Bragg resonances in the yttrium iron garnet – platinum – yttrium iron garnet layered structure

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Слоистые структуры из магнитных диэлектриков и проводников с сильной спин-орбитальной связью рассматривают как одни из базовых элементов для разработки чисто спиновых информационных и коммуникационных технологий, в которых движущиеся заряды заменены спиновыми волнами (СВ) или магнонами [1–3]. Наиболее перспективным материалом, в котором возможно распространение СВ, являются ферромагнитные пленки железоиттриевого граната (Y₃Fe₅O₁₂, YIG), ввиду малого уровня потерь, слабой магнитной анизотропии, возможности масштабирования вплоть до нескольких нанометров и хорошую интегрируемость с полупроводниковыми технологиями [4, 5]. В качестве проводника используют нормальные металлы, в частности пленки платины (Pt), характеризующиеся сильной спин-орбитальной связью и максимальным значением угла Холла, а также имеющие толщину порядка нескольких нм, которая близка к длине диффузии спинов [5].

Электрический ток в Pt за счет обратного спинового эффекта Холла генерирует спиновый ток (СТ). Спиновый ток, в свою очередь, за счет передачи спинового крутящего момента (spin transfer torque) на интерфейсе YIG/Pt приводит к усилению, либо ослаблению СВ в YIG [6, 7, 5]. Соответственно, в слоистых структурах, состоящих из двух слоев YIG, разделенных слоем Pt, СТ приводит к усилению СВ в одном слое YIG и ослабление в другом. В такой структуре возможно нарушение симметрии во времени и пространстве [8–10].

Использование магнонных кристаллов (МК) – ферромагнитных пленок с периодической модуляцией параметров – создает условия для формирования брэгговских резонансов для волновых чисел $k_B=\frac{\pi }{L}$ (L – период структуры), удовлетворяющих условию Брэгга [11]. На частотах брэгговских резонансов формируются запрещенные зоны – полосы непропускания в спектре СВ. В слоистых структурах на основе МК, разделенных диэлектрической прослойкой за счет взаимодействия прямых и отраженных симметричных и антисимметричных нормальных волн связанной структуры число брэгговских резонансов увеличивается [12, 13].

Влияние СТ на формирование брэгговских резонансов в МК до настоящего времени не рассматривалось. Однако, следует ожидать, что за счет различного влияния на прямые и отраженные симметричные и антисимметричные волны, СТ может приводить, к изменению условий и эффективности их взаимодействия. Целью работы является исследование взаимодействия СТ в проводнике с сильной спин-орбитальной связью и СВ в ферромагнитной среде с периодической модуляцией толщины, в условиях брэгговских резонансов и межслойной связи. Построена волновая модель для описания спин-волновой эволюции в структуре YIG/Pt/YIG. Получено дисперсионное соотношение для спиновых волн под действием СТ. Выявлена возможность управления брэгговскими резонансами СВ с помощью СТ.

МОДЕЛЬ И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

На первом этапе рассмотрим слоистую структуру, состоящую из двух ферромагнитных пленок без модуляции толщины (ФП-1 и ФП-2), имеющих толщину d и намагниченность насыщения M₀. Ферромагнитные пленки разделены слоем НМ толщины D (меньше толщины скин-слоя). В этом случае ферромагнитные волноводы оказываются связаны, как через дипольное взаимодействие ВЧ магнитных полей [14, 12], так и через обменное взаимодействие Рудермана–Киттеля–Касуя–Иосиды (РККИ) [15]. Взаимодействие РККИ реализуется через электроны проводимости в НМ, поляризация которых зависит от спинов атомов в одном из ферромагнитных слоев, и влияет на спины атомов во втором ферромагнитном слое.

К слою НМ прикладывается напряжение, спиновый эффект Холла проявляется в том, что в направлении перпендикулярном электрическому току J_E (т.е., в направлении оси z) происходит разделение электронов с противоположными направлениями спинов $\overrightarrow{\sigma }$. Таким образом, электроны с одним направлением спинов $\overrightarrow{\sigma }$ перейдут к верхней поверхности слоя НМ, а электроны с другим направлением спинов $\overrightarrow{\sigma }$ перейдут к нижней поверхности НМ. В результате вдоль оси z потечет спиновый ток плотностью J_S. Спины у поверхности НМ передают свой спиновый крутящий момент ${\overrightarrow{\tau }}_{stt}$ поверхностным спинам в ФП [5, 6]. Благодаря дипольным и обменным взаимодействиям крутящий момент передается другим спинам вглубь толщины ФП и, соответственно, спиновой волне, распространяющейся в ФП¹.

То, с каким направлением спинов окажутся электроны у границы, например ФП-1/НМ, зависит от направления тока в НМ. Если направление спинов на границе $\overrightarrow{\sigma }$ противоположно направлению оси вокруг которой прецессируют магнитные моменты в ФП (оси x) $\overrightarrow{\sigma }\uparrow \downarrow {\overrightarrow{H}}_0$), то спиновый крутящий момент ${\overrightarrow{\tau }}_{stt}$ направлен противоположно затуханию ${\overrightarrow{\tau }}_d$ (damping torque). Тогда  увеличивает угол прецессии магнитных моментов в ФП-1 (γ), т.е. усиливает СВ (см. рис. 1а). Если направление спинов на границе $\overrightarrow{\sigma }$ сонаправлено с осью, вокруг которой прецессируют магнитные моменты в ФП-1 ($\overrightarrow{\sigma }\uparrow \downarrow {\overrightarrow{H}}_0$). В этом случае спиновый крутящий момент ${\overrightarrow{\tau }}_{stt}$ сонаправлен с затуханием ${\overrightarrow{\tau }}_d$. Тогда ${\overrightarrow{\tau }}_{stt}$ уменьшает угол γ, т.е. ослабляет СВ (рис. 1б).

 

Рис. 1. Схема прецессии вектора намагниченности в МК-1 (а) и МК-2 (б). Схема исследуемой структуры (в)

 

При протекании электрического тока J_E > 0 в НМ электроны $\overrightarrow{\sigma }\uparrow \downarrow {\overrightarrow{H}}_0$ будут смещаться в сторону интерфейса НМ/ФП-1 (что приведет к усилению СВ в ФП-1), как показано на рис. 1а. Электроны с $\overrightarrow{\sigma }\uparrow \uparrow {\overrightarrow{H}}_0$ будут смещаться в сторону интерфейса НМ/ФП-2 (что приведет к ослаблению СВ в ФП-2), как показано рис. 1б. Для тока отрицательной полярности J_E < 0 ситуация противоположная.

Магнитная динамика в исследуемой структуре может быть описана уравнением Ландау–Лифшица–Гильберта с учетом члена Слончевского [5, 6, 8]:

$\frac{\partial {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{1,2}}}{\partial t}=-\gamma {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{1,2}}\times {\overrightarrow{H}}^{eff\mathrm{1,2}}+\frac{{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{1,2}}}{M_0}\times \left[\alpha \frac{\partial {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{1,2}}}{\partial t}\pm \tau \overrightarrow{\sigma }\times {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{1,2}}\right]$, (1)

где ${\overrightarrow{M}}^{\mathrm{1,2}}$ – намагниченность ФП-1 и ФП-2, M₀– намагниченность насыщения ФП-1 и ФП-2, α – затухание Гильберта, $\tau =\frac{\gamma {\theta }_{SH}S\overline{h}}{2eD{M}_0}{J}_E$ – спиновый крутящий момент, J_E – плотность электрического тока, $J_S={\theta }_{SH}{J}_E$ – плотность спинового тока, D – толщина НМ, γ – гиромагнитное соотношение, e – заряд электрона, θ_SH – угол Холла, S – прозрачность интерфейса между НМ и ФП-1 (ФП-2), $\overline{h}$ – приведенная постоянная Планка. Также в соотношении (1) эффективное магнитное поле ${\overrightarrow{H}}^{eff\mathrm{1,2}}={\overrightarrow{H}}_0+{\overrightarrow{h}}_{\mathrm{1,2}}+\frac{2A_{ex}}{M_0}{\nabla }^2{\overrightarrow{M}}_{\mathrm{1,2}}+\frac{K_{ex}}{M_{0}D}{\overrightarrow{M}}_{\mathrm{2,1}}+K_{dip}{\overrightarrow{h}}_{\mathrm{2,1}}$, включающее внешнее магнитное поле ${\overrightarrow{H}}_0$, обменное взаимодействие (A_ex – постоянная обмена в ФП-1 и ФП-2), межслойное обменное взаимодействие РККИ (K_ex – постоянная РККИ), дипольную связь между ФП-1 и ФП-2 (${\overrightarrow{h}}_{\mathrm{1,2}}$ – ВЧ компоненты магнитных полей, $K_{dip}=\exp \left(-kD\right)$ – коэффициент связи).

Исследуемая структура помещена во внешнее магнитное поле ${\overrightarrow{H}}_0$, направленное вдоль оси x (как показано на рис. 1в), при этом в ФП-1 и ФП-2 вдоль оси y распространяется СВ, представляющая собой волну прецессии вектора намагниченности. Представим вектор намагниченности в виде суммы постоянной компоненты, направленной вдоль внешнего магнитного поля, и переменной ВЧ компоненты ${\overrightarrow{M}}^{\mathrm{1,2}}={\overrightarrow{M}}^0+{\overrightarrow{m}}^{\mathrm{1,2}}$.

Распишем соотношение (1) в проекциях на оси координат:

$\begin{array}{c}\frac{\partial m_y^{\mathrm{1,2}}}{\partial t}=-\gamma \frac{2A_{ex}}{M_0}\frac{{\partial }^2{m}_z^{\mathrm{1,2}}}{\partial y^2}+\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}{m}_z^{\mathrm{1,2}}-\\ -\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}{m}_z^{\mathrm{2,1}}+\gamma H_0{m}_z^{\mathrm{1,2}}-\gamma M_0{h}_z^{\mathrm{1,2}}-\\ -\gamma K_{dip}{M}_0{h}_z^{\mathrm{2,1}}+\alpha \frac{\partial m_z^{\mathrm{1,2}}}{\partial t}\pm \tau m_y^{\mathrm{1,2}},\\ \begin{array}{c}\frac{\partial m_z^{\mathrm{1,2}}}{\partial t}=\gamma \frac{2A_{ex}}{M_0}\frac{{\partial }^2{m}_y^{\mathrm{1,2}}}{\partial y^2}-\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}{m}_y^{\mathrm{1,2}}+\\ +\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}{m}_y^{\mathrm{2,1}}-\gamma H_0{m}_y^{\mathrm{1,2}}+\gamma M_0{h}_y^{\mathrm{1,2}}+\\ +\gamma K_{dip}{M}_0{h}_y^{\mathrm{2,1}}-\alpha \frac{\partial m_y^{\mathrm{1,2}}}{\partial t}\pm \tau m_z^{\mathrm{1,2}}.\end{array}\end{array}$ (2)

Введем обозначения $m_{+}^{\mathrm{1,2}}=m_z^{\mathrm{1,2}}+j{m}_y^{\mathrm{1,2}}$, $m_{-}^{\mathrm{1,2}}=m_z^{\mathrm{1,2}}-j{m}_y^{\mathrm{1,2}}$.

Переменные составляющие магнитного поля и намагниченности связаны соотношениями вида [13]:

$h_{+}^{\mathrm{1,2}}=-2\pi (m_{+}^{\mathrm{1,2}}-m_{-}^{\mathrm{1,2}})-j4\pi d\frac{\partial m_{-}^{\mathrm{1,2}}}{\partial y}, h_{-}^{\mathrm{1,2}}=2\pi (m_{+}^{\mathrm{1,2}}-m_{-}^{\mathrm{1,2}})$. (3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим:

$\begin{array}{c}\frac{\partial m_{+}^{\mathrm{1,2}}}{\partial t}=j{\omega }_H^{eff\mathrm{1,2}}{m}_{+}^{\mathrm{1,2}}-\\ -j{\omega }_M\left(-\frac{m_{+}^{\mathrm{1,2}}-m_{-}^{\mathrm{1,2}}}{2}-jd\frac{\partial m_{-}^{\mathrm{1,2}}}{\partial y}\right)-\\ -j\gamma K_{dip}{\omega }_M\left(-\frac{m_{+}^{\mathrm{2,1}}-m_{-}^{\mathrm{2,1}}}{2}-jd\frac{\partial m_{-}^{\mathrm{2,1}}}{\partial y}\right)-\\ -j\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}{m}_{+}^{\mathrm{2,1}},\end{array}$

$\frac{\partial m_{-}^{\mathrm{1,2}}}{\partial t}=-j{\omega }_H^{eff\mathrm{1,2}}{m}_{-}^{\mathrm{1,2}}+j{\omega }_M\frac{m_{+}^{\mathrm{1,2}}-m_{-}^{\mathrm{1,2}}}{2}+j{K}_{dip}{\omega }_M\frac{m_{+}^{\mathrm{2,1}}-m_{-}^{\mathrm{2,1}}}{2}+j\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}{m}_{-}^{\mathrm{2,1}}$, (4)

где${\omega }_M=4\pi \gamma M_0, {\omega }_H^{eff\mathrm{1,2}}=\gamma H_0-\gamma \frac{2A_{ex}}{M_0}\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}+\alpha \frac{\partial }{\partial t}\pm j\tau$.

Для переменных намагниченностей $m^{\mathrm{1,2}}=m_z^{\mathrm{1,2}}/M_0$ система (4) примет вид:

$\frac{{\partial }^2{m}^{\mathrm{1,2}}}{\partial t^2}+{{\omega }_{\perp }^{\left(eff\mathrm{1,2}\right)}}^2{m}^{\mathrm{1,2}}+j\frac{{{\omega }_M}^{2}d}{2}\frac{\partial m^{\mathrm{1,2}}}{\partial y}+j{K}_{dip}\frac{{{\omega }_M}^{2}d}{2}\frac{\partial m^{\mathrm{2,1}}}{\partial y}+\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}\left({\omega }_M+\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}\right)m^{\mathrm{2,1}}=0$, (5)

где ${\omega }_{\perp }^{eff\mathrm{1,2}}=\sqrt{{\omega }_H^{eff\mathrm{1,2}}\left({\omega }_H^{eff\mathrm{1,2}}+{\omega }_M\right)}$.

Перейдем к рассмотрению периодической структуры, состоящей двух магнонных кристаллов (МК-1 и МК-2), разделенных слоем НМ. МК-1 и МК-2 представляют собой ферромагнитные пленки, на поверхность которых нанесена периодическая структура с периодом L в виде канавок глубиной ∆ (b = a – ∆ – толщина пленки в области канавки, a – толщина пленки в области столбика), шириной l (ширина столбика c = L – l), как показано на рис. 2.

 

Рис. 2. Схема исследуемой структуры в проекции zОy

 

В этом случае толщина ферромагнитных пленок является периодической функцией d = b + δ(y), где $\delta \left(y\right)=\delta \left(y+L\right)=\left\{\begin{array}{c}\Delta , nL⩽y⩽c+nL,\\ \mathrm{0,} c+nL⩽y⩽\left(n+1\right)L, n⩾1.\end{array}\right.$. Раскладывая δ(y) в ряд Фурье и ограничиваясь членами с n = 0, ±1 получим [12]:

$d=d_0\left(1+{\delta }_d\cos \left(\frac{\pi }{L}y\right)\right)$, (6)

где $d_0=b+\frac{\Delta c}{L}, {\delta }_d=\frac{2\Delta }{\pi d_0}\sin \frac{\pi c}{L}$.

Используя метод связанных волн [16], решение уравнений (5) представим в виде суммы прямых волн и волн, отраженных от периодических канавок:

$m^{\mathrm{1,2}}=A^{\mathrm{1,2}}\exp \left[j\left(\omega t-k_{0}y\right)\right]+B^{\mathrm{1,2}}\exp \left[j\left(\omega t+k_{-1}y\right)\right]$, (7)

где A^1,2 и B^1,2 – медленно меняющиеся комплексные амплитуды огибающих прямых и отраженных волн, k₀ – постоянная распространения «0» гармоники, k_–1 относится к «–1» гармонике, k₀ и k_–1 связаны условием Брэгга: $k_{-1}=-k_0+2k_B$, где $k_B=\pi /L$ – брэгговское волновое число.

Подставляя соотношения (6) и (7) в уравнения (5), в стационарном случае можно получить систему волновых уравнений для амплитуд огибающих прямых и отраженных волн в виде:

$\left\{\begin{array}{c}j\nu \frac{\partial }{\partial y}{A}^{\mathrm{1,2}}+{\eta }_0^{eff\mathrm{1,2}}{A}^{\mathrm{1,2}}+{\kappa }_0{B}^{\mathrm{1,2}}+{\chi }_0{A}^{\mathrm{2,1}}=\mathrm{0,}\\ -j\nu \frac{\partial }{\partial y}{B}^{\mathrm{1,2}}+{\eta }_{-1}^{eff\mathrm{1,2}}{B}^{\mathrm{1,2}}+{\kappa }_{-1}{A}^{\mathrm{1,2}}+{\chi }_{-1}{B}^{\mathrm{2,1}}=\mathrm{0,}\end{array}\right.$ (8)

где${\chi }_{\mathrm{0,}-1}=K_{dip}\nu k_{\mathrm{0,}-1}+\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}\left({\omega }_M+\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}\right)$, ${\kappa }_{\mathrm{0,}-1}=\frac{{\delta }_d}{2}\nu k_{-\mathrm{1,0}}$, ${\vartheta }_{\mathrm{0,}-1}=\frac{{\delta }_d}{2}{\chi }_{-\mathrm{1,0}}$, $\nu =\frac{{{\omega }_M}^2{d}_0}{2}$, ${\eta }_{\mathrm{0,}-1}^{eff1}=-{\omega }^2+{\left({\omega }_{{\perp }_{\mathrm{0,}-1}}^{eff1}\right)}^2+\nu k_{\mathrm{0,}-1}$, ${\eta }_{\mathrm{0,}-1}^{eff2}=-{\omega }^2+{\left({\omega }_{{\perp }_{\mathrm{0,}-1}}^{eff2}\right)}^2+\nu k_{\mathrm{0,}-1}$, ${\omega }_{{\perp }_{\mathrm{0,}-1}}^{eff1}=\sqrt{{\omega }_{H_{\mathrm{0,}-1}}^{eff1}\left({\omega }_{H_{\mathrm{0,}-1}}^{eff1}+{\omega }_M\right)}$, ${\omega }_{{\perp }_{\mathrm{0,}-1}}^{eff2}=\sqrt{{\omega }_{H_{\mathrm{0,}-1}}^{eff2}\left({\omega }_{H_{\mathrm{0,}-1}}^{eff2}+{\omega }_M\right)}$, ${\omega }_{H_{\mathrm{0,}-1}}^{eff1}=\gamma H_0+\gamma \frac{2A_{ex}}{M_0}{k_{\mathrm{0,}-1}}^2+\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}\pm j\left(\omega \alpha +\tau \right)$ и ${\omega }_{H_{\mathrm{0,}-1}}^{eff2}=\gamma H_0+\gamma \frac{2A_{ex}}{M_0}{k_{\mathrm{0,}-1}}^2+\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}\pm j\left(\omega \alpha -\tau \right)$ – частоты, связанные с эффективным магнитным полем прямых и отраженных волн в МК-1 и МК-2, соответственно.

Полагая производные в (8) равными нулю и приравнивая детерминант получившейся системы к нулю, получим дисперсионное соотношение вида:

$\left|\begin{array}{cccc}{\eta }_0^{eff1}& {\kappa }_0& {\chi }_0& {\vartheta }_0\\ {\kappa }_{-1}& {\eta }_{-1}^{eff1}& {\vartheta }_{-1}& {\chi }_{-1}\\ {\chi }_0& {\vartheta }_0& {\eta }_0^{eff2}& {\kappa }_0\\ {\vartheta }_{-1}& {\chi }_{-1}& {\kappa }_{-1}& {\eta }_{-1}^{eff2}\end{array}\right|=0$. (9)

Диагональные компоненты определителя (9) ${\eta }_{\mathrm{0,}-1}^{eff1}$ (при K_ex = 0), приравненные к нулю, представляют собой дисперсионные соотношения для прямой и отраженной СВ в однородных пленках без канавок [17, 18, 14]. Недиагональные компоненты χ_0,–1, описывают дипольное и РККИ взаимодействие между СВ в МК-1 и МК-2. При χ_0,–1 = 0 приходим к дисперсионным уравнениям для СВ в одном МК, нагруженном слоем НМ. Компоненты κ_0,–1 описывают связь между прямыми и отраженными волнами в каждом МК. При κ_0,–1 = 0 соотношение (9) описывает дисперсионное соотношение для СВ в структуре из двух ферромагнитных пленок без модуляции параметров, разделенных слоем НМ [8]. Компоненты ${\vartheta }_{\mathrm{0,}-1}$ описывают связь между прямыми и отраженными волнами в разных МК.

При брэгговском волновом числе k_0,–1 = k_B, в отсутствии связи между прямыми и отраженными волнами (κ_0,–1 = 0) и потерь (α = 0), решение (9) имеет вид:

${{\omega }_B^{\left(\mathrm{1,2}\right)}}^2={\omega }^2={{\omega }_{\perp }}^2+\nu k_B-{\tau }^2\pm \sqrt{{\chi }^2-{\tau }^2{\left(2{\omega }_H+{\omega }_M\right)}^2}$, (10)

где ${\omega }_{\perp }=\sqrt{{\omega }_H\left({\omega }_H+{\omega }_M\right)}, {\omega }_H=\gamma H_0+\gamma \frac{2A_{ex}}{M_0}{k_B}^2+\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}, {\omega }_H=\gamma H_0+\gamma \frac{2A_{ex}}{M_0}{k_B}^2+\gamma \frac{K_{ex}}{M_{0}D}, \chi ={\chi }_{\mathrm{0,}-1}=K_{dip}\nu k_B+\gamma \frac{{\displaystyle K_{ex}}}{{\displaystyle M_{0}D}}\left({\omega }_M+\gamma \frac{{\displaystyle K_{ex}}}{{\displaystyle M_{0}D}}\right)$. Частоты ${\omega }_B^{\mathrm{1,2}}$ являются частотами фазового синхронизма прямых и отраженных волн при k_0,–1 = k_B.

Положим $\omega ={\omega }_B^{\mathrm{1,2}}$ и используем в (8) подстановку $A^{\mathrm{1,2}}~\exp \left[jqy\right]$, $B^{\mathrm{1,2}}~\exp \left[jqy\right]$, где q – искомая добавка к волновому числу k_B. Приравняем определитель системы к нулю и найдем решение характеристического уравнения, в предположении ${\vartheta }_{\mathrm{0,}-1}=0$, в виде:

$q=\pm \frac{j}{\nu }\sqrt{{\kappa }^2+{{\tau }^{\text{'}}}^2-0.5{\chi }^2\pm 0.5\sqrt{{\left(2{\kappa }^2+4{{\tau }^{\text{'}}}^2-{\chi }^2\right)}^2-4{\kappa }^2\left({\kappa }^2-{\chi }^2\right)}}$, (11)

где ${{\tau }^{\text{'}}}^2=2{\tau }^2\left(4{\omega }_H\left({\omega }_H+{\omega }_M\right)+{{\omega }_M}^2\right)$. Из решений видно, что в случае одиночного слоя YIG в отсутствии СТ (τ = χ = 0) добавка к волновому числу k_B является мнимой величиной q = ± jk, что соответствует затуханию СВ на частоте ${\omega }_B={\omega }_B^1={\omega }_B^2$, являющейся частотой брэгговского резонанса. Данная частота является центральной частотой полосы непропускания СВ – запрещенной зоны, а мнимая часть волнового числа пропорциональна глубине запрещенной зоны.

В структуре YIG/Pt/YIG формируются два брэгговских резонанса на частотах ${\omega }_B^{\mathrm{1,2}}$, отличных от частоты резонанса в одиночном слое YIG ω_B. На рис. 3а приведены зависимости резонансных частот ${\omega }_B^{\mathrm{1,2}}$ от величины и полярности СТ, построенные с использованием соотношения (10), при разных значениях связи между слоями YIG χ (дипольной связи и обменного РККИ взаимодействия). Видно, что при увеличении СТ высокочастотная запрещенная зона сдвигается вниз по частоте (сплошные кривые), а низкочастотная – вверх по частоте (пунктирные кривые), т.е. частотный интервал между зонами уменьшается и ЗЗ сливаются. При изменении полярности СТ тенденция сохраняется.

 

Рис. 3. Зависимость от величины и полярности СТ резонансных частот ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{1}}$ (сплошные кривые) и ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{2}}$ (пунктирные кривые) (а), мнимых частей добавок к брэгговскому волновому числу Im(q) для прямых волн (кривые 1) и отраженных волн (кривые 2) при разных значениях χ (дипольной связи и обменного РККИ взаимодействия) (б) (χ₁ = 2.8 × 10¹⁹ рад²/нс², χ₂ = 4.1 × 10¹⁹ рад²/нс², χ₃ = 5.5 × 10¹⁹ рад²/нс²). Расчетные параметры: D = 10 нм, M₀ = 140 Гс, α = 10^‒4, L_1,2 = 50, с = 25 нм, a = 100 нм, Δ = 40 нм, b = 60 нм, H₀ = 800 Э, A_ex = 4.7 Гс² мкм², θ_SH = 0.08, S = 1, K_ex = 728 Гс² мкм, K_dip = 0.2

 

На рис. 3б приведены зависимости мнимых частей добавок Im(q)) при $\omega ={\omega }_B^{\mathrm{1,2}}$ от величины и полярности СТ, построенные с использованием соотношения (11), при разных значениях связи между слоями YIG χ. Видно, что в отсутствии СТ τ = 0 значение Im(q) > 0 для прямых волн (кривые 1) и Im(q) < 0 для отраженных волн (кривые 2), что соответствует затуханию прямых волн и формированию ЗЗ. При увеличении СТ модуль Im(q) увеличивается, т.е. растет глубина ЗЗ. При изменении полярности СТ тенденция сохраняется.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, изучены особенности брэгговских резонансов при распространении спиновых волн в слоистой структуре на основе ферромагнтиных пленок (YIG) с периодической модуляцией толщины, разделенных слоем проводника с сильной спин-орбитальной связью (Pt). Показано, что за счет взаимодействия прямых и отраженных волн возможно формирование запрещенных зон: полос непропускания спиновых волн, соответствующих условиям брэгговских резонансов. Запрещенные зоны формируются при брэгговских волновых числах и частотах, отличных от брэгговских частот для каждого из слоев YIG в отдельности.

Спиновых ток в Pt приводит к различному изменению эффективного магнитного поля для прямых и отраженных волн в каждом МК, что позволяет управлять частотным положением и глубиной запрещенных зон. В частности, при увеличении СТ высокочастотная запрещенная зона смещается вниз по частоте, а низкочастотная запрещенная зона – вверх по частоте, т.е. частотный интервал между зонами уменьшается и зоны сливаются. При этом также увеличивается глубина запрещенных зон на частотах брэгговских резонансов.

Практическая важность результата состоит в том, что управление брэгговским резонансами спиновых волн с помощью спинового тока открывает возможность для использования такой структуры в качестве базового функционального элемента частотно-селективных СВЧ устройств с двойным (электрическим и магнитным) управлением.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 23-29-00759).

¹ Эффекты, связанные со спиновой накачкой (spin pumping) в данном случае, будем считать незначительными [5].

About the authors

N. D. Lobanov

Saratov State National Research University

Author for correspondence.
Email: nl_17@mail.ru
Russian Federation, Saratov

O. V. Matveev

Saratov State National Research University

Email: nl_17@mail.ru
Russian Federation, Saratov

M. A. Morozova

Saratov State National Research University

Email: nl_17@mail.ru
Russian Federation, Saratov

References

Supplementary files