Dynamical modelling of clustering in multimodal heavy nuclei fission

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

За 85 лет, прошедших со дня открытия деления ядер, теоретическое объяснение природы мультимодальности деления тяжелых ядер остается актуальной задачей [1—6]. Процесс деления тяжелого ядра характеризуется коренной перестройкой ядерной системы, содержащей сотни нуклонов. В настоящее время еще нет последовательной теории, которая позволяла бы с единой точки зрения описать все стороны процесса деления. Сильное изменение формы ядра и неоднократное перераспределение энергии между коллективными и нуклонными степенями свободы приводит к образованию различных кластеров внутри делящейся системы, содержащих различное число нуклонов, способных как существовать очень короткое время, так и достигнуть теплового равновесия и существовать большое по масштабам ядерного деления время. В работе [7] впервые была продемонстрирована связь между образованием магических кластеров в процессе низкоэнергетического деления ядер калифорния и мультимодальностью. В настоящее время о коллективном движении, связанном с кластеризацией в делящемся ядре, говорит серия экспериментов, проведенных в лаборатории имени Флерова. Там были открыты несколько новых мод деления на несколько осколков и были получены свидетельства возможного процесса перекластеризации внутри делящейся системы [8—10].

МОДЕЛЬ

Для случая бесконечной ядерной материи энергия связи одного нуклона определяется его взаимодействием с ближайшими соседями. В этом случае энергия связи нуклонов пропорциональна их числу ~A. Нуклоны, расположенные на поверхности ядра, имеют меньшее число связей, чем внутренние, поэтому полная энергия связи уменьшается на величину, пропорциональную поверхности ядра ~A⅔. Плотность ядерной материи постоянна и не может уменьшиться ниже плотности насыщения даже при очень сильной деформации в предразрывных конфигурациях тяжелого делящегося ядра. Так как ядерное взаимодействие короткодействующее, то и в моделях, основанных на концепции среднего поля, реалистичный потенциал должен повторять по форме распределение материи в ядре [3—6]. Нуклоны в ядре в таких моделях ведут себя как делокализованные и независимые частицы. Для описания процесса образования нового нуклонного кластера внутри делящейся ядерной системы необходимо перейти к моделям нового типа, не использующим концепцию среднего поля [11—13]. В таких моделях каждая частица взаимодействует лишь с несколькими соседними частицами и не имеет информации о системе в целом. Таким образом все взаимодействия локальны и у сложной ядерной системы при изменении ее формы и внутренней структуры в процессе деления нет центра. При этом модели позволяют описывать появление и изменение многочастичных кластеров и коллективные движения большого масштаба. Такие инновационные теоретические подходы к описанию динамики процесса кластеризации уже были опробованы в работах [14—17]. В данной работе мы предлагаем аналогичную распределенную модель для описания динамически стабилизированного коллективного нуклонного кластера в тяжелом делящемся ядре. Впервые динамическая модель кластеризации была предложена в [18]. В ней используются следующие понятия и определения.

Определения

Пусть вектор $x^i\in R^m$ представляет набор характеристик частицы i ∈ N. Соседние частицы в рассматриваемом объеме взаимодействуют между собой. Связи между соседними частицами могут быть представлены графом G^t = {N, E^t, C^t} с множеством вершин N, обозначающим частицы i, i ∈ N; множеством ребер E^t = {(i, j) : i, j ∈ N}, состоящим из пар (i, j), обозначающих взаимодействие между частицами i и j в момент t, соответствующим связям в графе G^t; и матрицей связности C^t, образованной элементами $c_{ij}^t$, равными 1 в случае, если частицы i и j связаны в момент t, и ${\text{c}}_{ij}^t=0$ в противном случае.

Кластеризация частиц происходит в результате их взаимодействия, величина которого определяется разностью характеристик связанных частиц и заданным коэффициентом усиления. Общий вид взаимодействия определяется по формуле:

$u_i^t=\gamma \sum _{}_{j\in N}{c}_{ij}^t\left(x_j^t-x_i^t\right)$ (1)

где $u_i^t-$суммарное воздействие на частицу i всех связанных с ней частиц, $\gamma \in \left[\mathrm{0,} 1\right]$ — коэффициент усиления, ${\text{c}}_{ij}^t$– элемент матрицы связности C^t, обозначающий наличие (отсутствие) связи между частицами i и j.

Общий вид взаимодействия частиц (1) может быть получен исходя из минимизации потенциала графа G^t связей частиц (называемого также лапласовским потенциалом графа G^t [12]), задающегося матрицей связности C^t, характеризующего степень рассогласованности состояний взаимосвязанных частиц:

${\Phi }_{G^t}= \frac{1}{2}\sum _{}_{i,j\in N}{c}_{ij}^t{\left(x_j^t-x_i^t\right)}^2$.

Определим в рассматриваемой системе два типа взаимодействия: притяжение и отталкивание, характеризующиеся радиусами действия, $r_a$ — радиус притяжения, $r_r$ — радиус отталкивания вокруг каждой частицы, $r_a>r_r$; и коэффициентами усиления ${\gamma }_a, {\gamma }_r$. Взаимодействия обоих типов зададим согласно формуле (1) с подстановкой соответствующего коэффициента усиления и определив коэффициенты матрицы связности исходя из расстояния между частицами.

Пусть частица i, помимо воздействия со стороны связанных с ней частиц, подвержена также некоторому внешнему возмущению $z_i^t\in R^m$.

С учетом притяжения и отталкивания частиц и внешнего возмущения динамика системы частиц задается следующей системой $N$ уравнений в дискретном времени:

$\begin{array}{c}{x}_i^{t+1}=x_i^t+z_i^t+{\gamma }_a{\sum }_{j\in N}c{a}_{ij}^t\left(x_j^t-x_i^t\right)-\\ -{\gamma }_r{\sum }_{j\in N}c{r}_{ij}^t\left(x_j^t-x_i^t\right), i\in N,\end{array}$ (2)

где $c{a}_{ij}^t$, $c{r}_{ij}^t$ — коэффициенты, характеризующие наличие притяжения и отталкивания между частицами i и j,

$c{a}_{ij}^t=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{1,} \text{если\hspace{0.33em}}{c}_i^t=1 \text{ и } \rho \left(i, j\right)<r_a\\ \mathrm{0,} \text{иначе}\end{array}\right.,$

$c{r}_{ij}^t=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{1,} \text{если }{c}_i^t=1 \text{ и } \rho \left(i, j\right)<r_r\\ \mathrm{0,} \text{иначе}\end{array}\right.,$

где $\rho \left(i, j\right)$ — расстояние между частицами i и j.

Обозначим $C{a}^t, C{r}^t$ матрицы, составленные из элементов $c{a}_{ij}^t$ и $c{r}_{ij}^t$ соответственно; $L\left(A\right)=D\left(A\right)-A; D\left(A\right)=\text{diag}\left\{{\sum }_j{a}_{ij}\right\}$ лапласиан матрицы A, получаемый вычитанием матрицы A из диагональной матрицы D(A), где на диагонали расположены суммы элементов по строкам матрицы A. Введем векторы $X^t, Z^t\in R^{\text{nm}}$: $X^t={\left[x_1^t, \dots , x_N^t\right]}^T, Z^t={\left[z_1^t, \dots , z_N^t\right]}^T$. Запишем динамику системы (2) в векторно-матричном виде:

$X^{t+1}=X^t+Z^t-{\gamma }_{a}L\left(C{a}^t\otimes I_m\right)+ {\gamma }_{r}L\left(C{r}^t\otimes I_m\right),$

где $I_m$ — единичная матрица размера $m\times m$, $C^t\otimes I_m$ — произведение Кронекера, которое является блочной матрицей размера $nm\times nm$:

$C^t\otimes I_m=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{\text{11}}^t{I}_m& \cdots & c_{1n}^t{I}_m\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{n1}^t{I}_m& \cdots & c_{\text{nn}}^t{I}_m\end{array}\right]$.

Предлагаемая модель описывает эволюцию ядерной системы, состоящей из взаимосвязанных взаимодействующих элементов — частиц, в которых связь имеется только между соседними частицами в соответствии со свойством насыщения ядерных сил. Таким образом, каждый нуклон в ядре взаимодействует лишь с ограниченным числом ближайших к нему соседних нуклонов. Система с заданной в (2) динамикой демонстрирует тенденцию к образованию кластеров в процессе эволюции своего состояния [14].

