ON EXACT GLOBAL CONTROLLABILITY OF A SEMILINEAR EVOLUTIONARY EQUATION
- Authors: Chernov A.V.1
-
Affiliations:
- National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod
- Issue: Vol 60, No 3 (2024)
- Pages: 399-417
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/0374-0641/article/view/257618
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064124030093
- EDN: https://elibrary.ru/PJHBRB
- ID: 257618
Cite item
Abstract
For a Cauchy problem associated with a controlled semilinear evolutionary equation with optionally bounded operator in a Hilbert space we obtain sufficient conditions for exact controllability to a given final state (and also to given intermediate states at intermediate time moments) on a arbitrarily fixed (without additional conditions) time interval. Here we use the Minty–Browder’s theorem and also a chain technology of successive continuation of the solution to a controlled system to intermediate states. As examples we consider a semilinear pseudoparabolic equation and a semilinear wave equation.
About the authors
A. V. Chernov
National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod
Email: chavnn@mail.ru
Russia
References
- Balachandran, K. Controllability of nonlinear systems in Banach spaces: a survey / K. Balachandran, J.P. Dauer // J. Optim. Theory Appl. — 2002. — № 1. — P. 7–28.
- Control Theory of Partial Differential Equations / O. Imanuvilov, G. Leugering, R. Triggiani, Bing-Yu. Zhang. — Boca Raton; London; New York; Singapore : Chapman & Hall/CRC, 2005. — 416 p.
- Чернов, А.В. О точной управляемости полулинейного эволюционного уравнения с неограниченным оператором / А.В. Чернов // Дифференц. уравнения. — 2023. — Т. 59, № 2. — С. 257–269.
- Zhang, X. Exact controllability of semilinear evolution systems and its application / X. Zhang // J. Optim. Theory Appl. — 2000. — V. 107, № 2. — P. 415–432.
- Liu, W. Exact internal controllability for the semilinear heat equation / W. Liu, G.H. Williams // J. Math. Anal. Appl. — 1997. — V. 211. — P. 258–272.
- Balachandran, K. Controllability of nonlinear integrodifferential systems in Banach space / K. Balachandran, J.P. Dauer, P. Balasubramaniam // J. Optim. Theory Appl. — 1995. — V. 84. — P. 83–91.
- Mahmudov, N.I. Exact null controllability of semilinear evolution systems / N.I. Mahmudov // J. Glob. Optim. — 2013. — V. 56, № 2. — P. 317–326.
- Балакришнан, А.В. Прикладной функциональный анализ / А.В. Балакришнан ; пер. с англ. В.И. Благодатских. — М. : Наука, 1980. — 383 с.
- Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс ; пер. с англ. Д.А. Василькова ; под ред. В.М. Алексеева и С.В. Фомина. — М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1962. — 829 с.
- Функциональный анализ / Под ред. С.Г. Крейна. М. : Наука, 1972. — 544 с.
- Гаевский, Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / Х. Гаевский, К. Грёгер, К. Захариас ; пер. с нем. В.Г. Задорожного, А.И. Перова ; под ред. В.И. Соболева. — М. : Мир, 1978. — 336 с.
- Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations / Pazy. — New York : Springer-Verlag, 1983. — 279 p.
- Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. — 4-е изд., перераб. — М. : Наука, 1976. — 543 с.
- Егоров, А.И. Основы теории управления / А.И. Егоров. — М. : Физматлит, 2004. — 504 с.
- Качуровский, Р.И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах / Р.И. Качуровский // Успехи мат. наук. — 1968. — Т. 23, Вып. 2 (140). — С. 121–168.
- Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. — 3-е изд., перераб. — М. : Наука, 1984. — 752 с.
- Чернов, А.В. О дифференцировании функционала в задаче параметрической оптимизации коэффициента уравнения глобальной электрической цепи / А.В. Чернов // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2016. — Т. 56, № 9. — С. 1586–1601.
- Chen, P.J. On a theory of heat conduction involving two temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. — 1968. — V. 19. — P. 614–627.
- Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикл. математика и механика. — 1960. — Т. 24, № 5. — С. 852–864.
- Mathematical model of the non-equilibrium water-oil displacement in porous strata / G.I. Barenblatt, J. Garcia-Azorero, A. De Pablo, J.L. Vazquez // Appl. Anal. — 1997. — V. 65, № 1–2. — P. 19–45.
- Helmig, R. Dynamic capillary effects in heterogeneous porous media / R. Helmig, A. Weiss, B. I. Wohlmuth // Comput. Geosciences. — 2007. — V. 11, № 3. — P. 261–274.
- Benjamin, T.B. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems / T.B. Benjamin, J.L. Bona, J.J. Mahony // Philos. Tranc. Royal Soc. London. Ser. A. — 1972. — V. 272. — P. 47–78.
- Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. — М. : Физматлит, 2007. — 736 с.
- Чернов, А.В. О тотальном сохранении однозначной глобальной разрешимости операторного уравнения первого рода с управляемой добавочной нелинейностью / А.В. Чернов // Изв. вузов. Математика. — 2018. — № 11. — С. 60–74.
- Brezis, H. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations / H. Brezis. — New York; Dordrecht; Heidelberg; London : Springer, 2011. — 599 p.
- Balachandran, K. and Dauer, J.P., Controllability of nonlinear systems in Banach spaces: a survey, J. Optim. Theory Appl., 2002, no. 1, pp. 7–28.
- Imanuvilov, O., Leugering, G., Triggiani, R., and Zhang, Bing-Yu., Control Theory of Partial Differential Equations, Boca Raton; London; New York; Singapore: Chapman & Hall/CRC, 2005.
- Chernov, A.V., On the exact controllability of a semilinear evolution equation with an unbounded operator, Differ. Equat., 2023, vol. 59, no. 2, pp. 265–277.
- Zhang, X., Exact controllability of semilinear evolution systems and its application, J. Optim. Theory Appl., 2000, vol. 107, no. 2, pp. 415–432.
- Liu, W. and Williams, G.H., Exact internal controllability for the semilinear heat equation, J. Math. Anal. Appl., 1997, vol. 211, pp. 258–272.
- Balachandran, K., Dauer, J.P., and Balasubramaniam, P., Controllability of nonlinear integrodifferential systems in Banach space, J. Optim. Theory Appl., 1995, vol. 84, pp. 83–91.
- Mahmudov, N.I., Exact null controllability of semilinear evolution systems, J. Glob. Optim., 2013, vol. 56, no. 2, pp. 317–326.
- Balakrishnan, A.V., Applied Functional Analysis, New York; Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag, 1976.
- Hille, E. and Phillips, R.S., Functional Analysis and Semi-Groups, Providence: Amer. Math. Soc., 1957.
- Funktsional’nyi analiz (Functional Analysis), Ed. Krein S.G., Moscow: Nauka, 1972.
- Gaewski, H., Gr¨oger, K., Zacharias, K., Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen, Berlin: Akademie-Verlag, 1974.
- Pazy, A., Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, New York: Springer, 1983.
- Kolmogorov, A.N. and Fomin, S.V., Elementy teorii funktsii i funktsional’nogo analiza (Elements of Function Theory and Functional Analysis), Moscow: Nauka, 1976.
- Egorov, A.I., Osnovy teorii upravleniya (Fundamentals of Control Theory), Moscow: Fizmatlit, 2004.
- Kachurovskii, R.I., Non-linear monotone operators in Banach spaces. Russ. Math. Surv., 1968, vol. 23, no. 2, pp. 121–168.
- Kantorovich, L.V. and Akilov, G.P., Functional Analysis, Oxford: Pergamon, 1982.
- Chernov, A.V., Differentiation of a functional in the problem of parametric coefficient optimization in the global electric circuit equation, Comp. Math. Math. Phys., 2016, vol. 56, no. 9, pp. 1565–1579.
- Chen, P.J. and Gurtin, M.E., On a theory of heat conduction involving two temperatures, Z. Angew. Math. Phys., 1968, vol. 19, pp. 614–627.
- Barenblatt, G.I., Zheltov, Yu.P., and Kochina, I.N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks (strata), J. Appl. Math. Mech., 1961, vol. 24, pp. 1286–1303.
- Barenblatt, G.I., Garcia-Azorero, J., De Pablo, A., and Vazquez, J.L., Mathematical model of the non-equilibrium water-oil displacement in porous strata, Appl. Anal., 1997, vol. 65, no. 1–2, pp. 19–45.
- Helmig, R., Weiss, A., and Wohlmuth, B.I., Dynamic capillary effects in heterogeneous porous media, Comput. Geosciences, 2007, vol. 11, no. 3, pp. 261–274.
- Benjamin, T.B., Bona, J.L., and Mahony, J.J., Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems, Philos. Tranc. Royal Soc. London. Ser. A, 1972, vol. 272, pp. 47–78.
- Sveshnikov, A.G., Al’shin, A.B., Korpusov, M.O., and Pletner, Yu.D., Lineynyye i nelineynyye uravneniya sobolevskogo tipa (Linear and Nonlinear Equations of Sobolev Type), Moscow: Fizmatlit, 2007.
- Chernov, A.V., The total preservation of unique global solvability of the first kind operator equation with additional controlled nonlinearity, Russ. Math., 2018, vol. 62, no. 11, pp. 53–66.
- Brezis, H., Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, New York; Dordrecht; Heidelberg; London: Springer, 2011.