Study of structure of ⁹Be nucleus in alpha-cluster model by hyperspherical functions method

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что ряд легких ядер могут быть представлены как состоящие из альфа-частиц (альфа-кластеров) и внешних (валентных) нуклонов [1, 2]. Структура ядер ⁹Be, ¹⁰Be как систем, состоящих из двух α-кластеров и, соответственно, одного (2α + n) и двух нейтронов (2α + 2n) рассмотрена в работах [3, 4] с использованием фейнмановских интегралов по траекториям (континуальных интегралов). Было показано, что наиболее вероятной в ядре ⁹Be является конфигурация ядерной “молекулы” с нейтроном между α-частицами. Простой в реализации с помощью параллельных вычислений метод фейнмановских интегралов по траекториям позволяет получить плотность вероятности системы нескольких взаимодействующих частиц в числовой форме (в форме многомерных таблиц). Это делает неудобным выполнение усреднений по возможным положениям частиц, в частности, при расчетах зарядовых распределений и среднеквадратичного зарядового радиуса. Поэтому в данной работе для нахождения волновой функции основного состояния трехтельной системы ⁹Be (α + n + α) использовано разложение по гиперсферическим функциям [5]. Основной математической задачей метода гиперсферических функций является численное решение системы гиперсферических уравнений для функций, представляющих собой коэффициенты разложения по гиперсферическим гармоникам. В данной работе для решения указанной задачи применен метод кубических сплайнов [6]. Он позволяет уменьшить число узлов радиальной сетки и находить значения функций между узлами с помощью гладкой интерполяции с обеспечением непрерывности функции вместе с ее первой и второй производными. Потенциал взаимодействия α-частиц был выбран в форме модифицированного потенциала, описывающего s-рассеяние низкоэнергетических α-частиц. Для описания взаимодействия нейтрона с α-частицей был использован псевдопотенциал, предложенный в работе [4]. Выполненные расчеты зарядовых распределений и среднеквадратичного зарядового радиуса дали согласие с экспериментальными данными

МЕТОД ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ТРЕХТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Гамильтониан системы, состоящей из двух α-кластеров и нейтрона с массами $m_{\alpha }$ и $m_n$, соответственно, в системе центра масс и при использовании векторов Якоби

$\overrightarrow{R}={\overrightarrow{r}}_{\alpha 2}-{\overrightarrow{r}}_{\alpha 1}$, $\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_n-\frac{{\overrightarrow{r}}_{\alpha 1}+{\overrightarrow{r}}_{\alpha 2}}{2}$, (1)

имеет вид

$\begin{array}{c}H=-\frac{{\hslash }^2}{2M}{\Delta }_{\overrightarrow{R}}-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\Delta }_{\overrightarrow{r}}+V_{\alpha -\alpha }\left(R\right)+\\ +V_{\alpha -n}\left(r_1\right)+V_{\alpha -n}\left(r_2\right),\end{array}$ (2)

где

$\frac{1}{M}=\frac{1}{m_{\alpha }}+\frac{1}{m_{\alpha }}$, $M=\frac{m_{\alpha }}{2}$, $\frac{1}{\mu }=\frac{1}{m_n}+\frac{1}{2m_{\alpha }}$,

$\mu =\frac{2m_{\alpha }{m}_n}{2m_{\alpha }+m_n}$, (3)

$V_{\alpha -\alpha }$ и $V_{\alpha -n}$ — потенциальные энергии взаимодействия, соответственно, α-частиц друг с другом и α-частицы с нейтроном,

$r_1=\left|{\overrightarrow{r}}_n-{\overrightarrow{r}}_{\alpha 1}\right|=\left|\overrightarrow{r}-\frac{1}{2}\overrightarrow{R}\right|$, $r_2=\left|{\overrightarrow{r}}_n-{\overrightarrow{r}}_{\alpha 2}\right|=\left|\overrightarrow{r}+\frac{1}{2}\overrightarrow{R}\right|$. (4)

Уравнение Шредингера с гамильтонианом (2) для системы в векторах Якоби имеет вид

$\begin{array}{c}-\frac{{\hslash }^2}{2M}{\Delta }_{\overrightarrow{R}}\Psi -\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\Delta }_{\overrightarrow{r}}\Psi +\\ +\left[V_{12}\left(R\right)+V_{13}\left({\rho }_1\right)+V_{23}\left({\rho }_2\right)\right]\Psi =E\Psi .\end{array}$ (5)

При переходе к нормированным координатам Якоби с использованием величин (3)

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{R}\sqrt{\frac{1}{m_0{x}_0^2}}\sqrt{\frac{m_{\alpha }}{2}}$, $\overrightarrow{y}=\overrightarrow{r}\sqrt{\frac{1}{m_0{x}_0^2}}\sqrt{\frac{2m_{\alpha }{m}_n}{2m_{\alpha }+m_n}}$, (6)

уравнение Шредингера (5) для системы примет простую форму

$\begin{array}{c}-{\Delta }_{\overrightarrow{x}}\Psi -{\Delta }_{\overrightarrow{y}}\Psi +\\ +2b_0\left[{\tilde{V}}_{12}\left(R\right)+{\tilde{V}}_{13}\left({\rho }_1\right)+{\tilde{V}}_{23}\left({\rho }_2\right)\right]\Psi =2b_0\tilde{E}\Psi ,\end{array}$ (7)

где $b_0={m_0{x}_0^2{\epsilon }_0/\hslash }^2\approx 0.02392$, $m_0=1$ а. е. м., $x_0=1$ фм, ${\epsilon }_0=1$ МэВ, $\tilde{E}=E/{\epsilon }_0$, $\tilde{V}\left(\rho \right)=V\left(\rho \right)/{\epsilon }_0$.

Волновую функцию $\Psi$ системы в шестимерном пространстве векторов Якоби $\left(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\right)$ представляют в виде, зависящем от гиперрадиуса $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$, четырех углов ${\theta }_x$, ${\phi }_x$, ${\theta }_y$, ${\phi }_y$ единичных векторов $\left(\hat{\overrightarrow{x}}\widehat{,\overrightarrow{y}}\right)$ в направлениях нормированных векторов Якоби $\left(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\right)$ и пятого угла $\alpha$, определяемого отношением длин этих векторов,

$x=\rho \cos \alpha$, $y=\rho \sin \alpha$. (8)

Решение уравнения (7) представляют в виде разложения по известным гиперсферическим функциям, зависящих от углов $\Omega =\left(\alpha ,{\theta }_x,{\phi }_x,{\theta }_y,{\phi }_y\right)$ и квантовых чисел: $L$ — полного момента, $l_x$, $l_y$ — орбитальных моментов относительного движения пары α-кластеров и движения нейтрона относительно центра масс пары и гипермомента K [5]. У основного состояния ядра ⁹Be полный момент равен нулю L = 0 (его проекция также нулевая M = 0), поэтому $l_x=l_y=l$ и разложение производится по функциям

$\begin{array}{l}{\Phi }_n^{ll}\left(\Omega \right)=\frac{1}{2^{l_x}}{N}_n^{ll}{\left(\sin 2\alpha \right)}^l{P}_n^{l+1/2,l+1/2}\left(\cos 2\alpha \right)\times \\ \sum _{m_x}(llm{m}_y=-m|00\left)Y_{lm}\right({\theta }_x,{\phi }_x\left)Y_{l-m}\right({\theta }_y,{\phi }_y).\end{array}$ (9)

Здесь $\left(l_x{l}_y{m}_x{m}_y\right|LM)$ — коэффициенты Клебша—Гордона, $P_n^{l+1/2,l+1/2}$ — полиномы Якоби порядка $n$ ($n$ ‒ целое число), гипермомент K равен

$K=2n+2l_x$, (10)

и нормировочный коэффициент определяется формулой

$N_n^l=\sqrt{\frac{2n!\left(2l+2n+2\right)\left(n+2l+1\right)!}{\Gamma \left(n+l+\frac{3}{2}\right)\Gamma \left(n+l+\frac{3}{2}\right)}}$, (11)

где $\Gamma \left(z\right)$ ‒ гамма-функция. Функции ${\Phi }_{K00}^{ll}\left(\Omega \right)$ (9) фактически зависят лишь от угла $\alpha$ и угла $\theta$ между векторами $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$

$\begin{array}{c}{\Phi }_n^{ll}(\alpha ,\theta )=\\ =\frac{1}{2^l}{N}_n^{ll}{\left(\sin 2\alpha \right)}^l{P}_n^{l+1/2,l+1/2}\left(\cos 2\alpha \right)\sqrt{\frac{2l+1}{2}}{P}_l\left(\cos \theta \right).\end{array}$(12)

Волновая функция ${\Psi }_0$ основного состояния системы, состоящей из двух α-кластеров и нейтрона, представляет собой ряд с суммированием по $l$, $n$ в котором функции ${\chi }_n^l\left(\rho \right)$ определяются из системы гиперрадиальных уравнений

