АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВЫЕ РЕШЕНИЯ С ПОГРАНИЧНЫМИ И ВНУТРЕННИМИ СЛОЯМИ В ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩ¨ЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОВОЙ ДИФФУЗИЕЙ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Предложен новый подход к исследованию прямых и обратных задач для сингулярно возмущённого уравнения теплопроводности с нелинейно зависящей от температуры тепловой диффузией, основанный на развитии и использовании методов асимптотического анализа в нелинейных сингулярно возмущённых задачах реакция–диффузия–адвекция. Суть подхода рассмотрена на примере класса одномерных стационарных задач с нелинейными граничными условиями, для которого выделен случай применимости асимптотического анализа. Сформулированы достаточные условия существования классических решений погранслойного типа и типа контрастных структур, построены асимптотические приближения произвольного порядка точности таких решений, обоснованы алгоритмы построения формальных асимптотик и исследована асимптотическая устойчивость по Ляпунову стационарных решений с пограничными и внутренними слоями как решений соответствующих параболических задач. Рассмотрен класс нелинейных задач, учитывающих боковой теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Доказана теорема существования и единственности классического решения с пограничными слоями в задачах такого типа. В качестве приложений исследования представлены методы решения конкретных прямой и обратной задач нелинейного теплообмена, связанных с повышением эффективности эксплуатации прямолинейных нагревательных элементов в плавильных печах — теплообменниках: расчёт тепловых полей в нагревательных элементах и метод восстановления коэффициентов тепловой диффузии и теплообмена по данным моделирования. Ключевые слова: уравнение теплопроводности с нелинейной тепловой диффузией, задача нелинейной теплопроводности, задача нелинейного теплообмена, сингулярно возмущённая задача, решение с пограничными и внутренними переходными слоями, тепловая структура, асимптотический метод, коэффициентная обратная задача теплообмена.

Об авторах

М. А. Давыдова

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Email: m.davydova@physics.msu.ru

