Nonlinear waves of the sine-Gordon equation in the model with three attracting impurities

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Purpose of this work is to use analytical and numerical methods to consider the problem of the structure and dynamics of coupled localized nonlinear waves in the sine-Gordon model with impurities (or spatial inhomogeneity of the periodic potential). Methods. Using the analytical method of collective coordinates for the case of the arbitrary number the same point impurities on the same distance each other, differential equation system was got for localized waves amplitudes as the functions on time. We used the finite difference method with explicit scheme for the numerical solution of the modified sine-Gordon equation. We used a discrete Fourier transform to perform a frequency analysis of the oscillations of localized waves calculate numerically. Results. We found of the differential equation system for three harmonic oscillators with the elastic connection for describe related oscillations of nonlinear waves localized on the three same impurity. The solutions obtained from this system of equations for the frequencies of related oscillation well approximate the results of direct numerical modeling of a nonlinear system. Conclusion. In the article shows that the related oscillation of nonlinear waves localized on three identical impurities located at the same distance from each other represent the sum of three harmonic oscillations: in-phase, in-phase-antiphase and antiphase type. The analysis of the influence of system parameters and initial conditions on the frequency and type of associated oscillations is carried out.

About the authors

Evgenii Grigoryevich Ekomasov

Bashkir State University

450076, Russian Federation, Republic of Bashkortostan, Ufa, st. Zaki Validi 32

Kirill Yurievich Samsonov

University of Tyumen

6 Volodarskogo Street, 625003 Tyumen

Azamat Maratovich Gumerov

Bashkir State University

450076, Russian Federation, Republic of Bashkortostan, Ufa, st. Zaki Validi 32

Roman Vladimirovich Kudryavtsev

Bashkir State University

450076, Russian Federation, Republic of Bashkortostan, Ufa, st. Zaki Validi 32

References

  1. Рыскин Н. М., Трубецков Д. И. Нелинейные волны. Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, Физматлит, 2000. 272 c.
  2. Dauxois T., Peyrard M. Physics of Solitons. New York: Cambridge University Press, 2010. 436 p.
  3. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.
  4. Cuevas-Maraver J., Kevrekidis P. G., Williams F. The sine-Gordon Model and its Applications: From Pendula and Josephson Junctions to Gravity and High-Energy Physics. Cham: Springer, 2014. 263 p. doi: 10.1007/978-3-319-06722-3.
  5. Браун О. М., Кившарь Ю. С. Модель Френкеля-Конторовой: Концепции, методы, приложения. М.: Физматлит, 2008. 536 с.
  6. Kryuchkov S. V., Kukhar E. I. Nonlinear electromagnetic waves in semi-Dirac nanostructures with superlattice // Eur. Phys. J. B. 2020. Vol. 93, no. 4. P. 62. doi: 10.1140/epjb/e2020-100575-4.
  7. Kiselev V. V., Raskovalov A. A., Batalov S. V. Nonlinear interaction of domain walls and breathers with a spin-wave field // Chaos, Solitons and Fractals. 2019. Vol. 127. P. 217-225. doi: 10.1016/j.chaos.2019.06.013.
  8. Делев В. А., Назаров В. Н., Скалдин О. А., Батыршин Э. С., Екомасов Е. Г. Сложная динамика каскада кинк-антикинковых взаимодействий в линейном дефекте электроконвективной структуры нематика // Письма в ЖЭТФ. 2019. Т. 110, № 9. С. 607-613. doi: 10.1134/S0370274X19210070.
  9. Kalbermann G. ¨ The sine-Gordon wobble // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2004. Vol. 37, no. 48. P. 11603-11612. doi: 10.1088/0305-4470/37/48/006.
  10. Ferreira L. A., Piette B., Zakrzewski W. J. Wobbles and other kink-breather solutions of the sineGordon model // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 77, no. 3. P. 036616. doi: 10.1103/PhysRevE.77.036613.
  11. Saadatmand D., Dmitriev S. V., Borisov D. I., Kevrekidis P. G. Interaction of sine-Gordon kinks and breathers with a parity-time-symmetric defect // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 90, no. 5. P. 052902. doi: 10.1103/PhysRevE.90.052902.
  12. Kivshar Y. S., Pelinovsky D. E., Cretegny T., Peyrard M. Internal modes of solitary waves // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 80, no. 23. P. 5032-5035. doi: 10.1103/PhysRevLett.80.5032.
  13. Jagtap A. D., Vasudeva Murthy A. S. Higher order scheme for two-dimensional inhomogeneous sine-Gordon equation with impulsive forcing // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. Vol. 64. P. 178-197. doi: 10.1016/j.cnsns.2018.04.012.
  14. Gomide O. M. L., Guardia M., Seara T. M. Critical velocity in kink-defect interaction models: Rigorous results // Journal of Differential Equations. 2020. Vol. 269, no. 4. P. 3282-3346. doi: 10.1016/j.jde.2020.02.030.
  15. Javidan K. Analytical formulation for soliton-potential dynamics // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 78, no. 4. P. 046607. doi: 10.1103/PhysRevE.78.046607.