${\Psi }_0\left(\alpha ,\theta ,\rho \right)=\sum _{\ln }{\chi }_n^l\left(\rho \right){\rho }^{-5/2}{\left(\sin \alpha \cos \alpha \right)}^l{N}_n^l{P}_n^{l+1/\mathrm{2,}l+1/2}\left(\cos 2\alpha \right)\sqrt{\frac{2l+1}{2}}{P}_l\left(\cos \theta \right)$ (13)

$\begin{array}{c}\frac{d^2}{d{\rho }^2}{\chi }_n^l\left(\rho \right)+\left[2\tilde{E}{b}_0-\frac{1}{{\rho }^2}\left(K+3/2\right)\left(K+5/2\right)\right]{\chi }_n^l\left(\rho \right)=\\ =2b_0\sum _{n\text{'}l\text{'}}{\tilde{U}}_{n{n}^{\text{'}}}^{l;l^{\text{'}}}\left(\rho \right),\end{array}$ (14)

с граничными условиями

${\chi }_n^l\left(0\right)=0$, ${\chi }_n^l\left(\rho \right)\to 0$, $\rho \to \infty$, (15)

и матрицей связи каналов

${\tilde{U}}_{n{n}^{\text{'}}}^{l;l^{\text{'}}}\left(\rho \right)=⟨l\ln 0\left|\tilde{U}\right|l^{\text{'}}{l}^{\text{'}}{n}^{\text{'}}0⟩$. (16)

Для вычисления матрицы связи (16)

$\begin{array}{c}{\tilde{U}}_{n;n\text{'}}^{l;l\text{'}}\left(\rho \right)=\int d\Omega {\Phi }_{n^{\text{'}}}^{l^{\text{'}}{l}^{\text{'}}*}\tilde{U}{\Phi }_n^{ll}=\\ =\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}d\alpha {\cos }^2\alpha {\sin }^2\alpha \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta \sin \theta {\Phi }_{n^{\text{'}}}^{l^{\text{'}}{l}^{\text{'}}*}\tilde{U}{\Phi }_n^{ll}\end{array}$ (17)

с потенциальной энергией системы, включающей парные взаимодействия

$U=V_{\alpha -\alpha }\left(R\right)+V_{\alpha -n}\left(\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{R}-\overrightarrow{r}\right|\right)+V_{\alpha -n}\left(\left|\frac{1}{2}R+\overrightarrow{r}\right|\right)$,

$\tilde{U}=U/{\epsilon }_0$, (18)

были использованы квадратурные формулы Гаусса порядка от 32 до 80.

ПРИМЕНЕНИЕ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ГИПЕРРАДИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Кубические сплайны позволяют не только построить гладкую функцию по ее значениям $f_i$ в узлах сетки, но и выразить значения второй производной $m_i=f^{\text{'}\text{'}}\left(x_i\right)$ в узлах сетки через $f_i$

Am = HF, (19)

где $F$ — столбец значений $f_i$, а явный вид матриц $A$ и $H$ приведен в [6]. Это дает удобную возможность сведения краевой дифференциальной задачи к задаче на собственные значения матрицы. Краевая задача для системы N гиперрадиальных уравнений (14) также сводится к задаче на собственные значения и собственные вектора блочной матрицы [4]

BF = λF, $B=-A^{-1}HF+WF$, $\lambda =\frac{2\mu }{{\hslash }^2}E$, (20)

где

$\begin{array}{c}{W}_{i,i}=2b_0{\tilde{U}}_{K{K}^{\text{'}}}^{l_x;{l^{\text{'}}}_x}\left({\rho }_i\right)+\\ +\frac{1}{{\rho }_i^2}\left(K+3/2\right)\left(K+5/2\right){\delta }_{K;K^{\text{'}}}{\delta }_{l_x;{l^{\text{'}}}_x},\end{array}$ (21)

$A_{i,i}=I\frac{h_i+h_{i+1}}{3}$, $A_{i,i+1}=A_{i+\mathrm{1,}i}=I\frac{h_{i+1}}{6}$, (22)

$H_{i+\mathrm{1,}i}=H_{i,i+1}=I\frac{1}{h_{i+1}}$, $H_{i,i}=-I\left(\frac{1}{h_i}+\frac{1}{h_{i+1}}\right)$, (23)

$F_i={\chi }_K^{l_x}\left({\rho }_i\right)$, $i=\mathrm{1,...,}{n}_p-1$, (24)

I — квадратная единичная матрица порядка N и $h_i={\rho }_i-{\rho }_{i-1}$, $i=\mathrm{1,...,}{n}_p$, ${\rho }_0=\mathrm{0,}{\rho }_{n_p}={\rho }_{\max }$. В общем случае метод может применяться на неравномерной сетке ${\rho }_i$, в данной работе была использована равномерная сетка ${\rho }_i=ih$, $i=\mathrm{0,...,}{n}_p$. Для поиска собственных значений и векторов матрицы в задаче (20) были использованы QR и QL-методы [9], расчеты проводились с помощью пакетного решения NVIDIA CUDA [10]. Часть расчетов были выполнены на гетерогенном кластере Лаборатории информационных технологий ОИЯИ [11].

Взаимодействие α-частицы с нейтроном $V_{\alpha -n}\left(r\right)$ было представлено псевдопотенциалом

$\begin{array}{c}{V}_{\alpha -n}\left(r\right)=-U_{n1}f\left(r,B_{n1},a_{n1}\right)+\\ +U_{n2}f\left(r,B_{n2},a_{n2}\right)-U_{n3}f\left(r,B_{n3},a_{n3}\right)f\left(r,B_{n4},a_{n4}\right).\end{array}$ (25)

Псевдопотенциалы используются в физике металлов для описания взаимодействия валентных электронов с атомными остовами и приближенного расчета внешней части электронной волновой функции, лежащей вне атомного остова. Аналогично псевдопотенциал (25) использован в данной работе для расчета внешней части нейтронной волновой функции, лежащей вне внутренней части α-частицы, занятой тесно расположенными парами протонов и нейтронов. График псевдопотенциала (25) показан на рис. 1а. Приведем значения параметров потенциала (25), предложенных в работе [4]:

$U_{n1}=$64.8 МэВ, $B_{n1}=$1.95 фм, $a_{n1}=$0.25 фм, (26)

$U_{n2}=$55.8 МэВ, $B_{n2}=$1.22 фм, $a_{n2}=$0.3 фм, (27)

$U_{n3}=$107 МэВ, $B_{n3}=$0.9 фм, $$$a_{n3}=$0.5 фм,

$B_{n4}=$2.7 фм, $a_{n4}=$1 фм, (28)

 

Рис. 1. Графики псевдопотенциала взаимодействия α-частицы с нейтроном ${\mathit{V}}_{\mathbf{\alpha }\mathbf{-}\mathbf{n}}\mathbf{\left(}\mathit{r}\mathbf{\right)}$ (а) и потенциала взаимодействия α-частиц ${\mathit{V}}_{\mathbf{\alpha }\mathbf{-}\mathbf{\alpha }}\mathbf{\left(}\mathit{r}\mathbf{\right)}$ (б): потенциала Али-Бодмера (29) (штриховая кривая) и потенциала (33) с параметрами (42), (43) (сплошная кривая).

 

Для описания рассеяния α-частиц при низких энергиях используется потенциал Али-Бодмера [8] с ядерной частью в виде

$V_{\alpha -\alpha }^{\left(\text{N}\right)}\left(r\right)=v_1\exp \left(-r^2/a_1^2\right)-v_2\exp \left(-r^2/a_2^2\right)$ (29)

и для кулоновской части $V_{\alpha -\alpha }^{\left(C\right)}\left(r\right)$, аппроксимированной с помощью функции ошибок $\mathrm{erf}\left(x\right)$,

$V_{\alpha -\alpha }^{\left(C\right)}\left(r\right)=a_C\mathrm{erf}\left(b_{C}r\right)/r$, (30)

где $b_C=0.601$ фм^‒1, $a_C=Z_{\alpha }^2{e}^2/x_0=$5.759 МэВ·фм [8]. Значения параметров ядерной части потенциала, определенные из условия близости теоретических и экспериментальных значений фазы s-рассеяния, составляют [8]:

$v_1=$125 МэВ, $a_1^2=$2.3409 фм², $v_2=$30.18 МэВ,

$a_2^2=$8.1225 фм². (31)

График потенциала взаимодействия α-частиц в форме Али-Бодмера

$V_{\alpha -\alpha }\left(r\right)=V_{\alpha -\alpha }^{\left(N\right)}\left(r\right)+V_{\alpha -\alpha }^{\left(C\right)}\left(r\right)$ (32)

показан на рис. 1б. Ядерная часть потенциала (32) имеет сильно отталкивательную центральную часть (кор), которую можно объяснить следствием усредненного действия отталкивательного кора нуклон-нуклонного взаимодействия и принципом Паули.

Взаимодействие α-кластеров в составе стабильного ядра ⁹Be, вообще говоря, может отличаться от взаимодействия при столкновениях α-частиц, длящегося в течение достаточно короткого промежутка времени (времени пролета). Для получения бóльших возможностей видоизменения взаимодействия удобно использовать предложенную в работе [4] форму с шестью параметрами

$V_{\alpha -\alpha }^{\left(N\right)}\left(r\right)=-U_{\alpha 1}f(r,B_{\alpha 1},a_{\alpha 1})+U_{\alpha 2}f(r,B_{\alpha 2},a_{\alpha 2})$ (33)

и функцией $f(r,B,a)$ типа Вудса-Саксона (фермиевского распределения)

$f(r,B,a)={\left[1+\exp \left(\frac{r-B}{a}\right)\right]}^{-1}$, (34)

вместо гауссовых экспонент в потенциале Али-Бодмера. В ходе расчетов проводилось варьирование параметров потенциала (33) для обеспечения близости теоретических и экспериментальных значений энергии $E_0$ основного состояния системы (α + n + α), равной энергии ее разделения на составляющие с противоположным знаком, $E_0=-E_s$. Экспериментальное значение $E_s$ равно энергии отделения нейтрона $E_s=$1.66452 МэВ (см., например, [12]), поскольку ядро ⁸Be не связанное. Среднеквадратичный зарядовый радиус системы $⟨r_{\mathrm{Be}}^2⟩$ определяется среднеквадратичным зарядовым радиусом распределения заряда в α-кластере, который считался таким же, как и для α-частицы $⟨r_{\mathrm{He}}^2⟩$, и среднеквадратичным радиусом распределения центров α-кластеров $⟨r_{\alpha }^2⟩$

$⟨r_{\mathrm{Be}}^2⟩=⟨r_{\alpha }^2⟩+⟨r_{\mathrm{He}}^2⟩$, (35)

$⟨r_{\alpha }^2⟩=\frac{{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{R}^{2}dR\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{r}^{2}dr\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\left|\Psi \right|}^2{R}_{\alpha }^2\sin \left(\theta \right)d\theta }}{{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{R}^{2}dR\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{r}^{2}dr\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\left|\Psi \right|}^2\sin \left(\theta \right)d\theta }}$, (36)

где R_α ‒ расстояние между α-частицей и центром масс-системы,

$R_{\alpha }^2={\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{R}+\overrightarrow{r}\frac{1}{9}\right)}^2=\frac{1}{4}{R}^2+\frac{1}{9}Rr\cos \theta +\frac{1}{81}{r}^2.$ (37)

Расчеты волновой функции основного состояния ${\Psi }_0$ позволяют найти $⟨r_{\alpha }^2⟩$, а среднеквадратичные зарядовые радиусы ядер ⁴Не и ⁹Be равны ${⟨r_{\text{He}}^2⟩}^{1/2}=$1.68 фм, ${⟨r_{\text{Be}}^2⟩}^{1/2}=$2.52 фм (см., например, [12]). Использование распределения электрического заряда ${\rho }_{\text{He}}\left(r\right)$ в ядре ⁴Не позволяет рассчитать распределение электрического заряда в ядре ⁹Be. Экспериментально измеренные распределения $\rho \left(r\right)$ электрического заряда в ядрах ⁴Не и ⁹Be [13, 14], удовлетворяющие условию нормировки с величиной атомного номера ядра Z

$Z=\int \rho \left(r\right)d^{3}r$. (38)

показаны на рис. 2а и 2б. На рис. 2а для ядра ⁴Не зарядовое распределение аппроксимировано функцией

 

Рис. 2. Плотность ${\mathit{\rho }}_{\mathbf{\text{He}}}\mathbf{\left(}\mathit{r}\mathbf{\right)}$ распределения электрического заряда (в единицах элементарного заряда) в ядре ⁴Не (а): экспериментальные данные из работы [13] (точки) и их аппроксимация (39) (кривая). Плотность $\mathit{\rho }\mathbf{\left(}\mathit{r}\mathbf{\right)}$ распределения электрического заряда (в единицах элементарного заряда) в ядре ⁹Be (б): экспериментальные данные из работы [14] (точки) и расчеты для потенциалов ${\mathit{V}}_{\mathbf{\alpha }\mathbf{-}\mathbf{\alpha }}\mathbf{\left(}\mathit{r}\mathbf{\right)}$ взаимодействия α-частиц Али-Бодмера (29) (штриховая кривая), и взаимодействия α-кластеров (33) (сплошная кривая). Функции распределения по радиусам ${\mathit{r}}_{\mathbf{1}}$ центров α-кластеров для потенциала (33) (сплошная кривая) и потенциала Али-Бодмера (29) (штриховая кривая) (в).

