Том 212, № 8 (2021)

Рассматривается краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в многомерной области, перфорированной малыми отверстиями вдоль заданного многообразия. На отверстия налагаются минимальные естественные условия, в частности предполагается, что они все примерно одинакового размера и между любыми соседними имеется некоторое заданное минимальное расстояние, которое также является малым параметром. Форма отверстий и их распределение вдоль многообразия произвольные. Отверстия произвольным образом разделены на два набора. На границах отверстий из первого набора ставится условие Дирихле, на границах отверстий второго – третье нелинейное граничное условие. На размеры отверстий и распределение отверстий с условием Дирихле налагается простое и легко проверяемое условие, которое гарантирует, что при усреднении отверстия пропадают, а на упомянутом выше многообразии возникает условие Дирихле. Доказывается сходимость решения возмущенной задачи к решению усредненной в норме $W_2^1$ равномерно по правой части уравнения и выводится неулучшаемая по порядку оценка скорости сходимости. Также строится полное асимптотическое решение возмущенной задачи в случае, когда отверстия образуют периодическое множество, расположенное вдоль заданной гиперплоскости.Библиография: 32 названия.

В работе изучается величина типа дискрепанса – дискрепанс с фиксированным объемом – множеств типа Коробова в единичном кубе. Недавно было обнаружено, что эта новая величина позволяет получать оптимальную по порядку скорость убывания для дисперсии.Это наблюдение побуждает нас тщательно изучать эту новую версию дискрепанса, которая кажется интересной сама по себе. Работа развивает недавние исследования В. Н. Темлякова и М. Улльриха о дискрепансе с фиксированным объемом множеств Фибоначчи.Библиография: 23 названия.