  16. Piette B., Zakrzewski W. J. Scattering of sine-Gordon kinks on potential wells // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2007. Vol. 40, no. 22. P. 5995-6010. doi: 10.1088/1751-8113/40/22/016.
  17. Al-Alawi J. H., Zakrzewski W. J. Scattering of topological solitons on barriers and holes of deformed Sine-Gordon models // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2008. Vol. 41, no. 31. P. 315206. doi: 10.1088/1751-8113/41/31/315206.
  18. Baron H. E., Zakrzewski W. J. Collective coordinate approximation to the scattering of solitons in modified NLS and sine-Gordon models // Journal of High Energy Physics. 2016. Vol. 2016, no. 6. P. 185. doi: 10.1007/JHEP06(2016)185.
  19. Гумеров А. М., Екомасов Е. Г., Муртазин Р. Р., Назаров В. Н. Трансформация солитонов уравнения синус-Гордона в моделях с переменными коэффициентами и затуханием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2015.Т. 55, № 4. С. 631-640. doi: 10.7868/S0044466915040031.
  20. Goodman R. H., Haberman R. Interaction of sine-Gordon kinks with defects: the two-bounce resonance // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2004. Vol. 195, no. 3-4. P. 303-323. DOI: 10.1016/ j.physd.2004.04.002.
  21. Гумеров А. М., Екомасов Е. Г., Закирьянов Ф. К., Кудрявцев Р. В. Структура и свойства четырехкинковых мультисолитонов уравнения синус-Гордона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014.Т. 54, № 3. С. 481-495.doi: 10.7868/S0044466914030077.
  22. Gonzalez J. A., Bellor ´ ´ın A., Guerrero L. E. Internal modes of sine-Gordon solitons in the presence of spatiotemporal perturbations // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65, no. 6. P. 065601. doi: 10.1103/PhysRevE.65.065601.
  23. Gonzalez J. A., Bellor ´ ´ın A., Garc´ıa-Nustes M. A., Guerrero L. E., Jim ˜ enez S., V ´ azquez L. ´ Arbitrarily large numbers of kink internal modes in inhomogeneous sine-Gordon equations // Phys. Lett. A. 2017. Vol. 381, no. 24. P. 1995-1998. doi: 10.1016/j.physleta.2017.03.042.
  24. Белова Т. И., Кудрявцев А. Е. Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля // УФН. 1997. Т. 167, № 4. С. 377-406. doi: 10.3367/UFNr.0167.199704b.0377.
  25. Ekomasov E. G., Gumerov A. M., Murtazin R. R. Interaction of sine-Gordon solitons in the model with attracting impurities // Math. Models Methods Appl. Sci. 2016. Vol. 40, no. 17. P. 6178-6186. doi: 10.1002/mma.3908.
  26. Екомасов Е. Г., Гумеров А. М., Кудрявцев Р. В. О возможности наблюдения резонансного взаимодействия кинков уравнения синус-Гордона с локализованными волнами в реальных физических системах // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 101, № 12. С. 935-939. doi: 10.7868/S0370274X15120127.
  27. Ekomasov E. G., Gumerov A. M., Kudryavtsev R. V. Resonance dynamics of kinks in the sineGordon model with impurity, external force and damping // J. Comput. Appl. Math. 2017. Vol. 312. P. 198-208. doi: 10.1016/j.cam.2016.04.013.
  28. Ekomasov E. G., Gumerov A. M., Kudryavtsev R. V., Dmitriev S. V., Nazarov V. N. Multisoliton dynamics in the sine-Gordon model with two point impurities // Braz. J. Phys. 2018. Vol. 48, no. 6. P. 576-584. doi: 10.1007/s13538-018-0606-4.
  29. Gumerov A. M., Ekomasov E. G., Kudryavtsev R. V., Fakhretdinov M. I. Excitation of largeamplitude localized nonlinear waves by the interaction of kinks of the sine-Gordon equation with attracting impurity // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2019. Vol. 15, no. 1. P. 21-34. doi: 10.20537/nd190103.
  30. Geng X., Shen J., Xue B. A new nonlinear wave equation: Darboux transformation and soliton solutions // Wave Motion. 2018. Vol. 79. P. 44-56. doi: 10.1016/j.wavemoti.2018.02.009.
  31. Ekomasov E. G., Murtazin R. R., Bogomazova O. B., Gumerov A. M. One-dimensional dynamics of domain walls in two-layer ferromagnet structure with different parameters of magnetic anisotropy and exchange // J. Magn. Magn. Mater. 2013. Vol. 339. P. 133-137. doi: 10.1016/j.jmmm.2013.02.042.
  32. Екомасов Е. Г. Азаматов Ш. А., Муртазин Р. Р. Изучение зарождения и эволюции магнитных неоднородностей типа солитонов и бризеров в магнетиках с локальными неоднородностями анизотропии // Физика металлов и металловедение. 2008. Т. 105, № 4. С. 341-349.
  33. Ekomasov E. G., Murtazin R. R., Nazarov V. N. Excitation of magnetic inhomogeneities in threelayer ferromagnetic structure with different parameters of the magnetic anisotropy and exchange // J. Magn. Magn. Mater. 2015. Vol. 385. P. 217-221. doi: 10.1016/j.jmmm.2015.03.019.
  34. Gumerov A. M., Ekomasov E. G., Kudryavtsev R. V. One-dimensional dynamics of magnetic inhomogeneities in a three- and five-layer ferromagnetic structure with different values of the magnetic parameters // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1389. P. 012004. doi: 10.1088/1742-6596/1389/1/012004.
  35. Шамсутдинов М. А., Назаров В. Н., Ломакина И. Ю., Харисов А. Т., Шамсутдинов Д. М. Ферро- и антиферромагнитодинамика. Нелинейные колебания, волны и солитоны. М.: Наука, 2009. 456 с.
  36. Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. М.: Мир, 1982. 304 с.
  37. Фалейчик Б. В. Одношаговые методы численного решения задачи Коши. Минск: БГУ, 2010. 42 с.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies