ИНВАРИАНТЫ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ, ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ C ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
- Авторы: Шамолин М.В1
-
Учреждения:
- Институт механики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова
- Выпуск: Том 60, № 3 (2024)
- Страницы: 322-345
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/0374-0641/article/view/257613
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064124030041
- EDN: https://elibrary.ru/PNLTLT
- ID: 257613
Цитировать
Аннотация
Предъявлены тензорные инварианты (первые интегралы и дифференциальные формы) однородных динамических систем на касательных расслоениях к гладким трёхмерным многообразиям (систем с тремя степенями свободы). Показана связь таких инвариантов и полного набора первых интегралов, необходимых для интегрирования геодезических, потенциальных и диссипативных систем. Введены силовые поля, которые делают рассматриваемые системы диссипативными с диссипацией разного знака и обобщают ранее рассмотренные.
Ключевые слова
Об авторах
М. В Шамолин
Институт механики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова
Email: shamolin.maxim@yandex.ru
Список литературы
- Козлов, В.В. Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений / В.В. Козлов // Успехи мат. наук. — 2019. — Т. 74, № 1 (445). — С. 117–148.
- Колмогоров, А.Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе / А.Н. Колмогоров // Докл. АН СССР. — 1953. — Т. 93, № 5. — С. 763–766.
- Poincar´e, H. Calcul des probabilit´es / H. Poincar´e. — Paris : Gauthier–Villars, 1912. — 352 р.
- Бурбаки, Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер / Н. Бурбаки ; пер. с фр. Е.И. Стечкиной ; ред. С.Б. Стечкин. — М. : Наука, 1967. — 396 с.
- Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат ; в 2-х ч. — М. : Наука, 1987.
- Шамолин, М.В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях / М.В. Шамолин // Успехи мат. наук. — 1998. — Т. 53, № 3. — С. 209–210.
- Георгиевский, Д.В. Первые интегралы уравнений движения обобщённого гироскопа в R / Д.В. Георгиевский, М.В. Шамолин // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. — 2003. — № 5. — С. 37–41.
- Трофимов, В.В. Геометрические и динамические инварианты интегрируемых гамильтоновых и диссипативных систем / В.В. Трофимов, М.В. Шамолин // Фунд. и прикл. математика. — 2010. — Т. 16, № 4. — С. 3–229.
- Шамолин, М.В. Интегрируемость по Якоби в задаче о движении четырёхмерного твердого тела в сопротивляющейся среде / М.В. Шамолин // Докл. РАН. — 2000. — Т. 375, № 3. — С. 343–346.
- Шамолин, М.В. Новые случаи полной интегрируемости в динамике динамически симметричного четырёхмерного твердого тела в неконсервативном поле / М.В. Шамолин // Докл. РАН. — 2009. — Т. 425, № 3. — С. 338–342.
- Шамолин, М.В. Случай полной интегрируемости в динамике четырёхмерного твердого тела в неконсервативном поле / М.В. Шамолин // Успехи мат. наук. — 2010. — Т. 65, № 1. — С. 189–190.
- Шамолин, М.В. Новый случай интегрируемости в динамике четырёхмерного твердого тела в неконсервативном поле / М.В. Шамолин // Докл. РАН. — 2011. — Т. 437, № 2. — С. 190–193.
- Шамолин, М.В. Новый случай интегрируемости в динамике четырёхмерного твердого тела в неконсервативном поле при наличии линейного демпфирования / М.В. Шамолин // Докл. РАН. — 2012. — Т. 444, № 5. — С. 506–509.
- Иванова, Т.А. Об уравнениях Эйлера в моделях теоретической физики / Т.А. Иванова // Мат. заметки. — 1992. — Т. 52, № 2. — С. 43–51.
- Самсонов, В.А. К задаче о движении тела в сопротивляющейся среде / В.А. Самсонов, М.В. Шамолин // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. — 1989. — № 3. — С. 51–54.