Г. Д. Рублев

Институт физики атмосферы имени А.М. Обухова РАН

Email: rublev.gd15@physics.msu.ru
Москва

Список литературы

  1. Галактионов, В.А. Процессы в открытых диссипативных системах / В.А. Галактионов, С.П. Курдюмов, А.А. Самарский. — М. : Знание, 1988. — 599 с.
  2. Маслов, В.П. Математическое моделирование процессов теплои массопереноса. Эволюция диссипативных структур / В.П. Маслов, В.Г. Данилов, К.Л. Волосов. — М. : Наука, 1987. — 351 с.
  3. Самарский, А.А. Вычислительная теплопередача / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. — M. : Едиториал УРСС, 2003. — 784 с.
  4. Карташов, Э.М. Аналитические методы теории теплопроводности и её приложений / Э.М. Карташов, В.А. Кудинов. — 4-е изд., перераб. и сущ. доп. — М. : Ленанд, 2018. — 1078 с.
  5. Davydova, M.A. Multidimensional thermal structures in the singularly perturbed stationary models of heat and mass transfer with a nonlinear thermal diffusion coefficient / M.A. Davydova, S.A. Zakharova // J. Comput. Appl. Math. — 2022. — V. 400. — Art. 113731.
  6. Применение численно-асимптотического подхода в задаче восстановления параметров локального стационарного источника антропогенного загрязнения / Давыдова М.А., Н.Ф. Еланский, С.А. Захарова, О.В. Постыляков // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. — 2021. — Т. 496, № 1. — С. 34–39.
  7. Тепломассоперенос в теплозащитных композиционных материалах в условиях высокотемпературного нагружения / В.Ф. Формалев, С.А. Колесник, Е.Л. Кузнецова, Л.Н. Рабинский // Теплофизика высоких температур. — 2016. — Т. 54, № 3. — С. 415–422.
  8. Колмогоров, А.Н. Исследование уравнения диффузии, соединённой с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме / А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Н.С. Пискунов // Бюлл. МГУ. Сер. А. Математика и механика. — 1937. — Т. 1, № 6. — С. 1–26.
  9. Crank, J. The Mathematics of Diffusion / J. Crank. — London : Oxford Univ. Press, 1956. — 347 p.
  10. Галактионов, В.А. Методы построения приближённых автомодельных решений нелинейных уравнений теплопроводности. IV / В.А. Галактионов, А.А. Самарский // Мат. сб. — 1983. — Т. 121, № 2. — С. 131–155.
  11. Cole, J.D. Perturbation Methods in Applied Mathematics / J.D. Cole. — New York : Springer-Verlag, 1981. — 558 p.
  12. Архитектура многомерных тепловых структур / С.П. Курдюмов, Е.С. Куркина, А.Б. Потапов, А.А. Самарский // Докл. АН СССР. — 1984. — Т. 274, № 5. — С. 1071–1074.
  13. Васильева, А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых уравнений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. М. : Наука, 1973. — 272 с.
  14. Васильева, А.Б. О контрастной структуре типа ступеньки для одного класса нелинейных сингулярно возмущённых уравнений второго порядка / А.Б. Васильева, М.А. Давыдова // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 1998. — Т. 38, № 6. — С. 938–947.
  15. Нефедов, Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущённых задач в частных производных / Н.Н. Нефедов // Дифференц. уравнения. – 1995. — Т. 31, № 4. — С. 718–722.
  16. Inkmann, F. Existence and multiplicity theorems for semilinear elliptic equations with nonlinear boundary conditions / F. Inkmann // Indiana Univ. Math. J. — 1982. — V. 31, № 2. — P. 213–221.
  17. Wang, J. Monotone method for diffusion equations with nonlinear diffusion coefficients / J. Wang // Nonlinear Analysis. — 1998. — V. 34. — P. 113–142.
  18. Lukyanenko, D.V. Asymptotic analysis of solving an inverse boundary value problem for a nonlinear singularly perturbed time-periodic reaction–diffusion–advection equation / D.V. Lukyanenko, M.A. Shishlenin, V.T. Volkov // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2019. — V. 27, № 5. — P. 745–758.
  19. Применение асимптотического анализа для решения обратной задачи определения коэффициента линейного роста в уравнении типа Бюргерса / Д.В. Лукьяненко, В.Т. Волков, Н.Н. Нефедов, А.Г. Ягола // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика, астрономия. — 2019. — № 2. — С. 38–41.
  20. Numerical Methods for the Solution of Ill-Posed Problems / A.N. Tikhonov, A.V. Goncharsky, V.V. Stepanov, A.G. Yagola. — Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1995. — 253 p.
  21. Давыдова, М.А. О новом подходе к задаче восстановления вертикального коэффициента турбулентной диффузии в пограничном слое атмосферы / М.А. Давыдова, Н.Ф. Еланский, С.А. Захарова // Докл. РАН. — 2020. — Т. 490, № 2. — С. 51–56.
  22. Zakharova, S.A. Use of asymptotic analysis for solving the inverse problem of source parameters determination of nitrogen oxide emission in the atmosphere / S.A. Zakharova, M.A. Davydova, D.V. Lukyanenko // Inverse Probl. Sci. Eng. — 2021. — V. 29, № 3. — P. 365–377.
  23. Давыдова, М.А. Существование и устойчивость решений с пограничными слоями в многомерных сингулярно возмущенных задачах реакция–диффузия–адвекция / М.А. Давыдова // Мат. заметки. — 2015. — Т. 98, № 6. — С. 853–864.
  24. Nefedov, N.N. On the existence and asymptotic stability of periodic contrast structures in quasilinear reaction–advection–diffusion equations / N.N. Nefedov, E.I. Nikulin, L. Recke // Russ. J. Math. Phys. — 2019. — V. 26, № 1. — P. 55–69.
  25. Курбатов, Ю.Л. Металлургические печи : учеб. пособие / Ю.Л. Курбатов, А.Б. Бирюков, Ю.Е. Рубан. М. ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. — 384 с.
  26. Карбид кремния (Карборунд, SiC) [Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://si-c.ru/informat/infosic.html. — Дата доступа: 20.11.2023.
  27. Литовский, Е.Я. Термофизические свойства огнеупоров / Е.Я. Литовский, Н.А. Пучкелевич. — М. : Металлургия, 1982. — 152 с.
  28. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. — М. : Наука, 1978. — 512 с.
  29. scipy.integrate.solve_ivp [Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.solve_ivp.html. — Дата доступа: 21.11.2023.
  30. Optimization (scipy.optimize) [Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://docs.scipy.org/doc/scipy/tutorial/optimize.html#nelder-mead-simplex-algorithm-method-nelder-mead. — Дата доступа: 21.11.2023.
