Динамический межотраслевой баланс как инструмент анализа структурной политики

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Предлагаемая вниманию читателя статья располагается в цикле исследований авторов (Торопцев, Мараховский, 2022а, 2022б; Торопцев, Кандохова, Гудиева, 2023). Работа основана на понимании того, что экономическая динамика, как и вообще любая динамика, часто и естественно формализуется дифференциальными уравнениями и их разностными аналогами. При этом для анализа структурных свойств экономики как системы, разработки инструментов формирования структурной политики динамический межотраслевой баланс (МОБ) представляется весьма привлекательным. Отсутствующие в мировой экономической науке практики оцифровки динамического МОБ в указанном виде впервые представлены нами, в том числе на страницах указанных выше изданий. Данная работа предлагает оцифровку модели на основе базовых таблиц «затраты–выпуск» (ТЗВ) с последующим анализом структурных динамических свойств в разрезе 98 видов экономической деятельности (ВЭД).

Возвращение внимания к структурной политике со стороны государства отмечается примерно с 2010 г. (НИУ ВШЭ, 2018). Такой подход адекватен проблеме исследования экономической динамики (Lin, 2011). Он же анализирует взаимосвязи структурных изменений с экономическим ростом (Silva, Teixeira, Aurora, 2008). При этом Новая структурная экономика рассматривает структурные изменения в качестве одного из источников экономического роста (Гусев и др., 2018). Бытует и противоположная оценка, но ясно одно: между двумя этими категориями естественным образом имеет место положительная корреляционная связь (UNIDO, 2016). В данном изложении для нас важен статистический факт того, что со второй половины XX в. все длительные периоды экономического роста в мире (Ксенофонтов, Ползиков, 2018), которым ставили в соответствие термин «экономическое чудо», происходили на фоне значительных структурных изменений (McMillan, Rodrik, Sepulveda, 2017; Diao, McMillan, Rodrik, 2017).

На сегодняшний день единой теории структурных трансформаций не существует, а у имеющихся теоретические построения носят в основном объясняющий характер (Field, Kruger, 2008). Доступные для анализа и прогнозирования задачи решаются на основе применения методов экономической статистики, эконометрики, финансовой математики, ценовых оценок, расчетов по канонам теории индексов (Узякова Е., Узяков Р., 2018). Набор вариантов анализа, предлагаемый указанными академическими дисциплинами, хорошо справлялся с математико-статистическим описанием экономики XX и начала XXI в., т. е. с описанием индустриальной экономики массового производства ресурсных товаров и товаров для конечного потребления, транспорта, традиционных услуг и торговли и т. п. Такой набор хорошо работает и теперь по этим же координатам. Выводы, сделанные усилиями пяти научных институтов НИУ ВШЭ, свидетельствуют о том, что экономическая реальность последнего времени характеризуется в том числе и производством высокотехнологических товаров и услуг, когда экономическая динамика плохо поддается измерению указанными традиционными методами. Знакомство с таким выводом порождает две идеи:

1) о необходимости внесения изменений в действующий ОКВЭД-2 для детализации представления в нем результатов вхождения высоких технологий в экономическую жизнь;

2) о востребованности неценовых оценок экономической динамики, возможно, более адекватных при измерении параметров новой экономики.

И если реализация первого пункта — прерогатива Росстата, то разработке второго пункта посвящена данная статья. При этом первым шагом выполнения этого пункта является оцифровка известной с середины прошлого века модели, позволяющей оценивать (измерять) технологические структурные сдвиги в терминах степеней экономического роста и межотраслевых инерционностей.

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОЦИФРОВКА МОДЕЛИ

Для моделирования и расчетов введем в рассмотрение следующие математико-статистические объекты: MTC — матрица (потоки) полных затрат (matrix of total costs), вычисляется из симметричной ТЗВ; TIC — матрица коэффициентов полных затрат — представляет собой элемент базовых ТЗВ (total input coefficients) либо вычисляется из данных симметричной ТЗВ; Х(t) — вектор-функция валовых выпусков (итого использование — столбец 111 симметричной ТЗВ), аргумент t часто можно просто опустить; Y(t) — вектор-функция совокупного конечного спроса (столбец 110, в статической модели вектор Y); MIC — матрица промежуточного потребления (matrix of intermediate consumption, столбцы 1–98 симметричной ТЗВ); ICV — вектор промежуточного потребления (столбец 099 intermediate consumption vector); А — матрица коэффициентов прямых затрат; В — матрица межотраслевых инерционностей, имеет размерность времени (ранее на ее месте в модели располагалась матрица приростных фондоемкостей); IV — вектор инвестиций в основной и оборотный капитал (столбец 108 investment vector); IM — матрица формирования инвестиций (investment matrix); VC — вектор непроизводственного потребления (из столбца 111 вычитаются столбцы 99 и 108 либо из столбца 110 вычитается столбец 108) (в динамической модели это VC(t)); MC — матрица формирования непроизводственного потребления; С — матрица коэффициентов непроизводственного потребления; FFC — матрица коэффициентов финансовых потоков (отсутствует в ТЗВ); E — единичная матрица; G (или G₁) — матрица состояния модели/системы, приведенной к нормальной форме Коши.

Моделирование будем выполнять на основе структурной (по происхождению динамической МОБ) системы дифференциальных уравнений, к которой мы неоднократно обращались (Торопцев, Мараховский, 2022a, 2022б; Торопцев, Кандохова, Гудиева, 2023). Основная динамическая модель имеет вид:

$X\left(t\right)=B\frac{dX\left(t\right)}{dt}+AX\left(t\right)+VC\left(t\right),X\left(0\right)=X_0$. (1)

Автор модели (1) В. В. Леонтьев опубликовал ее в 1952 г., указав и на то, что матрица B размерностью (100 × 100) для американской экономики сгенерирована его сотрудником К. Иверсоном (Леонтьев, 1990). Однако никаких следов этой или других симметричных матриц B какой-либо экономики мира нам не удалось обнаружить, несмотря на активные поиски с 1998 г. Никогда и нигде методика оцифровки (1) не была опубликована, хотя динамические модели с матрицей B использовались разными исследователями (см., например, (Ефимов, Мовшович, 1973)). Но при этом оставался вопрос о том, где авторы взяли матрицу B.

Однако уже в работе (Пархименко, 2023) автор рассматривает B как матрицу приростных фондоемкостей и дает экспериментальную оценку этой матрицы с размерностью 7×19 для экономики Республики Беларусь. Это означает, что капитальные блага производят 7 отраслей, а в ТЗВ для отражения этого в балансе содержится 19 видов экономической деятельности (ВЭД). Разные авторы, в том числе и (Пархименко, 2023), ссылаются на решение проблемы синтеза матрицы B в (Леонтьев, Ченери, Кларк, 1958) еще в начале 1950-х годов. Да, в (Леонтьев, Ченери, Кларк, 1958) представлены методические основы расчета коэффициентов капитального оборудования для телефонных станций США, и эти коэффициенты вычислены. В Приложении (Леонтьев, Ченери, Кларк, 1958) приведена несимметричная таблица капитальных коэффициентов для экономики США. Симметричной B не было и нет нигде. А если бы она и была, то подобными разработками нельзя будет воспользоваться для оцифровки (1), так как в (1) не может быть матрицы с безразмерными коэффициентами, элементы B должны иметь размерность времени. В противном случае простая (буквально «школьная») проверка модели (1) по размерности терпит неудачу.

Приступая к оцифровке модели (1), отметим, что данная модель после публикации перекочевала в разряд чисто теоретических конструкций (Суворов, Трещина, Белецкий, 2017) по причине невозможности представить оцифровку. В наших работах, в том числе и в данной статье, (1) однозначно извлекается из указанного семейства, достойно размещаясь во множестве вычислимых, практически полезных и востребованных моделей.

Основное уравнение статического МОБ Леонтьева с использованием введенных обозначений имеет вид

$X={\left(E-A\right)}^{-1}Y=TIC Y$, (2)

где матрица TIC может быть как вычислена из данных симметричной ТЗВ на основе (2), так и взята в готовом виде из набора базовых ТЗВ. Мы делали и то, и другое, но по возможности вычисляли матрицу TIC, так как прочие данные берутся именно из симметричной ТЗВ. Справедливости ради укажем, что относительная ошибка расчета TIC (из-за того что содержит сайт Росстата) доходит для некоторых элементов максимум до 8%, если матрица A предварительно вычислена следующим образом:

$A=MIC\mathrm{diag}\left(X^{-1}\right)$, (3)

где diag(X^-1) — диагональная матрица с элементами {1/x_i}, i = 1, ... n на диагонали. Будем считать точность вычисления TIC в нашем рассмотрении приемлемой.

Чтобы от TIC перейти к МТС, т. е. к финансовым потокам, надо TIC справа умножить на диагональную матрицу, которая в качестве элементов диагонали содержит «Конечное использование» (столбец № 110 в ТЗВ Росстата) по ВЭД (столбец 110) симметричной ТЗВ:

$MTC=TIC\mathrm{diag}\left(Y\right)$. (4)

Дальше вектор Y из (4) в расчетах не участвует, а используется вектор VC, который равен Y минус столбец 108 («Итого накопление»). Это «Итого накопление» в модели (1) представлено акселератором — первое слагаемое правой части. Ясно, что суммирование элементов строк МТС дает вектор валового производства X в миллионах рублей — тот же, что содержат симметричные ТЗВ.

Известно также, что полные затраты (валовое производство) представляют собой сумму промежуточных (прямых производственных) и инвестиционных затрат, а также той части товаров и услуг, которая передается для непроизводственного потребления. Такие суммы справедливы как для векторов, так и для соответствующих им матриц. Так, для векторов (индекс t опустим здесь и далее)

$X=ICV+IV+VC$, (5)

а для соответствующих этим векторам матриц:

$MTC=MIC+IM+MC$, (6)

где сумма элементов строки с номером i каждой матрицы равна элементу соответствующего вектора с тем же номером. И если все векторы определены, то матриц IM и MC статистика не предоставляет. Мы знаем только то что они формируются на основе пропорций, задаваемых векторами IV и VC соответственно. Возникающий произвольный выбор недостающих матриц дает две возможности: 1) считать, что обе формируются на основе пропорций, задаваемых порождающими их векторами, т. е. $IM=\mathrm{diag}\left(IV/X\right)MTC$ и $MC=\mathrm{diag}\left(VC/X\right)MTC$; 2) одна матрица рассчитывается как в п. 1, а вторая вычисляется как остаток из формулы (6), т. е. соответственно $MC=MTC-MIC-IM$, или $IM=MTC-MIC-MC$. Выбрать правильный вариант оцифровки можно на основе комплексного критерия — точности отображения экономической динамики, экономического содержания, экономического смысла численно получаемых величин при непременном выполнении равенства (6). Обсуждение этого вопроса перенесем в следующий раздел статьи, где анализируются расчеты.

В модели (1) переходим от дифференциальных уравнений к разностным путем замены производной отношением конечных разностей $dX/dt\approx \Delta X/\Delta t$ при Δt = 1 году. Это дает возможность записать выражение для расчета матрицы межотраслевых инерционностей (собственных {b_ii} и взаимных {b_ij}) формирования основного и оборотного капитала

$B=IM\mathrm{diag}\left(\Delta t/\Delta X\right)$ (7)

с очевидным выводом о том, что ее элементы имеют размерность времени, выраженную в годах.

Заметим, что статистика дает положительные, нулевые и отрицательные значения для годового накопления суммы основного и оборотного капитала отраслей. Отрицательные формально приведут к появлению отрицательных инерционностей, которым бесполезно искать аналоги в физике. В экономике отрицательные межотраслевые инерционности фиксируют отрицательную динамику суммы основного и оборотного капитала (Широв, 2018) со всеми вытекающими последствиями. Это некоторые постоянные времени, характеризующие качество структурных переходных процессов. В принципе можно обойтись и без подобной экзотики, если в качестве IV взять вектор валового накопления основного капитала (без оборотного, столбец 105 симметричной ТЗВ), а прочие компоненты накопления отнести к конечному спросу. Однако это снизит точность отображения структурной динамики, что проверено расчетами. Подтверждается банальное утверждение: оборотный капитал тоже важен для экономического успеха отраслей (компаний); его надо учитывать в строке (где он и представлен) «Итого накопление». С учетом сказанного и участием формул (3)–(7) модель (1) переписывается следующим образом:

$\begin{array}{c}X=MIC\mathrm{diag}\left(1/X\right)X+IM\mathrm{diag}\left(\Delta t/\Delta X\right)\Delta X/\Delta t+MC\mathrm{diag}\left(1/X\right)X=\\ =AX+B\Delta X/\Delta t+CX, \Delta t=1\end{array}$ (8)

с легко распознаваемым соответствием задействованных матриц.

В заключение общих рассуждений формируется нормальная форма Коши:

$\frac{dX}{dt}\approx \frac{\Delta X}{\Delta t}=GX\left(t\right), G=B^{-1}\left(E-A-C\right), X\left(0\right)=X_0$. (9)

Запись модели по не по строкам, а по столбцам симметричной ТЗВ, как в статике записывают ценовую модель МОБ, позволит получить в качестве B матрицу инерционностей формирования добавленных стоимостей в экономике. Разные матрицы — разные инерционности.

Теперь сделаем еще два существенных замечания.

Матрица B является вырожденной, потому что вектор IV за 2011 и 2016 г. имеет нулевые элементы, вслед за чем матрица IM приобретает нулевые строки. Преодоление вырожденности основано на использовании хорошо зарекомендовавшего себя сингулярного разложения (SVD) со встроенным аппаратом регуляризации задачи, что позволяет получить эффективную псевдообратную матрицу B^# для подстановки в (9) вместо B^-1 (Форсайт, Малькольм, Моулер, 1980).

Второе замечание относится к развалу решения, получаемому в соответствии с (9), и к полной утрате его смысла. Именно поэтому экономисты не смогли практически использовать динамический МОБ в виде (1) или (8), (9). Выход находится на пути калибровки рассматриваемой модели авторским приемом введения в нее матрицы FFC, которую ранее мы называли базовой (Торопцев, Мараховский, 2022a, 2022б). Из ее определения следует, что

$FFC=MTC\mathrm{diag}\left(X^{-1}\right)$. (10)

При очевидном экономическом смысле FFC (мы имеем для анализа формулы (4) и (10)) ее математические свойства уникальны для нашего исследования. Дело в том, что FFC X = X т. е. вектор выпуска X является собственным вектором матрицы FFC, которому соответствует собственное значение λ = 1. Это означает, что в (1) и в (8) вектор X, стоящий слева от знака «равно», можно слева умножить на матрицу FFС, что формально (математически) дела не меняет. Известно, что умножение матрицы на ее вещественный собственный вектор растягивает (IλI > 1) или сжимает (IλI < 1) его. Если собственное число , то умножение матрицы на соответствующий собственный вектор не изменяет этого вектора. При этом данная операция калибрует модель, делая результаты расчетов адекватно интерпретируемыми в отношении исследуемой экономики. При этом FFС появляется на месте E в (9). Все теоретически верно и проверено расчетами.

Наконец, обратим внимание на то что вместо дифференциальных уравнений (1) можно записать систему из дифференциальных и алгебраических уравнений. В нашем случае (ТЗВ за 2011 и 2016 г.) из 98 уравнений дифференциальными являются 78, алгебраических уравнений 20. Для формализации записи модели следует предварительно опустить алгебраическую часть модели вниз, поменяв строки симметричной ТЗВ местами соответствующим образом. При этом для сохранения симметрии таблицы синхронно со строками меняются местами и столбцы. Динамический МОБ запишем в виде:

$BpX+FX=0$, (11)

где $p=\Delta /\Delta t$ — разностный оператор, аналог непрерывного оператора дифференцирования по времени $d/dt$; $F=A+C-FFC=-IM\mathrm{diag}\left(X^{-1}\right)$, где FFC занимает место единичной E. Теперь, в соответствии с авторской методикой (см. (Торопцев, Таточенко, 2011)) положим, что мы имеем дело с системой, содержащей в общем случае m фондообразующих и n нефондообразующих отраслей. Тогда модель должна включать m дифференциальных и n алгебраических уравнений. Их число может меняться во времени. В этом случае выпуск X представляется двумя подвекторами $X={\left(X_1{X}_2\right)}^T, X_1\in R^m, X_2\in R^n$, а в матрицах B и F выделяются блоки:

$B=\left(\begin{array}{cc}{B}_1& B_2\\ 0& 0\end{array}\right); F=\left(\begin{array}{cc}{F}_1& F_2\\ F_3& F_4\end{array}\right)$,

где блоки B₁, B₂, F₁, F₂, F₃, F₄ имеют размерности (m, m), (m, n), (m, m), (m, n), (n, m), (n, n).

Далее модель (11) запишем в виде двух подсистем:

$B_{1}p{X}_1+B_{2}p{X}_2+F_1{X}_1+F_2{X}_2=0$, (12)

$F_3{X}_1+F_4{X}_2=0$. (13)

Теоретически неинтегрируемые переменные X₂ можно исключить и получить форму Коши для m дифференциальных уравнений путем выполнения очевидных преобразований. Для этого из формулы (13) выразим X₂ через X₁, считая блок F₄ неособенной матрицей $X_2=-F_4^{-1}{F}_3{X}_1$, и исключим X₂ из уравнения (12): $\left(B_1-B_2{F}_4^{-1}{F}_3\right)p{X}_1=-\left(F_1-F_2{F}_4^{-1}{F}_3\right)X_1$.

Теперь форма Коши приобретает вид:

$p{X}_1=G_1{X}_1, X_1\left(0\right)=X_{10}, G_1=-{\left(B_1-B_2{F}_4^{-1}{F}_3\right)}^{-1}\left(F_1-F_2{F}_4^{-1}{F}_3\right)X_1$. (14)

Такова формальная сторона получения формы Коши. Реальность — гораздо проще. О том, как реально получается форма Коши, рассказано в следующем разделе.

В заключении раздела сделаем еще одно, поясняющее, замечание об инерционностях. В форме (11) удобно рассмотреть сначала одно однородное уравнение с коэффициентами вместо матриц, все соответствия легко устанавливаются и не требуют пояснений:

$bpx+fx=\mathrm{0,} f=-im/x$. (15)

Характеристическое уравнение для (15) $b\lambda +f=\mathrm{0,} \lambda =-f/b$ позволяет записать решение $x\left(t\right)=x_0{\mathrm{e}}^{-f{b}^{-1}t}$. Если положить t = b, то $x\left(b\right)=x_0{\mathrm{e}}^{-f}=x_0{\mathrm{e}}^{im/x}$. Значение e^im/x по величине близко к 1, т. е. за время t = b инерционность единственной отрасли не позволяет статистически значимо изменить выпуска. Аналогично для модели (11) матрица B определяет такой момент времени, в который получается решение $X\left(t_B\right)={\mathrm{e}}^{IM\mathrm{diag}\left(X^{-1}\right)}{X}_0$. При этом матричная экспонента близка к единичной матрице, т. е. $X\left(t_B\right)\approx X_0$. Следовательно, на начальном участке переходного процесса выпуск не может измениться скачком, или просто статистически значимо из-за наличия инерционностей в экономике.

РАСЧЕТЫ. ОБСУЖДЕНИЯ. ВЫВОДЫ

Расчеты проводились с использованием моделей, представляющих собой: a) систему обыкновенных дифференциальных уравнений (СДУ) (1), (9); б) алгебро-дифференциальную систему (АДС) (11)–(14). На момент написания данной статьи доступны для использования базовые ТЗВ за 2011 и 2016 г. Отметим, что для теоретико-методологической части работы возраст данных значения не имеет. Если массивы MIC в любом расчете безальтернативно заданы в симметричной ТЗВ, а MTC вычисляется по формуле (4), то IM и MC статистика не разрабатывает. Для однозначной оцифровки достаточно было бы иметь любую из них, тогда вторая вычислялась бы из (6) вычитанием из MTC двух известных матриц. Совместное вычисление IM и MC здесь приводить не будем — оно нарушает равенство (6), а в случае получения АДС приводит к развалу решения. Также к неминуемому развалу решения приводит игнорирование калибрующей модель матрицы FFC.

И еще одно замечание состоит в том, что разностную аппроксимацию производной выпуска по времени в базовом расчете мы учитывали весьма приближенно: для всех наших моделей первоначально полагая Δt = 1, а $\Delta X=\left(X_{2016}-X_{2011}\right)/5$, т. е. одинаковое значение для любого года пятилетнего периода.

Начальную оценку вариантов расчетов проведем на основе данных табл. 1, в которой представлены первые 10 (в порядке убывания по величине) собственных значений матриц состояния G для СДУ или G₁ — для АДС. Этого достаточно для предварительного анализа. Название столбцов как IM означает расчет этой матрицы на основе пропорций, задаваемых вектором IV; соответственно, столбцы MC содержат вариант оцифровки с расчетом MC в соответствии с пропорциями, задаваемыми вектором VC.