 

$\begin{array}{c}{\rho }_{\text{He}}\left(r\right)=\frac{{\rho }_1}{1+2\exp \left(-\frac{b}{a}\right)\left[\text{ch}\left(\frac{r}{a}\right)-1\right]}+\\ +{\rho }_2\exp \left(-\frac{{(r-c)}^2}{d^2}\right),\end{array}$ (39)

где

${\rho }_1=$ 0.112 фм^‒3, ${\rho }_2=$0.0073 фм^‒3, (40)

a = 0.367 фм, b = 1.32 фм, c = 0.762 фм, d = 0.5 фм. (41)

Величины $E_0$, ${⟨r_{\alpha }^2⟩}^{1/2}$, ${⟨r_{\text{Be}}^2⟩}^{1/2}$ и распределение электрического заряда в ядре ⁹Be были рассчитаны для потенциала Али-Бодмера (29) с фиксированными параметрами и для потенциала (33) с варьируемыми параметрами. Достаточно хорошее согласие с экспериментальными данными получено при следующих значениях параметров:

$U_{\alpha 1}=$17.3 МэВ, $U_{\alpha 2}=$27.25 МэВ. (42)

$B_{\alpha 1}=$ 3.3 фм,  $B_{\alpha 2}=$2.1 фм,  $a_{\alpha 1}=0.58$фм,

$a_{\alpha 2}=$0.48 фм, (43)

График потенциала $V_{\alpha -\alpha }^{\left(\mathrm{N}\right)}\left(r\right)$ взаимодействия α-кластеров в ядре ⁹Be показан на рис. 1б. На рис. 2б показаны полученные для потенциала (33) и потенциала Али-Бодмера (29) зарядовые распределения $\rho \left(r\right)$ в ядре ⁹Be

$\rho \left(r\right)=\int n\left(r_1\right){\rho }_{\text{He}}\left(\left|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1\right|\right)d{r}_1^3$. (44)

Здесь $n\left(r_1\right)$ ‒ функция распределения по радиусам $r_1$ центров α-частиц, нормированная условием

$\int n\left(r\right)d^{3}r=2$, (45)

показана на рис. 2в для потенциала (33) и потенциала Али-Бодмера (29). Функция $n\left(r_1\right)$ определяется выражением

$\begin{array}{c}n\left(r_1\right)=\\ =2\int dR{R}^2\int dr{r}^2\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta \sin \theta {\left|{\Psi }_0\left(R,r,\theta \right)\right|}^2\delta \left(r_1-R_{\alpha }(R,r,\theta )\right)\end{array}$(46)

где $\delta \left(r\right)$ — дельта-функция Дирака, волновая функция ${\Psi }_0\left(R,r,\theta \right)$ зависящая от модулей векторов Якоби и угла между ними, нормирована условием

$\int dR{R}^2\int dr{r}^2\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta \sin \theta {\left|{\Psi }_0\left(R,r,\theta \right)\right|}^2=1$, (47)

а область интегрирования по переменным $R,r$ задается интервалом значений гиперрадиуса $0<\rho \left(R,r\right)\le {\rho }_{\max }$. При численных расчетах дельта-функция Дирака заменялась на столбчатую функцию

$\delta \left(r\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{\Delta r},\text{ при }\left|r\right|\le \frac{\Delta r}{2},\\ \mathrm{0,}\text{ при }\left|r\right|>\frac{\Delta r}{2}.\end{array}\right.$ (48)

Результаты расчета энергии $E_0$ основного состояния системы (α + n + α) и среднеквадратичных радиусов ${⟨r_{\alpha }^2⟩}^{1/2}$, ${⟨r_{\text{Be}}^2⟩}^{1/2}$ для потенциала Али-Бодмера (29) и для потенциала (33) с параметрами (42), (43) приведены в таблице 1. По рис. 2б видно, что применение потенциала Али-Бодмера не дает правильного распределения заряда и приводит к значениям $E_0$ и ${⟨r_{\text{Be}}^2⟩}^{1/2}$ заметно отличающимися от экспериментальных. При использовании потенциала (33) удалось добиться лучшего согласия с экспериментальными данными для энергии и распределения заряда. Небольшое превышение значения для среднеквадратичного зарядового радиуса можно объяснить использованием зарядового распределения в свободном ядре ⁴He, отличающегося от зарядового распределения в α-кластерах ядра ⁹Be. Более точный вид (33) взаимодействия α-кластеров в ядре ⁹Be отличается более мягким отталкивательным кором, в отличие от потенциала Али-Бодмера для сталкивающихся α-частиц в области малых расстояний между центрами α-кластеров $r\le 2$ фм. Это позволяет судить о видоизменении α-кластеров в ядре ⁹Be по сравнению со свободными α-частицами, в частности, об их поляризации, деформации и взаимном перекрытии.

