Generation of Vertical Fine Structure by Internal Waves on a Shear Flow

Full Text

Введение

Тонкая структура в жидкой среде – весьма интересный объект, который изучается как теоретически, так и экспериментально в лабораторных экспериментах. При движении твердых тел в жидкости возникают структуры, которые поддаются детальному экспериментальному изучению и теоретическому анализу [1, 2]. При падении жидкой капли на жидкость появляются не менее интересные структуры [3], которые могут объяснять процессы в приповерхностном слое моря при выпадении осадков.

Тонкая структура гидрофизических полей была открыта почти полвека назад благодаря созданию высокоразрешающей зондирующей аппаратуры. Действительно, до ее открытия никто и не предполагал, что вертикальные профили температуры, солености на малых пространственных масштабах очень изменчивы. Эта изменчивость, как первоначально предполагалось ¹ [4], обусловлена мелкомасштабной турбулентностью – тоже до конца не понятым объектом. Но потом оказалось, что не только турбулентность ответственна за генерацию тонкой структуры, кинематический эффект внутренних волн тоже давал в измерениях тонкую структуру [5, 6]. Но это была не долгоживущая структура, так как после прохождения волнового пакета кинематический эффект исчезал.

Двойная диффузия давала механизм вертикального расслоения профилей температуры и солености океана ² [7–10]. Если температура и соленость уменьшаются с глубиной, возможно формирование конвективных ячеек в виде солевых пальцев [11–14], которые по градиентам характеристик заметно отличаются от окружающих слоев жидкости, т. е. возникает структура с чередованием тонких стратифицированных прослоек и квазиоднородных слоев. Это и есть тонкая структура. Такие условия весьма типичны для Мирового океана, и примерно 70% его толщи подвержены такому расслоению ². Двойная диффузия работает, когда температура и соленость растут с глубиной [15, 16]. Наличие геотермальных источников тепла у дна способствует этому процессу. Двойная диффузия может приводить к формированию ступенчатых структур, которые неоднократно наблюдались в натурных экспериментах [17, 18]. В области фронтов возможно интрузионное расслоение с взаимным проникновением вод с различными $T,S$-характеристиками [19–21]. Интрузии возможны при разрушении внутренних волн на кромке шельфа в области свала глубин [22].

Следует заметить, что все-таки такие условия реализуются не всегда и во внутренних морях вдали от фронтов скорее являются экзотикой, чем повсеместным явлением. А тонкая структура все равно существует, и ее объяснение требует подключения других механизмов, которые, конечно же, работают и в открытом океане. Обрушение внутренних волн и гидродинамическая неустойчивость течений – вот механизм, который был предложен для объяснения формирования тонкой структуры [23–26]. Однако оказалось, что внутренним волнам вовсе не обязательно обрушаться, чтобы формировать тонкую структуру. Волновое поле перемежаемо, и внутренние волны нередко распространяются в виде волновых пакетов [27]. Пакеты внутренних волн за счет нелинейности продуцируют малые поправки к плотности и скорости течения [28] с горизонтальным масштабом, равным масштабу огибающей пакета, а вертикальный масштаб определяется отношением $c_g/N$, где $c_g$ – групповая скорость пакета, $N$ – частота Брента – Вяйсяля. Однако эти поправки пропорциональны квадрату текущей амплитуды волны и исчезают после прохождения волнового пакета.

В диссипативной среде при учете вязкости и диффузии волны затухают и формируют пограничные слои в окрестности границ [29, 30]. Пучок трехмерных внутренних волн отражается от слоя совпадения частоты волны и частоты плавучести, причем отражение происходит с энергетическими потерями [31]. Потери могут составлять несколько процентов. На разрывах частоты плавучести или ее производных в пучке внутренних волн формируются внутренние пограничные слои, отраженный пучок также присутствует [31]. Пограничные слои имеют расщепленные масштабы по плотности и скорости. Эти пограничные течения и создают уже тонкую структуру периодического течения.