 

Таблица 1. Собственные значения матрицы G (G₁ для АДС)

Система дифференциальных уравнений				Алгебро-дифференциальная система
2011 г.		2016 г.		2011 г.		2016 г.
IM	MC	IM	MC	IM	MC	IM	MC
1	2	3	4	5	6	7	8
0,643	0,644	0,153	0,153	0,644	0,642	0,153	0,287+i0,177
0,333	0,37	0,13	0,13	0,333	0,333+i7,525e–03	0,125	0,287+i0,177
0,252	0,333	0,125	0,125	0,298	0,333–i7,525e–03	0,12	0,193
0,245	0,298	0,12	0,12	0,245	0,245	0,11	0,19+i1,831e–05
0,241	0,247	0,111	0,11	0,241	0,24	0,109	0,19–i1,831e–05
0, 231	0,245	0,11	0,109	0,231	0,229	0,107	0,187
0, 218	0,241	0,109	0,107	0,221	0,222	0,105	0,184
0, 207	0,231	0,107	0,107	0,221	0,218	0,105	0,182
0, 201	0,221	0,105	0,105	0,218	0,21+i0,14e–01	0,104	0,182
0, 196	0,22	0,105	0,104	0,201	0,21–i0,14e–01	0,1	0,179

 

Не все вещественные собственные значения матриц состояния экономики образца 2011 и 2016 г. положительны, что означает предстоящее сокращение производства в соответствующих ВЭД.

Уменьшение степеней роста отраслей на интервале 2011–2016 гг. (см. табл. 1) чрезмерно и требует корректировок производных и начальных значений, что даст более точную G для каждого года рассматриваемого интервала. С такими корректировками экономическая динамика уверенно прогнозируется со средней ошибкой менее 5%. Так получаются номинальные значения выпусков. Учет дефляторов даст их сопоставимые, или реальные, значения. Но даже с указанными корректировками/калибровками структурная готовность к росту в 2016 г. снизилась по сравнению с 2011 г. При этом результаты в столбцах 6 и 8 подлежат выбраковке. Так как для этих вариантов не выполняется равенства нулю нижних строк матрицы IM при формировании АДС, мы наблюдаем бифуркационные явления образования комплексно-сопряженных пар корней из двух вещественных. Остальные варианты оцифровки, в том числе и не представленные в табл. 1, дают близкие результаты оценки структурных свойств экономики.

Вопрос о целесообразности формирования АДС вместо использования СДУ решается самим исследователем (можно формировать, а можно и нет) — это не изменяет качества моделирования и оценок эффективности структурной политики, формирующей параметры динамического МОБ. При этом модель в виде АДС более чувствительна к варианту оцифровки модели, что можно установить как на основе анализа данных табл. 1, так и вычислением чувствительностей собственных значений матрицы состояния к вариации любых параметров модели (Торопцев, Кандохова, Гудиева, 2023). Для обеспечения адекватности анализа и страховки от неверных выводов было бы естественно основываться на близких результатах расчетов, полученных при разных вариантах оцифровки. Такие результаты содержат столбцы 1–5 и 7 табл. 1.

Во всех случаях модели в виде СДУ мы получали матрицы состояния с большим диагональным доминированием, когда внедиагональные элементы, судя по их величинам, можно отнести к погрешностям (к шумовым эффектам) такого моделирования. Никакие варианты оцифровки СДУ качественно картины не меняют — важно, чтобы выполнялось равенство (6). Представление о диагональном доминировании дает табл. 2, где приведен фрагмент (левый верхний угол размером 5×5) матрицы G для одного из вариантов расчетов. При этом матрицы G₁ для АДС строго диагональны, относительные отклонения их диагональных элементов от таковых же в G не превышают 4,7%. А на диагонали диагональной матрицы, как известно, стоят ее собственные значения.

 

Таблица 2. Фрагмент матрицы G СДУ, 2016 г.

№ строки / столбца	1	2	3	4	5
1	1,12E−01	−1,62E−05	−2,02E−04	−1,76E−05	−1,51E−06
2	−1,71E−05	1,08E−01	2,89E−07	−1,23E−05	−6,89E−07
3	−1,84E−04	2,50E−07	1,25E−01	7,00E−07	−1,75E−07
4	−4,19E−05	−2,77E−05	1,83E−06	4,78E−02	−4,81E−06
5	−2,40E−06	−1,06E−06	−3,55E−07	−3,21E−06	7,21E−02

 

Подтвердить вычислительный эксперимент можно следующим образом. Считая, что численно $\Delta X/\Delta t=\Delta X$ при Δt = 1 год формулу (11) представим в виде

$B\Delta X+FX=B\Delta X+\left(A+C-FFC\right)X$. (16)

Отсюда следует, что $F=A+C-FFC=\left(MIC+MC-MTC\right)\mathrm{diag}\left(X^{-1}\right)=-IM\mathrm{diag}\left(X^{-1}\right)$, т. е.

$B\Delta X=-FX=IM\mathrm{diag}\left(X^{-1}\right)X$. (17)

Тогда из (17) с учетом (7) и нашими допущениями немедленно следует, что

$IM\mathrm{diag}\left(\Delta X^{-1}\right)\Delta X=IM\mathrm{diag}\left(X^{-1}\right)X$, (18)

откуда окончательно имеем нормальную форму Коши

$\frac{dX}{dt}\approx \frac{\Delta X}{\Delta t}=\Delta X=\mathrm{diag}\left(\Delta X/X\right)X=GX, X\left(0\right)=X_0$. (19)

Формула (19) поясняет возникновение степей роста (или спада). Если не корректировать ΔX и X₀, то при X₂₀₁₁ мы будем иметь заведомо бо́льшие степени роста, чем для X₂₀₁₆, а интегрирование модели приведет к завышенным оценкам валового производства в 2016 г. Хотя на интервале 2011– 2016 гг. оно намного завышено не будет. Формирование АДС в соответствии с формулами (12)–(14) сохраняет справедливость (18) и (19), но преподносит особенности, связанные с перенумерацией переменных в X и перестановкой строк в иных формирующих модель массивах. В результате такой подготовки данных вектор IV имеет внизу 20 нулевых элементов, что при вычислении на его основе матрицы IM порождает 20 нулевых строк из числа последних. Соответственно, в этом случае мы будем иметь нулевыми матрицы F₃ и F₄ в (13), а вычисление матрицы состояния упростится до выражения $G_1=-B_1^{-1}{F}_1$. Расчет по последней формуле полностью совпадает с тем, что получается по (19).

Установленная диагональность G позволяет несколько изменить задачу и процесс оцифровки модели. Так, если валовое производство в отраслях меняется год от года по экспоненциальному закону, этот факт позволяет сгенерировать диагональную матрицу G c диагональными элементами для интервала (t, q) в годах:

${\lambda }_i=\ln \left(x_{i,t}/x_{i,q}\right)/\left(t-q\right), i=\mathrm{1,} ..., n$ (20)

либо построить G в соответствии с (19).

На диагонали диагональной матрицы располагаются ее собственные значения, а задача прогнозирования валового производства по динамическому МОБ упрощается до вычисления матричной экспоненты

$X\left(t\right)={\mathrm{e}}^{Gt}{X}_0$, (21)

когда e^Gt — тоже диагональная матрица. Если перед оцифровкой по формуле (19) или (20) определить диагональную G, то прогнозирование выпуска возможно сразу на основе (21), а вот анализ и синтез собственных (т. е. внутренних, структурных) динамических свойств (СДС) экономики предполагает вычисление матрицы межотраслевых инерционностей

$B=\left(FFC-A-C\right)G^{-1}$, (22)

а также определение остальных обсуждаемых в данной статье массивов. Отметим, что расчеты по формулам (7) и (22) в разных вариантах оцифровки (1) совпадают полностью, без отклонений. Таким образом, формула (22) устанавливает взаимно однозначные соответствия между технологическими степенями роста валового производства и всей совокупностью параметров модели. Это дает основания ставить и решать многочисленные задачи одно- или многокритериальной оптимизации. Например, можно установить при каких инерционностях будет достигнут требуемый прирост , как при этом будут изменяться остальные параметры модели и т. д. Если же в каких-либо выпусках надо будет отобразить околотрендовые колебания, это делается путем включения в спектр G комплексно-сопряженных пар ${\lambda }_{j,j+1}={\alpha }_j\pm i{\omega }_j, i=\sqrt{-1}$. В матрице G на диагонали появляются жордановы клетки второго порядка вида

$g_j=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_j& -{\omega }_j\\ {\omega }_j& {\alpha }_j\end{array}\right)$. (23)

Запись (23) позволяет при вычислениях избежать работы с комплексной арифметикой.

Если же делается прогноз, но нет возможности получить диагональных элементов G по (20) или клеток вида (23), опираясь на уже известную статистику (2011–2016 гг. — в нашем случае), то необходимы обоснованные предположения о будущих скоростях изменения выпусков. Можно попытаться построить G по данным только что завершившегося периода (например, года). Обладание матрицей состояния позволит интегрировать переходный процесс вычислением матричной экспоненты, например на 1–2 года вперед, а затем принять новые приросты выпуска и изменить начальные условия. Можно обратить внимание на ранее изложенные методы анализа структурных переходных процессов в (Торопцев, Мараховский, Дужински, 2020). Результат прогноза валового производства 2016 г. по данным базовых ТЗВ за 2011 г. представлен на рисунке.

 

Рисунок. Валовое производство в разрезе ВЭД в 2016 г.

 

Как и в табл. 1, показаны 10 ВЭД для качественной (визуальной) оценки успеха прогнозирования. Набор представленных ВЭД случаен, например, под № 8 разместились данные, которые не отображаются в масштабе диаграммы. Это ВЭД «Руды урановые и ториевые», где выпуск 2016 г. составил 4424 млн руб., а прогноз — 4230 млн руб. (относительная ошибка — 4,4%, максимальная же относительная ошибка прогноза составила 8%). Рисунок и таблицы позволяют заметить, что динамический МОБ в виде дифференциальных уравнений, как минимум на «хорошо», позволяет прогнозировать динамику валового производства. Предусмотренные в алгоритме вышеуказанные уточнения данных на рассматриваемом интервале приведут к оценкам, представленным на рисунке. В зависимости от содержательной постановки задачи прогнозировать выпуск можно в текущих и сопоставимых ценах. При этом отрицательные степени роста свидетельствуют о снижении выпуска. Так, ВЭД «Руды железные» имел в 2011 г. степень роста , что привело к 2016 г. к снижению объема производства с 368 624 до 274 663 млн руб.

Динамический МОБ и вычислимые показатели СДС экономики как системы (Торопцев, Мараховский, Дужински, 2019) предназначены для разработки и анализа эффективности структурной политики. Они, как минимум, дают формализованный инструментарий для исследования технологий, применяемых в экономике, влияния инвестиций в основном и оборотном капиталах на экономический рост. Еще раз подчеркнем: модель (1) и авторская теория СДС предназначены для оценивания и управления только технологическими структурными сдвигами (Ивантер, 2018). Рассмотренные модели и показатели СДС в терминах наблюдаемости, возбуждаемости, управляемости, чувствительности к параметрам модели позволяют, во-первых, однозначно измерить результаты структурных реформ в экономике, а во-вторых, оцифрованный динамический МОБ дает возможность рассматривать варианты структурной политики, различные сценарии развития страны. Успех моделирования и прогнозирования прямо связан с качеством аппроксимации производной в модели (1). Аналитически и экспериментально подтвержденная диагональность матрицы состояния G₁ для АДС (12), (13) и диагональное доминирование в G для СДУ позволяют использовать формулы (20), (23) для построения G или G₁ с последующим вычислением инерционностей B. Это не требует аппроксимации производной, сразу делая доступным анализ СДС.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Базовые ТЗВ Росстата предоставляют достаточно информации для помещения динамической модели МОБ в семейство оцифрованных, вычислимых, т. е. практически востребованных моделей. Это открывает широкий простор для развития количественных методов разработки и оценки результатов структурных реформ в рамках методологии «затраты–выпуск» в терминах межотраслевых инерционностей и перечисленных показателей СДС, т. е. с эффективным использованием всех преимуществ анализа и синтеза структурной динамики экономики, предоставляемых аппаратом дифференциальных уравнений. И если в данной статье матрица B содержит инерционности образования накоплений в экономике, то при включении под знак производной всего конечного спроса, а не только его инвестиционной составляющей, будет получена другая матрица B — она будет представлять внутри- и межотраслевые инерционности динамики конечного спроса. Если же записать уравнения по столбцам симметричной ТЗВ, как это делают для ценовой модели МОБ, то B даст для анализа инерционностей формирования добавленной стоимости в разрезе ВЭД. Модель в виде СДУ/АДС может использоваться сама по себе или включаться в сложные информационно-вычислительные системы, разрабатываемые ЦЭМИ РАН, ИНП РАН, ИЭОПП СО РАН и другими структурами.

Об авторах

Е. Л. Торопцев

Северо-Кавказский федеральный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: eltoroptsev@yandex.ru
Россия, Ставрополь

М. М. Кандохова

Кабардино-Балкарский государственный университет

Email: mrkand@mail.ru
Россия, Нальчик

Н. Г. Гудиева

Северо-Кавказский центр математических исследований

Email: gudieva82@bk.ru
Россия, Ставрополь

Список литературы