
  24. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. Пер. с франц. М.: Наука, 1976. 288 с.
  25. Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. Динамические системы и модели биологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. 400 с.
  26. Seytov Sh. J., Eshmamatova D. B. Discrete dynamical systems of Lotka-Volterra and their applications on the modeling of thebiogen cycle in ecosystem // Lobachevskii J. Math. 2023. Vol. 44. P. 1471-1485. doi: 10.1134/S1995080223040248.
  27. Eshmamatova D., Ganikhodzhaev R. Tournaments of Volterra type transversal operators acting in a simplex // AIP Conference Proceedings. 2021. Vol. 2365, no. 1. P. 060009. doi: 10.1063/5.0057303.
  28. Эшмаматова Д. Б., Таджиева М. А., Ганиходжаев Р. Н. Критерии существования внутренних неподвижных точек с однородными турнирами дискретных динамических систем Лотки-Вольтерры // Известия вузов. ПНД. 2023. Т. 30, № 6. C. 702–716. doi: 10.18500/0869-6632-003012.
  29. Eshmamatova D. B., Yusupov F. A. Dynamics of compositions of some Lotka–Volterra mappings operating in a two-dimensional simplex // Turkish Journal of Mathematics. 2024. Vol. 48, no. 3. P. 391–406. doi: 10.55730/1300-0098.3514.
  30. Eshmamatova D. B., Seytov Sh. J., Narziev N. B. Basins of fixed points for composition of the Lotka-Volterra mappings and their classification // Lobachevskii J. Math. 2023. Vol. 44, no. 2. P. 558–569. doi: 10.1134/S1995080223020142.
  31. Eshmamatova D. B. Compositions of Lotka-Volterra Mappings as a Model for the Study of Viral Diseases // AIP Conference Proceedings. 2024. Vol. 3085. P. 020008. doi: 10.1063/5.0194902.
  32. Eshmamatova D. B., Ganikhodzhaev R. N. Asymptotic behavior of Volterra type discrete dynamical systems // AIP Conference Proceedings. 2024. Vol. 3085. P. 020009. doi: 10.1063/5.0194901.
  33. Eshmamatova D. B., Ganikhodzhaev R. N., Tadzhieva M. A. Invariant sets of Lotka–Volterra mappings acting in a four-dimensional simplex // AIP Conference Proceedings. 2024. Vol. 3004. P. 020011. doi: 10.1063/5.0199936.
  34. Harary F., Palmer E. Graphical Enumeration. New York: Academic Press, 1973. 271 p. doi: 10.1016/C2013-0-10826-4.
  35. Moon J. Topics on Tournaments. New York: Academic Press, 2013. 136 p.
  36. Eshmamatova D. B. Dynamics of a discrete SIRD model based on Lotka–Volterra mappings // AIP Conference Proceedings. 2024. Vol. 3004. P. 020005. doi: 10.1063/5.0199863.
  37. Hartman P. A lemma in the theory of structural stability of differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1960. Vol. 11. P. 610–620. doi: 10.1090/S0002-9939-1960-0121542-7.
  38. Devaney R. L. An Introduction to Chaotic Dynamical System. Third Edition. New York: CRC Press, 2021. 434 p. doi: 10.1201/9780429280801.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».