- Шамолин, М.В. Об одном интегрируемом случае уравнений динамики на so(4) R / М.В. Шамолин // Успехи мат. наук. — 2005. — Т. 60, № 6. — С. 233–234.
- Шамолин, М.В. Полный список первых интегралов в задаче о движении четырёхмерного твердого тела в неконсервативном поле при наличии линейного демпфирования / М.В. Шамолин // Докл. РАН. — 2011. — Т. 440, № 2. — С. 187–190.
- Вейль, Г. Симметрия / Г. Вейль ; пер. с англ. Б.В. Бирюкова и Ю.А. Данилова ; под ред. Б.А. Розенфельда ; 3-е изд. — М. : URSS, 2007. — 192 с.
- Дубровин, Б.А. Современная геометрия. Методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. — М. : Наука, 1979. — 760 с.
- Клейн, Ф. Неевклидова геометрия / Ф. Клейн ; пер. с нем. Н.К. Брушлинского. — М. : Ленанд, 2017. — 351 с.
- Козлов, В.В. Рациональные интегралы квазиоднородных динамических систем / В.В. Козлов // Прикл. математика и механика. — 2015. — Т. 79, № 3. — С. 307–316.
- Трофимов, В.В. Уравнения Эйлера на конечномерных разрешимых группах Ли / В.В. Трофимов // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1980. — Т. 44, № 5. — С. 1191–1199.
- Шамолин, М.В. Новый случай интегрируемости уравнений динамики на касательном расслоении к трёхмерной сфере / М.В. Шамолин // Успехи мат. наук. — 2013. — Т. 68, № 5 (413). — С. 185–186.
- Шамолин, М.В. Полный список первых интегралов динамических уравнений движения четырёхмерного твердого тела в неконсервативном поле при наличии линейного демпфирования / М.В. Шамолин // Докл. РАН. — 2013. — Т. 449, № 4. — С. 416–419.
- Шамолин, М.В. Интегрируемые неконсервативные динамические системы на касательном расслоении к многомерной сфере / М.В. Шамолин // Дифференц. уравнения. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 743–759.
- Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке ; пер. с нем. С.В. Фомина. — 5-е изд., стер. — М. : Наука, 1976. — 576 с.
- Шамолин, М.В. Новые случаи однородных интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении трёхмерного многообразия / М.В. Шамолин // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. — 2020. — Т. 495, № 1. — С. 84–90.
- Шамолин, М.В. Инвариантные формы объёма систем с тремя степенями свободы с переменной диссипацией / М.В. Шамолин // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. — 2022. — Т. 507, № 1. — С. 86–92.
- Трофимов, В.В. Симплектические структуры на группах автоморфизмов симметрических пространств / В.В. Трофимов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. — 1984. — № 6. — С. 31–33.
- Kozlov, V.V., Tensor invariants and integration of differential equations, Russ. Math. Surv., 2019, vol. 74, no. 1, pp. 111–140.
- Kolmogorov, A.N., On dynamical systems with an integral invariant on the torus, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1953, vol. 93, no. 5, pp. 763–766.
- Poincar´e, H., Calcul des probabilit´es, Paris: Gauthier–Villars, 1912.
- Bourbaki, N., El´ements de math´ematique. Premiere partie. Les Structures Fondamentales de L’Analyse. Livre VI. Integration, Paris: Hermann & Cie, 1959.
- Shabat, B.V., Introduction to Complex Analysis, Providence: Amer. Math. Soc., 1992.
- Shamolin, M.V., On integrability in transcendental functions, Russ. Math. Surveys, 1998, vol. 53, no. 3, pp. 637– 638.
- Georgievskii, D.V. and Shamolin, M.V., First integrals of motion equations of a generalized gyroscope in R, Moscow Univ. Math. Bulletin, 2003, vol. 58, no. 5, pp. 25–29.
- Trofimov, V.V. and Shamolin, M.V., Geometric and dynamical invariants of integrable Hamiltonian and dissipative systems, J. Math. Sci., 2012, vol. 180, no. 4, pp. 365–530.