Структуру ядра ⁹Be дают картины плотности вероятности для трехтельной волновой функции, представленные на рис. 3. Показана плотность вероятности ${\left|{\Psi }_0\right|}^2$ для двух значений угла между векторами Якоби $\theta =\pi /2$ и $\theta =0$ в сочетании с потенциальным рельефом. Соответствие между плотностью вероятности и потенциальным рельефом, в частности, наличие локальных максимумов ${\left|{\Psi }_0\right|}^2$ вблизи локальных минимумов потенциальной энергии свидетельствует о правильности выполненных расчетов. Наиболее вероятной является трехтельная конфигурация с валентным нейтроном между α-частицами при расстоянии между их центрами $x=\left|{\overrightarrow{r}}_{{\alpha }_2}-{\overrightarrow{r}}_{{\alpha }_1}\right|\approx$3 фм, что соответствует окрестности минимума потенциала $V_{\alpha -\alpha }\left(r\right)$ (рис. 1б). Представленные на рис. 3 распределения плотности вероятности, согласуются с представлениями о структуре ядра ⁹Bе как о ядерной молекуле, состоящей из двух α-частиц (α-кластеров) и внешнего (валентного) нейтрона [3, 4]. Полученные результаты соответствуют приведенным в работах [3, 4] картинам относительного расположения α-кластеров и нейтрона и уточняют пространственные параметры этой ядерной молекулы.

 

Рис. 3. Плотность вероятности ${\left|{\Psi }_0\left(R,r,cos\theta \right)\right|}^{\mathbf{2}}$ (градации серого в линейном масштабе) для двух значений угла между векторами Якоби $\overrightarrow{\mathbf{R}}\mathbf{,}\overrightarrow{\mathbf{r}}$: $\mathit{\theta }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{2}$ (а) и $\mathit{\theta }\mathbf{=}\mathbf{0}$ (б), вычисленная для ${\mathit{n}}_{\mathbf{max}}\mathbf{=}\mathbf{14,}{\mathit{L}}_{\mathbf{max}}\mathbf{=}\mathbf{14,}{\mathit{\rho }}_{\mathbf{max}}\mathbf{=}\mathbf{30}$ фм, h = 0.2 фм, вместе с линиями уровня потенциальной энергии системы. В разрывах некоторых линий уровня показаны значения потенциальной энергии системы $\mathit{U}$ (18).

 

Применение сплайн-интерполяции позволяет построить гладкие решения на всем интервале $\left({\rho }_{\min },{\rho }_{\max }\right)$ даже при не очень малом шаге сетки h. Результаты численного решения гиперрадиальных уравнений с использованием интерполяции кубическими сплайнами показаны на рис. 4 для h = 1 фм. Сходимость результатов к точному значению энергии энергия отделения нейтрона от ядра ⁹Be, близкому к экспериментальному значению $E_0=-1.664\text{МэВ}$ (см., например, [12]), продемонстрирована в табл. 1 и 2.

 

Рис. 4. Примеры решений системы гиперрадиальных уравнений (14) для ${\mathit{n}}_{\mathbf{max}}\mathbf{=}\mathbf{16,}{\mathit{L}}_{\mathbf{max}}\mathbf{=}\mathbf{16,}{\mathit{\rho }}_{\mathbf{max}}\mathbf{=}\mathbf{30}$ фм, h = 1 фм,: значения функций ${\mathit{\chi }}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{l}}\mathbf{\left(}\mathit{\rho }\mathbf{\right)}$ в узлах сетки ‒ символы: кружки для $\mathit{n}\mathbf{=}\mathit{l}\mathbf{=}\mathbf{0}$, квадраты для $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{1,}\mathit{l}\mathbf{=}\mathbf{0}$, точки для $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{0,}\mathit{l}\mathbf{=}\mathbf{2}$, треугольники для $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathit{l}\mathbf{=}\mathbf{2}$ (а); квадраты для $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{8,}\mathit{l}\mathbf{=}\mathbf{0}$, точки для $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{0,}\mathit{l}\mathbf{=}\mathbf{8}$, треугольники для $\mathit{n}\mathbf{=}\mathit{l}\mathbf{=}\mathbf{8}$ (б); квадраты для $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{16,}\mathit{l}\mathbf{=}\mathbf{0}$, точки для $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{0,}\mathit{l}\mathbf{=}\mathbf{16}$, треугольники для $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{16,}\mathit{l}\mathbf{=}\mathbf{16}$ (в); результаты интерполяции кубическими сплайнами между узлами ‒ кривые.

 

Таблица 1. Результаты расчета при ${\mathit{\rho }}_{\mathbf{max}}\mathbf{=}\mathbf{30}$ фм, h =0.2 фм энергии ${\mathit{E}}_{\mathbf{0}}$ основного состояния системы (α + n + α) и среднеквадратичных радиусов ${\mathbf{⟨}{\mathbf{r}}_{\mathbf{\alpha }}^{\mathbf{2}}\mathbf{⟩}}^{\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{2}}$, ${\mathbf{⟨}{\mathbf{r}}_{\mathbf{\text{Be}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{⟩}}^{\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{2}}$ для потенциала Али-Бодмера (29) и для потенциала (33) с параметрами (42), (43); экспериментальные значения равны ${\mathit{E}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1.664}$ МэВ и ${\mathbf{⟨}{\mathbf{r}}_{\mathbf{\text{Be}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{⟩}}^{\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{2}}$ = 2.52 фм (см., например, [12])

Параметр		$E_0$, МэВ		${⟨r_{\alpha }^2⟩}^{1/2}$, фм		${⟨r_{\text{Be}}^2⟩}^{1/2}$, фм
$n_{\max }$	$l_{\max }$	$V_{\alpha -\alpha }^{\left(\text{N}\right)}$ (29)	$V_{\alpha -\alpha }^{\left(\text{N}\right)}$ (33)	$V_{\alpha -\alpha }^{\left(\text{N}\right)}$ (29)	$V_{\alpha -\alpha }^{\left(\text{N}\right)}$ (33)	$V_{\alpha -\alpha }^{\left(\text{N}\right)}$ (29)	$V_{\alpha -\alpha }^{\left(\text{N}\right)}$ (33)
2	2	‒0.5814	‒0.9979	2.3260	2.0577	2.7875	2.6466
4	4	‒1.0813	‒1.4824	2.2333	2.0	2.7854	2.6020
6	6	‒1.2378	‒1.6135	2.2308	2.0079	2.7834	2.6081
8	8	‒1.2815	‒1.6471	2.2418	2.0160	2.7922	2.6144
10	10	‒1.2949	‒1.6562	2.2502	2.0237	2.7989	2.6203
12	12	‒1.2993	‒1.6591	2.2530	2.0266	2.8012	2.6225

 

Таблица 2. Таблица значений энергии (в МэВ) основного состояния системы из двух α-кластеров и нейтрона (или энергия отделения нейтрона от ядра ⁹Be) при разном шаге h и разных максимальных значениях квантовых чисел ${\mathit{n}}_{\mathbf{max}}$, ${\mathit{l}}_{\mathbf{max}}$ при ${\mathit{\rho }}_{\mathbf{max}}\mathbf{=}\mathbf{30}$ фм

$n_{\max }$	$l_{\max }$	h, фм
		1	0.5	0.2
4	4	‒1.4160	‒1.4661	‒1.4824
8	8	‒1.5800	‒1.6307	‒1.6471
12	12	‒1.5925	‒1.6429	‒1.6591
16	16	‒1.5939	‒1.6442	‒1.6602

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенный метод решения гиперрадиальных уравнений может быть полезен для исследования трехтельных систем в ядерной и атомной физике. Для ядра ⁹Ве он позволил рассчитать энергию отделения нейтрона, среднеквадратичный зарядовый радиус, зарядовое распределение и получить согласие с экспериментальными значениями.

Авторы выражают благодарность команде гетерогенного кластера лаборатории информационных технологий ОИЯИ за содействие выполнению трудоемких компьютерных расчетов.

About the authors

A. S. Bazhin

Joint Institute for Nuclear Research; Dubna State University

Author for correspondence.
Email: vichshizik@gmail.com
Russian Federation, Dubna, 141980; Dubna, 141982

V. V. Samarin

Joint Institute for Nuclear Research; Dubna State University

Email: vichshizik@gmail.com
Russian Federation, Dubna, 141980; Dubna, 141982

References

Supplementary files