Synchronization of oscillators with hard excitation coupled with delay Part 2. Amplitude-phase approximation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Aim of this work is to develop the theory of mutual synchronization of two oscillators with hard excitation associated with a delay. Taking into account the delay of a coupling signal is necessary, in particular, when analyzing synchronization at microwave frequencies, when the distance between the oscillators is large compared to the wavelength. Methods. A bifurcation analysis of the mutual synchronization of two generators with hard excitation in the amplitude-phase approximation is carried out. The results of the bifurcation analysis are compared with the results of numerical simulation of the system of differential equations with delay. Results. A complete bifurcation pattern of mutual synchronization on the plane “frequency mismatch — coupling parameter” is presented. In the case of small mismatch and weak coupling, the fixed points, which correspond to modes with dominance of one of the oscillators, merge with saddle fixed points and disappear when the coupling parameter increases. In the case of large mismatch, one of these points either vanishes or loses stability as a result of a subcritical Andronov–Hopf bifurcation. The other of these points remains stable at any values of the coupling parameter, and the oscillation amplitudes of both oscillators gradually equalize and the phase difference tends to zero, i.e., the oscillation mode with dominance of one of the oscillators gradually transforms into the in-phase synchronization mode. It has been found that with an increase in the coupling parameter, a transformation of the basin of attraction of a stable zero fixed point occurs. As a result of this transformation, if at the initial moment of time the oscillations of the generators are close to antiphase, the oscillations decay at any initial amplitudes. Conclusion. The synchronization pattern in the system of delay-coupled oscillators with hard excitation has been studied. It was discovered that in addition to mutual synchronization modes with approximately equal oscillation amplitudes, stationary modes with suppression of oscillations of one generator by another are also possible. The bifurcation mechanisms of the appearance and disappearance of multistability in the system have been examined.

About the authors

Asel Bauyrzhanovna Adilova

Saratov State University; Saratov Branch of Kotel`nikov Institute of Radiophysics and Electronics of Russian Academy of Sciences

ul. Astrakhanskaya, 83, Saratov, 410012, Russia

Nikita Mikhailovich Ryskin

Saratov Branch of Kotel`nikov Institute of Radiophysics and Electronics of Russian Academy of Sciences; Saratov State University

ORCID iD: 0000-0001-8501-6658
Scopus Author ID: 7003373306
ResearcherId: K-2549-2012
ul. Zelyonaya, 38, Saratov, 410019, Russia

References

  1. Zhang J., Zhang D., Fan Y., He J., Ge X., Zhang X., Ju J., Xun T. Progress in narrowband highpower microwave sources // Physics of Plasmas. 2020. Vol. 27, no. 1. P. 010501. doi: 10.1063/1.5126271.
  2. Usacheva S. A., Ryskin N. M. Phase locking of two limit cycle oscillators with delay coupling // Chaos. 2014. Vol. 24, no. 2. P. 023123. doi: 10.1063/1.4881837.
  3. Adilova A. B., Balakin M. I., Gerasimova S. A., Ryskin N. M. Bifurcation analysis of multistability of synchronous states in the system of two delay-coupled oscillators // Chaos. 2021. Vol. 31, no. 11. P. 113103. doi: 10.1063/5.0065670.
  4. Королев В. И., Постников Л. В. К теории синхронизации генератора автоколебаний. I // Известия вузов. Радиофизика. 1969. Т. 12, № 3. С. 406–414.
  5. Кузнецов А. П., Милованов С. В. Синхронизация в системе с бифуркацией слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. Т. 11, № 4/5. С. 16–30. doi: 10.18500/0869-6632-2003-11-4-16-30.
  6. Милованов С. В. Синхронизация систем с сосуществующими устойчивым и неустойчивым предельными циклами и бифуркацией их слияния и исчезновения. Дисс. к.ф.-м.н. Саратов, СГУ, 2005. 209 с.
  7. Yakunina K. A., Kuznetsov A. P., Ryskin N. M. Injection locking of an elec-tronic maser in the hard excitation mode // Physics of Plasmas. 2015. Vol. 22, no. 11. P. 113107. doi: 10.1063/1.4935847.
  8. Григорьева Н. В., Рыскин Н. М. Исследование синхронизации гиротрона в режиме жёсткого возбуждения на основе модифицированной квазилинейной модели // Известия вузов. Радиофизика. 2022. Т. 65, № 5/6. C. 406–419. doi: 10.52452/00213462_2022_65_05_406.
  9. Адилова А. Б., Рыскин Н. М. Cинхронизация генераторов с жестким возбуждением, связанных с задержкой. Часть 1. Фазовое приближение // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2024. Т. 32, № 1. С. 42–56. doi: 10.18500/0869-6632-003080.
  10. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2005. 292 с.
  11. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 496 с.
  12. Izhikevich E. M. Phase models with explicit time delays // Physical Review E. 1998. Vol. 58, no. 1. P. 905–908. doi: 10.1103/PhysRevE.58.905.
  13. Глызин С. Д. Динамические свойства простейших конечноразностных аппроксимаций краевой задачи «реакция-диффузия» // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 6. С. 805–811.
  14. Jessop M. R., Li W., Armour A. D. Phase synchronization in coupled bistable oscillators // Physical Review Research. 2020. Vol. 2, no. 1. P. 013233. doi: 10.1103/PhysRevResearch.2.013233.
  15. Buric N., Grozdanovic I., Vasovic N. Excitable systems with internal and coupling delays // Chaos, Solitons & Fractals. 2008. Vol. 36, no. 4. P. 853–861. doi: 10.1016/j.chaos.2006.09.061.
  16. Шильников Л. П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий // Математический сборник. 1963. Т. 61(103), № 4. С. 443–466.
  17. http://www.math.pitt.edu/ bard/xpp/xpp.html
  18. Перегородова Е. Н., Рыскин Н. М., Усачева С. А. Синхронизация системы двух конкурирующих мод внешним гармоническим сигналом // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19, № 3. С. 154–170. doi: 10.18500/0869-6632-2011-19-3-154-170.
  19. Кузнецов А. П., Емельянова Ю. П., Сатаев И. Р., Тюрюкина Л. В. Синхронизация в задачах. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2010. 256 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».