- Shamolin, M.V., Integrability according to Jacobi in the problem of motion of a four-dimensional solid in a resistant medium, Doklady Physics, 2000, vol. 45, no. 11, pp. 632–634.
- Shamolin, M.V., New cases of full integrability in dynamics of a dynamically symmetric four-dimensional solid in a nonconservative field, Doklady Physics, 2009, vol. 54, no. 3, pp. 155–159.
- Shamolin, M.V., A completely integrable case in the dynamics of a four-dimensional rigid body in a nonconservative field, Russ. Math. Surveys, 2010, vol. 65, no. 1, pp. 183–185.
- Shamolin, M.V., A new case of integrability in dynamics of a 4????-Solid in a nonconservative field, Doklady Physics, 2011, vol. 56, no. 3, pp. 186–189.
- Shamolin, M.V., A new case of integrability in the dynamics of a 4D-rigid body in a nonconservative field under the assumption of linear damping, Doklady Physics, 2012, vol. 57, no. 6, pp. 250–253.
- Ivanova, T.A., Euler equations in models of theoretical physics, Math. Notes, 1992, vol. 52, pp. 784–790.
- Samsonov, V.A. and Shamolin, M.V., Body motion in a resisting medium, Moscow Univ. Mech. Bulletin, 1989, vol. 44, no. 3, pp. 16–20.
- Shamolin, M.V., An integrable case of dynamical equations on so(4) × R, Russ. Math. Surveys, 2005, vol. 60, no. 6, pp. 1245–1246.
- Shamolin, M.V., Complete list of first integrals in the problem on the motion of a 4???? solid in a resisting medium under assumption of linear damping, Doklady Physics, 2011, vol. 56, no. 9, pp. 498–501.
- Weyl, H., Symmetry, Princeton: Princeton University Press, 1952.
- Dubrovin, B.A., Novikov, S.P., and Fomenko A.T., Sovremennaya geometriya. Metody i prilozheniya (Modern Geometry. Methods and Applications), Moscow: Nauka, 1979.
- Klein, F., Vorlesungen u¨ber nicht-euklidische Geometrie, Saarbrucken: VDM Verlag Dr. Mu¨ller, 2006.
- Kozlov, V.V., Rational integrals of quasi-homogeneous dynamical systems, J. Appl. Math. Mech., 2015, vol. 79, no. 3, pp. 209–216.
- Trofimov, V.V., Euler equations on finite-dimensional solvable lie groups, Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1981, vol. 17, no. 2, pp. 405–412.
- Shamolin, M.V., New case of integrability of dynamic equations on the tangent bundle of a 3-sphere, Russ. Math. Surveys, 2013, vol. 68, no. 5, pp. 963–965.
- Shamolin, M.V., Complete list of first integrals of dynamic equations of motion of a 4???? rigid body in a nonconservative field under the assumption of linear damping, Doklady Physics, 2013, vol. 58, no. 4, pp. 143–146.
- Shamolin, M.V., Integrable nonconservative dynamical systems on the tangent bundle of the multidimensional sphere, Differ. Equat., 2016, vol. 52, no. 6, pp. 722–738.
- Kamke, E., Gewohnliche Differentialgleichungen, Leipzig: Akademie-Verlag, 1959.
- Shamolin, M.V., New cases of homogeneous integrable systems with dissipation on tangent bundles of threedimensional manifolds, Doklady Mathematics, 2020, vol. 102, no. 3, pp. 518–523.
- Shamolin, M.V., Invariant volume forms of variable dissipation systems with three degrees of freedom, Doklady Mathematics, 2022, vol. 106, no. 3, pp. 479–484.
- Trofimov, V.V., Symplectic structures on groups of automorphisms of symmetric spaces, Moscow Univ. Math. Bulletin, 1984, vol. 39, no. 6, pp. 44–47.
![](/img/style/loading.gif)