  31. Galaktionov, V.A., Kurdyumov, S.P., and Samarsky, A.A., Protsessy v otkrytykh dissipativnykh sistemakh (Processes in open dissipative systems), Moscow: Znanie, 1988.
  32. Maslov, V.P., Danilov, V.G., and Volosov, K.L., Matematicheskoye modelirovaniye protsessov teploi massoperenosa. Evolyutsiya dissipativnykh struktur (Mathematical modeling of heat and mass transfer processes. Evolution of dissipative structures), Moscow: Nauka, 1987.
  33. Samarsky, A.A. and Vabishchevich, P.N., Vychislitel’naya teploperedacha (Computational Thermoransfer). Moscow: Editorial URSS, 2003.
  34. Kartashov, E.M. and Kudinov, V.A., Analiticheskiye metody teorii teploprovodnosti i yeye prilozheniy (Analytical methods of the theory of thermotransfer and its applications), Moscow: Lenand, 2018.
  35. Davydova, M.A. and Zakharova, S.A., Multidimensional thermal structures in the singularly perturbed stationary models of heat and mass transfer with a nonlinear thermal diffusion coefficient, J. Comput. Appl. Math., 2022, vol. 400, art. 113731.
  36. Davydova, M.A., Elansky, N.F., Zakharova, S.A., and Postylyakov, O.V., Application of a numerical-asymptotic approach to the problem of restoring the parameters of a local stationary source of anthropogenic pollution, Doklady Mathematics, 2021, vol. 103, no. 1, pp. 26–31.
  37. Formalev, V.F., Kolesnik, S.A., Kuznetsova, E.L., and Rabinskii, L.N., Heat and mass transfer in thermal protection composite materials upon high temperature loading, High Temp., 2016, vol. 54, no. 3, pp. 390–396.
  38. Kolmogorov, A.N., Petrovsky, I.G., and Piskunov, N.S., The research of the equation of diffusion coupled with the increase of matter, and its application to a biological problem, Bulletin of Moscow State University. Ser. A. Mathematics and Mechanics, 1937, vol. 1, no. 6, pp. 1–26.
  39. Crank, J., The Mathematics of Diffusion, London: Oxford Univ. Press, 1956.
  40. Galaktionov, V.A. and Samarskii, A.A. Methods of constructing approximate self-similar solutions of nonlinear heat equations. IV, Math. USSR-Sb., 1984, vol. 49, no. 1, pp. 125–149.
  41. Cole, J.D., Perturbation Methods in Applied Mathematics, New York: Springer-Verlag, 1981.
  42. Kurdyumov, S.P., Kurkina, E.S., Potapov, A.B., and Samarskiy, A.A., The architecture of the multidimensional thermal structures, Dokl. AN USSR, 1984, vol. 274, no. 5, pp. 1071–1075.
  43. Vasilyeva, A.B. and Butuzov, V.F., Asimptoticheskiye razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy (Asymptotic expansions of solutions to singularly perturbed equations), Moscow: Nauka, 1973.
  44. Vasil’eva, A.B. and Davydova, M.A., On a contrast steplike structure for a class of second-order nonlinear singularly perturbed equations, Comput. Math. Math. Phys., 1998, vol. 38, no. 6, pp. 900–910.
  45. Nefedov, N.N., The method of differential inequalities for some singularly perturbed partial differential equations, Different. Equations, 1995, vol. 31, no. 4, pp. 668–671.
  46. Inkmann, F., Existence and multiplicity theorems for semilinear elliptic equations with nonlinear boundary conditions, Indiana Univ. Math. J., 1982, vol. 31, no. 2, pp. 213–221.
  47. Wang, J., Monotone method for diffusion equations with nonlinear diffusion coefcients, Nonlinear Analysis, 1998, vol. 34, pp. 113–142.
  48. Lukyanenko, D.V., Shishlenin, M.A., and Volkov, V.T., Asymptotic analysis of solving an inverse boundary value problem for a nonlinear singularly perturbed time-periodic reaction–diffusion–advection equation, J. of Inverse and Ill-Posed Problems, 2019, vol. 27, no. 5, pp. 745–758.
  49. Lukyanenko, D.V., Volkov, V.T., Nefedov, N.N., and Yagola, A.G. Application of asymptotic analysis for solving the inverse problem of determining the coefcient of linear amplifcation in burgers’ equation, Moscow University Physics Bulletin, 2019, vol. 74, no. 2, pp. 131–136.
  50. Tikhonov, A.N., Goncharsky, A.V., Stepanov, V.V., and Yagola, A.G., Numerical Methods for the Solution of Ill-Posed Problems, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995.
  51. Davydova, M.A., Elanskii, N.F., and Zakharova, S.A., A new approach to the problem of reconstructing the vertical turbulent diffusion coefcient in the atmospheric boundary layer, Doklady Earth Sci., 2020, vol. 490, no. 2, pp. 92–96.
  52. Zakharova, S.A., Davydova, M.A., and Lukyanenko, D.V., Use of asymptotic analysis for solving the inverse problem of source parameters determination of nitrogen oxide emission in the atmosphere, Inverse Probl. Sci. Eng., 2021, vol. 29, no. 3, pp. 365–377.
  53. Davydova, M.A., Existence and stability of solutions with boundary layers in multidimensional singularly perturbed reaction–diffusion–advection problem, Math. Notes, 2015, vol. 98, pp. 909–919.
  54. Nefedov, N.N., Nikulin, E.I., and Recke, L., On the existence and asymptotic stability of periodic contrast structures in quasilinear reaction–advection–diffusion equations, Russ. J. Math. Phys., 2019, vol. 26. no. 1, pp. 55–69.
  55. Kurbatov, Yu.L., Biryukov, A.B., and Ruban, Yu.E., Metallurgicheskiye pechi (Metallurgical furnaces), Moscow; Vologda: Infra-Engineering, 2022.
  56. [Electronic resource] Silicon carbide (Carborundum, SiC). URL: https://si-c.ru/informat/infosic.html (date of the application: 20.11.2023).
  57. Litovsky, E.Ya. and Puchkelevich, N.A., Termofzicheskiye svoystva ogneuporov (Thermophysical properties of refractories), Moscow: Metallurgia, 1982.
  58. Kalitkin, N.N., Chislennyye metody (Numerical methods), Moscow: Nauka, 1978. 29. [Electronic resource] URL: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.solve ivp.html (date of the application: 21.11.2023).
  59. [Electronic resource] URL: https://docs.scipy.org/doc/scipy/tutorial/optimize.html#nelder-mead-simplex-algorithm-method-nelder-mead (date of the application: 21.11.2023).

© Российская академия наук, 2024

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах