Properties of fractal speckle-like structures

Abstract

Regarding the use in art therapy and ophthalmology, the properties of fractal speckle-like images are considered. For their construction, both the traditional approach based on the use of two-dimensional fractal functions and a new technique based on the representations of dynamic chaos were used. The important role of the scaling characteristics of the Fourier transforms of fractal light structures is revealed.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Методы фрактальной физики нашли применение при анализе и построении разнообразных пространственно-временных структур (см., например [1]). Большое внимание уделяется разработке и исследованию фрактальных световых полей, которые широко используются в устройствах различного предназначения. Например, волновые пучки, сформированные при прохождении плоской волны через пластину с канторовским профилем пропускания, обеспечивают многократную фокусировку излучения в процессе распространения [2]. Фрактальные вихревые пучки в силу их высокой степени устойчивости к влиянию турбулентных неоднородностей нашли использование в атмосферных линиях связи [3].

В последнее время усилился интерес к изучению фрактальных спеклоподобных структур. Появился целый ряд свидетельств, указывающих на положительные примеры их использования в арттерапии [4, 5] (терапии искусством), медико-биологических исследованиях [6], светотерапии [7] и офтальмологии [8–10]. Анализ литературных данных указывает на то, что эффективность использования световых структур в арт-терапии, светотерапии и офтальмологии независимо от общей фактуры их амплитудно-фазового распределения существенно зависит от присутствия в них фрактальных признаков. Обращает на себя внимание впервые отмеченный в работе [8] факт улучшения психологического состояния пациента в ходе устранения глазной патологии. В [7] данные о снижении уровня беспокойства, разгрузке систем восприятия и положительной динамике влияния фрактальных лазерных визуальных динамических изображений на функциональное состояние человека получены методами электроэнцефалографии. Указанная связь между методами фрактальной терапии в офтальмологии и арт-терапии может быть объяснена особенностями обработки оптических сигналов в коре головного мозга. Ключевой момент, определяющий эту связь, состоит в том, что фурье-образы фрактальных световых полей, формируемые при обработке оптических сигналов в коре головного мозга, также обладают фрактальной структурой [11]. Благодаря этому низкие и высокие пространственные частоты обрабатываются в нейронной сети коры по одному алгоритму, что улучшает восприятие оптических изображений и усиливает связь между задействованными группами нейронов. В таких условиях у пациента возникает чувство комфорта, связанное с более легким восприятием особенностей изображения.

Способы генерации таких световых полей чаще всего используют алгоритмы, основанные на свойствах детерминированных и случайных функций [11] с фрактальными свойствами. В последнее время появились также сообщения о возможности использования моделей, базирующихся на представлениях о динамическом хаосе [12]. Цель данной работы состоит в том, чтобы установить, в какой степени различие подходов к формированию оптических фрактальных изображений и разброс используемых параметров может повлиять на проявление и связь скейлинговых свойств изображений и их пространственных спектров.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА

На первом этапе исследований поставленная задача решалась путем моделирования световых распределений с помощью двумерной функции Вейерштрасса [11]. Она имеет вид:

$W_{k,m}=\sigma \left[\sum _{v=0}^V\sum _{i=0}^N\left[b^{\left(D-2\right)i}\cdot \sin \left[2\pi s{b}^i\left[\left(\begin{array}{l}k-\frac{K+1}{2}\sin \left(\alpha v\right)+\\ +\left(m-\frac{K+1}{2}\right)\cos \left(\alpha v\right)\end{array}\right)\right]+{\psi }_i+{\psi }_v\right]\right]\right]+A.$ (1)

Здесь W_{k, m} — амплитуда поля, k, m — дискретные поперечные координаты (0 ≤ k, m ≤ K), K — размер рабочего поля, обеспечивающий удовлетворительное разрешение деталей распределения амплитуды, σ — стандартное отклонение амплитуды от среднего значения, N — количество гармоник, V — количество азимутальных парциальных волн, i — номер гармоники, ν — индекс азимутальной волны, α — элементарный азимутальный угол поворота, D — фрактальная размерность, b — параметр скейлинга, s — масштабирующий параметр, ѱ_i, ѱ_v — фазы компонент поля, A — компонента с однородным распределением амплитуды поля. При случайных значениях фаз ѱ_i, ѱ_v поле приобретало спеклоподобный вид.

Для оптимального применения в различных целях двумерных фрактальных оптических структур важно знание возможностей и способов управления их фрактальными, а также статистическими свойствами: функцией плотности вероятности интенсивности спекл-паттернов; средним характерным размером спеклов, их распределением по размерам. Такое управление можно осуществлять, варьируя параметры двумерной функции Вейерштрасса.

Характерное для генерируемых спекловых полей распределение интенсивности, соответствующие ему фурье (пространственный) спектр и гистограмма показаны на рис. 1 при следующих значениях параметров: σ = 0.15, V = 24, N = 6, b = 2.0, D = 1.3, s = 0.03, ѱ_i, ѱ_v — распределены случайным образом от 0 до 2π.

Рис. 1. Характеристики спеклоподобного поля (расчет): распределение интенсивности (а), структура пространственного спектра (б) (p, q — пространственные частоты), гистограммы распределения интенсивности (в) (1 — релеевская (A = 0) и 2 — нерелеевская (A = 2) статистика).

Гистограмма зависит от величины дополнительного однородного поля A, количества v азимутальных компонент и фрактальной размерности D функции Вейерштрасса. Статистика распределения интенсивности (см. рис. 1в) приближается к релеевской при стремлении A к нулю, увеличении числа v азимутальных компонент и фрактальной размерности D функции Вейерштрасса.

В процессе моделирования спекловых структур для различных наборов параметров было установлено, что распределения интенсивности независимо от ее статистики и их пространственных спектров обладают фрактальными свойствами. Их фрактальная размерность определялась на основе анализа поведения структурной функции [13]. Для нее использовалось следующее выражение:

$C_j=\frac{1}{\left(K-2^{2j}\right)}\sum _{k=0}^{K-2^j}\sum _{m=0}^{K-2^j}\left|I_{k+2^j,m}-I_{k,m+2^j}\right|.$ (2)

Здесь I — интенсивность (I = |W |²), K — размер рабочего поля, j = 0 – 3. По углу наклона графика этой функции, построенного в двойном логарифмическом масштабе, определяется сначала параметр Херста H, а затем из соотношения D = 2 – H — фрактальная размерность D_I двумерной спекловой структуры.

Величина D_I уступала величине фрактальной размерности функции Вейерштрасса D, задаваемой в (1), оставаясь меньше ее на 10–20%. Такое расхождение становится понятным, если учесть, что размерность D соответствует предельно возможному пространственному разрешению исследуемой структуры, а размерность D_I характеризует фрактальные свойства реального сгенерированного изображения. Величина D_I уступала также (на 35–20%) фрактальной размерности пространственных спектров, которая практически не зависела от величины D. Этот факт является важным свидетельством высокой степени структурной устойчивости спектров Фурье.

Распределение спеклов интенсивности двумерной спекловой структуры по размерам было исследовано методами вейвлет-анализа. Установлено, что средний размер спеклов интенсивности уменьшается по мере увеличения фрактальной размерности D, количества азимутальных компонент V, образующих двумерную структуру, и уменьшения амплитуды А дополнительной плоской волны. При этом доля мелких спеклов в распределении интенсивности возрастает.

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА

Во второй части работы рассматривается возможность получения фрактальных спеклоподобных изображений путем использования моделей динамического хаоса. В расчетах используются характеристики логистического квадратичного отображения [12], которое демонстрирует хаотическую динамику. Его можно описать простым выражением:

$x_{n+1}=\lambda x_n\left(1-x_n\right),$ (3)

определяющим связь между множеством x_n и x_n+1. Управляющий параметр ë меняется в диапазоне от 0 до 4.

Логистическое отображение обладает фрактальными свойствами. Обычно их наличие демонстрируют на основе анализа фрактальной структуры так называемой бифуркационной диаграммы, описывающей связь возможных значений x с управляющим параметром λ. Изменение управляющего параметра влечет самоподобный каскад бифуркаций удвоения периода, обусловливающий переход к хаосу.

В данной работе для определения фрактальных характеристик логистического отображения был выбран другой путь. Он был основан на обнаруженной в ходе проводимого анализа фрактальности зависимости x_n от n на границе перехода к хаосу. Эта граница лежит вблизи значения λ = 3.565. На рис. 2а для указанного значения управляющего параметра показана зависимость х_n от n, а на рис. 2б представлен ее фурье-образ F_p (он рассчитывался на основе быстрого преобразования Фурье).

Рис. 2. Динамическая зависимость x_n от n (а), ее фурье-образ (б) (p – пространственная частота, |F_p| — амплитуда спектральных компонент).

Фурье-образ обладает определенным самоподобием. Расположение максимумов амплитуды, помеченных цифрами 1, 3, 5, имеет схожий характер с расположением максимумов 2, 3, 4. Коэффициент подобия (скейлинга) для указанных конфигураций максимумов оказывается равным b = 2.

С использованием спектрального представления (рис. 2б) может быть построено двумерное фрактальное изображение (см. рис. 3а). Для него использовалось выражение:

$M_{p,q}=\left|F_p\right|\left|F_q\right|.$(4)

Рис. 3. Фрактальное изображение M_{p, q} (а). График структурной функции (б) (сплошная линия L_t), линейная аппроксимация (пунктир f_t).

Красным цветом на рисунке обозначены спеклоподобные выбросы интенсивности (некоторые из них обозначены цифрами 1–5). С точки зрения расположения они формируют самоподобные структуры с геометрией, отражающей структуру фурье-образа на рис. 2б.

Рядом на рис. 3б показан график L_t соответствующей структурной функции, построенный в двойном логарифмическом масштабе. Здесь же для сравнения показан близкий к нему график линейной функции f_t. Высокий коэффициент корреляции между этими графиками r = 0.98 доказывает фрактальность изображения на рис. 3а. Исходя из наклона линейной аппроксимации графика структурной функции находились параметр Херста и фрактальная размерность D_M [13]. В нашем случае величина D_M оказывается равной D_M = 1.3. По литературным данным [9], световые структуры с такой фрактальной размерностью характеризуются высокой эффективностью при использовании в медицинских технологиях. С точки зрения практического использования описанный способ генерации фрактальных структур удобен также в том отношении, что позволяет путем изменения количества итераций n менять эффективный размер спекловых образований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполненное моделирование свойств фрактальных световых структур показало, что, несмотря на принципиально отличающиеся способы их получения и разнообразие задаваемых параметров, соответствующие им пространственные спектры также обладают фрактальными свойствами. При этом несущественно, имеет ли структура регулярный или случайный (спеклоподобный) вид. Наличие скейлинга в спектрах позволяет объяснить высокую эффективность использования пространственно-временных световых структур с фрактальными свойствами при решении задач в области офтальмологии и арт-терапии [4, 7]. Возможность генерировать световые поля с фрактальной размерностью в диапазоне 1.2–1.5, близкой к размерности многих природных объектов, позволяет с учетом предыстории развития когнитивных процессов у человека заметно повысить эффективность фотостимуляции.

Помимо важных приложений фрактальные спеклоподобные структуры являются ценным объектом для физических исследований общего характера. В частности, представляют интерес их статистические характеристики. Одним из результатов данной работы является указание на возможность при сохранении фрактальных свойств принципиально изменять статистику распределения интенсивности путем перехода от релеевской к нерелеевской статистике.