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ

Рассмотрим систему, состоящую из 132 частиц, моделирующую поведение нуклонов атома ¹³²Sn. Выберем радиус притяжения равным 1.5, радиус отталкивания — 0.5, коэффициенты усиления для притяжения и отталкивания примем равными 0.001 и 0.1 соответственно. Пусть внешние возмущения можно описать независимыми одинаково распределенными нормальными величинами с параметрами $\mu =0$, σ = 0.005. Зададим число шагов моделирования T = 100. Начальные позиции частиц в пространстве примем равномерно распределенными в области $\left[-2;4\right]\times \left[-2;4\right]\times \left[-2;4\right].$

Рисунки 1 и 2 иллюстрируют состояние системы частиц в моменты t = 20 и t = 80. Вершины-точки соответствуют позициям частиц в пространстве, ребра светлого оттенка обозначают наличие притяжения между частицами, темные ребра — отталкивание. С течением времени кластерная структура системы частиц меняется под воздействием притяжения и отталкивания между частицами. В момент t = 20 наблюдается сравнительно малое число межчастичных взаимодействий, что обусловлено сравнительно большим средним расстоянием между каждой парой частиц. К моменту t = 80 произошло сближение частиц, что привело к образованию большого числа взаимодействий в силу попадания большего количества частиц в области притяжения и отталкивания соседних частиц. При этом общий объем, занимаемый всей системой, уменьшился, что отражено в изменении масштаба осей координат на рис. 1 и 2. При относительно малой величине внешнего возмущения состояние системы изменяется в сторону меньшего числа кластеров, при этом размер кластеров увеличивается.

Рис. 1. Состояние системы в момент t = 20. Светлые ребра обозначают наличие притяжения между частицами.

Рис. 2. Состояние системы в момент t = 80. Светлые ребра обозначают наличие притяжения между частицами. Темные ребра обозначают отталкивание между частицами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В последние годы описанию кластеризации в ядерных системах посвящено много новых теоретических работ. Базисом для таких исследований являются расчеты поверхностей потенциальной энергии в различных многомерных реалистических потенциалах или в самосогласованном поле [3—6]. В отдельных областях поверхностей потенциальной энергии, где происходит полная перестройка ядерной системы, такие модели не применимы и приводят к сингулярностям. Адекватное описание процесса изменения внутренней структуры внутри делящейся системы потребовало дополнения этих моделей разработанной моделью нового типа, выходящей за рамки концепции среднего поля. В ней огромная сложность динамических задач в многочастичной системе с переменной структурой заменяется на численное описание большого количества парных локальных взаимодействий одинаковых частиц, но за счет сложного совместного взаимодействия в итоге достигается модельное описание динамики всей системы. Суть нового подхода заключается в переходе от централизованных к децентрализованным расчётам процесса кластеризации в делении тяжелых ядер. Рассматриваемый подход позволяет моделировать изменение структуры ядерной системы в процессе деления и описывать возникновение нового агрегатного состояния группы нуклонов. Таким образом, весь процесс деления в таком подходе характеризуются двумя временными шкалами. Быстрая динамика характеризует организацию нуклонов в большие кластеры, которые можно рассматривать как новые коллективные структуры. Образовавшиеся кластеры как целое участвуют в относительно медленной динамике делящейся ядерной системы до точки разрыва. Численное моделирование системы частиц было проведено для экспериментально наблюдаемого эффекта кластеризации дважды магического ядра олова в районе второго минимума барьера деления тяжелых актинидов.

Иванский Ю. В. благодарит Российский научный фонд за финансовую поддержку (проект № 22-71-10063).

About the authors

Y. V. Ivanskiy

Email: a.unzhakova@spbu.ru
Russian Federation, St Petersburg, 199034

A. V. Unzhakova

Author for correspondence.
Email: a.unzhakova@spbu.ru
Russian Federation, St Petersburg, 199034

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. The state of the system at time t = 20. Light edges indicate the presence of attraction between particles.

Download (136KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. The state of the system at t = 80. Light edges indicate the presence of attraction between particles. Dark edges indicate repulsion between particles.

Download (80KB)

Indexing metadata