Внутренние волны при учете турбулентной вязкости и диффузии затухают [32, 33]. Вертикальные волновые потоки тепла, соли и импульса отличны от нуля и приводят к формированию уже необратимой тонкой структуры [34–38]. Но не только учет турбулентной вязкости и диффузии приводит к генерации вертикальной тонкой структуры. При учете вращения Земли и неоднородных средних течений вертикальные волновые потоки тепла, соли, массы отличны от нуля даже при неучете турбулентной вязкости и диффузии и приводят к формированию вертикальной тонкой структуры [39]. Вертикальные волновые потоки импульса также не равны нулю [40–44]. Однако в [39] не учитывался горизонтальный градиент средней плотности, который всегда присутствует в геострофически сбалансированном течении. Предполагалось, что горизонтальный масштаб волны много меньше масштаба неоднородности поля средней плотности. В настоящей работе горизонтальный градиент средней плотности учитывается, при этом проводится сравнение с результатами для однородного случая. В [39] краевая задача для амплитуды вертикальной скорости решается методом возмущений с введением малого параметра $\text{ε}=V_0/(H\cdot \text{ω})$, где $V_0$ – характерная скорость течения, $H$ – глубина, $\text{ω}$ – частота волны. Однако этот параметр не всегда мал, и в настоящей работе краевая задача для амплитуды вертикальной скорости внутренних волн решается численно по неявной схеме Адамса третьего порядка точности [40, 42].

Постановка задачи

В приближении Буссинеска рассматриваются свободные внутренние волны при учете вращения Земли и среднего двумерного вертикально-неоднородного течения в горизонтальном безграничном бассейне постоянной глубины [34–44]. Используется приближение f-плоскости. Горизонтальные градиенты средней плотности находятся из геострофических соотношений ³ и выражаются через вертикальные сдвиги компонент скорости течения, как это сделано в [45]. Система уравнений гидродинамики для волновых возмущений в приближении Буссинеска имеет следующий вид:

$\frac{Du}{Dt}+2\left[{\Omega }_{\perp }\times u\right]+u_3\frac{d{U}^0}{d{x}_3}=-\frac{1}{{\overline{\rho }}_0}\nabla P+g\frac{\rho }{{\overline{\rho }}_0}$, (1)

$\frac{D\rho }{Dt}+(u\nabla ){\rho }_0=0$, (2)

$divu=0$, (3)

где $u(u_1,u_2,u_3)$ – вектор волновых возмущений скорости течения; $\text{ρ}$, $P$ – волновые возмущения плотности и давления; ${\text{ρ}}_0$ – невозмущенная средняя плотность; ось $x_3$ направлена противоположно вектору ускорения свободного падения $g$; ${\Omega }_{\perp }$ – вектор проекции угловой скорости вращения Земли на ось $x_3$; $U^0$$\left(U_1^0\left(x_3\right),U_2^0\left(x_3\right),0\right)$ – вектор скорости среднего течения; оператор $\frac{D}{Dt}$ имеет вид $\frac{D}{Dt}=\frac{\partial }{\partial t}+\left((u+U^0)\nabla \right)$.

Из соотношений «термического ветра» ³ [45] компоненты горизонтального градиента средней плотности выражаются через вертикальные сдвиги скорости течения следующим образом:

$\frac{\partial {\rho }_0}{\partial x_1}=-\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}$, (4)

$\frac{\partial {\rho }_0}{\partial x_2}=\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}$, (5)

где $f=2\left({\Omega }_{\perp }{e}_3\right)=2{\Omega }_E\sin \phi$ – параметр Кориолиса, $e_3$ – орт оси $x_3$, ${\Omega }_E$ – угловая скорость вращения Земли, φ – широта.

После подстановки соотношений (4), (5) в уравнение (2) последнее преобразуется к виду

$\frac{D\rho }{Dt}-u_1^{}\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}+u_2\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}+u_3\frac{\partial {\rho }_0}{\partial x_3}=0$. (6)

Граничное условие на поверхности моря – условие «твердой крышки», которое отфильтровывает внутренние волны от поверхностных, на дне – условие непротекания ⁴:

$u_3=0$ при $x_3=0$, (7)

$u_3=0$ при $x_3=-H$, (8)

где $H$ – глубина моря.

Линейное приближение. Решения уравнений (1), (3), (6) в линейном приближении при условии горизонтальной однородности частоты Брента – Вяйсяля на масштабе волны ищем в следующем виде [34–45]:

$u_i=u_{i0}\left(x_3\right)A{e}^{i\theta }+c.c.$,  $i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3$, (9)

$P=P_1\left(x_3\right)A{e}^{i\theta }+c.c.$, $\rho ={\rho }_1\left(x_3\right)A{e}^{i\theta }+c.c.$, (10)

где $\text{c.c.}$ – комплексно сопряженные слагаемые; $A$ – амплитудный множитель; $\theta =k{x}_1-\omega t$ – фаза волны, $k$ – горизонтальное волновое число, $\text{ω}$ – частота волны. Предполагается, что волна распространяется вдоль оси $x_1$.

Из системы (1), (3), (6) следуют выражения для амплитудных функций $u_{10},u_{20},{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}ρ}}_1,P_1$ через $u_{30}$:

$u_{10}=\frac{i}{k}\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3},\Omega =\omega -k\cdot U_1^0,$ (11)

$\frac{P_1}{{\overline{\rho }}_0}=\frac{i}{k}\left[\frac{\Omega }{k}\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}+\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}{u}_{30}+\frac{f}{\Omega }(i\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}{u}_{30}-\frac{f}{k}\frac{d}{d{x}_3}{u}_{30})\right]$,

$u_{20}=\frac{1}{\Omega }\left(\frac{f}{k}\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}-i{u}_{30}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}\right)$, (12)

${\rho }_1=\frac{i}{\Omega }\left[\frac{i}{k}\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}-u_{30}\frac{d{\rho }_0}{d{x}_3}-\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g\Omega }\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}\left(\frac{f}{k}\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}-i{u}_{30}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}\right)\right],$ (13)

где $\Omega$ – частота со сдвигом Доплера.

Амплитудная функция вертикальной компоненты скорости $u_{30}$ удовлетворяет уравнению

$\begin{array}{l}\frac{d^2{u}_{30}}{d{x_3}^2}+k\left[\frac{2if\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}}{{\Omega }^2-f^2}-\frac{2f^2\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}}{\Omega ({\Omega }^2-f^2)}\right]\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}+\\ +k{u}_{30}\left[\frac{k(N^2-{\Omega }^2)+\Omega \frac{d^2{U}_1^0}{d{x_3}^2}+if\frac{d^2{U}_2^0}{d{x_3}^2}}{{\Omega }^2-f^2}+\frac{2ifk\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}}{\Omega ({\Omega }^2-f^2)}\right]=\mathrm{0,}\end{array}$ (14)

где $N^2=-\frac{g}{{\overline{\rho }}_0}\frac{d{\rho }_0}{d{x}_3}$ – квадрат частоты Брента – Вяйсяля.

Граничные условия для $u_{30}$:

$u_{30}\left(0\right)=u_{30}(-H)=0$. (15)

Уравнение (14) имеет комплексные коэффициенты, поэтому его решение, вообще говоря, – комплексная функция, и краевая задача (14) – (15) должна иметь и комплексные значения собственных частот $\text{ω}$ при фиксированном волновом числе $k$ [34–43]. Последующие расчеты действительно показывают, что частота волны имеет малую мнимую часть. Краевая задача (14) – (15) без учета вращения Земли при $f=0$ решалась аналитически в работах [46, 47] на течении с постоянным вертикальным градиентом скорости при постоянной частоте Брента – Вяйсяля. Получено решение в виде модифицированных функций Бесселя мнимого порядка. Дисперсионное уравнение решалось как асимптотическими, так и численными методами. Показано, что течение приводит к заметной анизотропии дисперсионных кривых, в частности, изолинии частоты в плоскости горизонтальных волновых чисел могут размыкаться. При $f=0$ уравнение (14) имеет действительные коэффициенты, поэтому частота волны и собственная функция внутренних волн – действительные, когда число Ричардсона больше  [46, 47].

Нелинейные эффекты. Скорости течения в представлении Эйлера $u$ и Лагранжа $u_L$ с точностью до членов второго порядка по крутизне волны связаны соотношением ⁵ [36, 43]

$u_L=u+(\underset{0}{\overset{t}{\int }}{u}_{L}d\tau \nabla )u$. (16)

Решая данное уравнение методом итераций с точностью до членов, квадратичных по амплитуде волны, после осреднения по периоду волны получаем выражение для средней лагранжевой скорости

$\overline{u_L}=U+\overline{(\underset{0}{\overset{t}{\int }}ud\tau \nabla )u}$, (17)

где вектор $U(U_0, V_0)$ – скорость среднего течения; $u$ – поле волновых эйлеровых скоростей; черта сверху означает осреднение по периоду волны. Второе слагаемое в (17) и есть скорость стоксова дрейфа, которая определяется по следующей формуле [34, 36, 38, 39, 41–43, 48]:

$u_s=\overline{(\underset{0}{\overset{t}{\int }}ud\tau \nabla )u}$. (18)

Вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа отлична от нуля для комплексной частоты [39, 42]:

${u_3}_S=i{A}_1{A}_1^{*}\left(\frac{1}{\omega }-\frac{1}{{\omega }^{*}}\right)\frac{d}{d{x}_3}\left(u_{30}{u}_{30}^{*}\right)$, (19)

где $A_1=A\exp (\delta \omega \cdot t)$, $\text{δω}=\text{Im}\left(\text{ω}\right)$ – мнимая часть частоты волны. Две горизонтальные компоненты скорости стоксова дрейфа определяются по следующим формулам:

$u_{1S}=\frac{A_1{A}_1^{*}}{k}\left[\frac{1}{\omega }\frac{d}{d{x}_3}\left(u_{30}\frac{d{u}_{30}^{*}}{d{x}_3}\right)+c.c.\right]$,                  (20)

$\begin{array}{l}{u}_{2S}=A_1{A}_1^{*}\left[\frac{1}{\omega {\Omega }^{*}k}\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}\left(if\frac{d{u}_{30}^{*}}{d{x}_3}-k\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}{u}_{30}^{*}\right)+c.c.\right]-\\ -A_1{A}_1^{*}\left\{\begin{array}{l}\frac{u_{30}^{*}}{{\omega }^{*}{\Omega }^2}\left[\Omega \left(\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}+\frac{if}{k}\frac{d^2{u}_{30}}{d{x_3}^2}+u_{30}\frac{d^2{U}_2^0}{d{x_3}^2}\right)+k\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}\left(u_{30}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}+\frac{if}{k}\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}\right)\right]\\ +c.c.\end{array}\right\}.\end{array}$ (21)

Вертикальный волновой поток массы находим, учитывая формулы (10), (13) [37, 39]:

$\overline{\rho u_3}={\left|A_1\right|}^2\left\{\frac{i}{\Omega }\left[\frac{i}{k}\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}-u_{30}\frac{d{\rho }_0}{d{x}_3}-\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g\Omega }\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}\left(\frac{f}{k}\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}-i{u}_{30}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}\right)\right]u_{30}^{*}+c.c.\right\}.$  (22)

Уравнение для неосциллирующей на временном масштабе волны поправки к средней плотности $\overline{\rho }$ с точностью до членов, квадратичных по амплитуде волны, имеет вид

$\frac{\partial \overline{\rho }}{\partial t}+U_1^0\frac{\partial \overline{\rho }}{\partial x_1}+U_2^0\frac{\partial \overline{\rho }}{\partial x_2}+\frac{\partial \overline{\rho u_1}}{\partial x_1}+\frac{\partial \overline{\rho u_2}}{\partial x_2}+\frac{\partial \overline{\rho u_3}}{\partial x_3}+u_{1S}\frac{\partial {\rho }_0}{\partial x_1}+u_{2S}\frac{\partial {\rho }_0}{\partial x_2}+u_{3S}\frac{\partial {\rho }_0}{\partial x_3}=0$. (23)

С учетом соотношений (4), (5) уравнение (23) преобразуется к виду

$\frac{\partial \overline{\rho }}{\partial t}+U_1^0\frac{\partial \overline{\rho }}{\partial x_1}+U_2^0\frac{\partial \overline{\rho }}{\partial x_2}+\frac{\partial \overline{\rho u_1}}{\partial x_1}+\frac{\partial \overline{\rho u_2}}{\partial x_2}+\frac{\partial \overline{\rho u_3}}{\partial x_3}-u_{1S}\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}+u_{2S}\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}+u_{3S}\frac{\partial {\rho }_0}{\partial x_3}=0.$ (24)

В горизонтально-однородном случае уравнение (24) принимает вид

$\frac{\partial \overline{\rho }}{\partial t}+\frac{\partial \overline{\rho u_3}}{\partial x_3}-u_{1S}\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}+u_{2S}\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}+u_{3S}\frac{\partial {\rho }_0}{\partial x_3}=0$. (25)

Интегрируя уравнение (25) по времени, получаем

$\Delta \overline{\rho }=-\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(\frac{\partial \overline{\rho u_3}}{\partial x_3}-u_{1S}\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}+u_{2S}\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}+u_{3S}\frac{\partial {\rho }_0}{\partial x_3}\right)d{t}^{\text{'}}$. (26)

Подставляя  из формулы (22) и три компоненты скорости стоксова дрейфа из формул (19) – (21) в выражение (26), получим после интегрирования

$\Delta \overline{\rho }=\left[{\frac{\partial \overline{\rho u_3}}{\partial x_3}}^0-u_{1S}^0\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}+u_{2S}^0\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}+u_{3S}^0\frac{\partial {\rho }_0}{\partial x_3}\right]\cdot \frac{1}{2\delta \omega }\left(1-e^{2\delta \omega \cdot t}\right)$, (27)

где

${\overline{\rho u_3}}^0={\left|A\right|}^2\left\{\frac{i}{\Omega }\left[\frac{i}{k}\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}-u_{30}\frac{d{\rho }_0}{d{x}_3}-\frac{{\overline{\rho }}_{0}f}{g\Omega }\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}\left(\frac{f}{k}\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}-i{u}_{30}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}\right)\right]u_{30}^{*}+c.c.\right\},$

$u_{1S}^0=\frac{{\left|A\right|}^2}{k}\left[\frac{1}{\omega }\frac{d}{d{x}_3}\left(u_{30}\frac{d{u}_{30}^{*}}{d{x}_3}\right)+c.c.\right]$, $u_{3S}^0=i{\left|A\right|}^2\left(\frac{1}{\omega }-\frac{1}{{\omega }^{*}}\right)\frac{d}{d{x}_3}\left(u_{30}{u}_{30}^{*}\right)$,

$\begin{array}{l}{u}_{2S}^0={\left|A\right|}^2\left[\frac{1}{\omega {\Omega }^{*}k}\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}\left(if\frac{d{u}_{30}^{*}}{d{x}_3}-k\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}{u}_{30}^{*}\right)+c.c.\right]-\\ -{\left|A\right|}^2\left\{\frac{u_{30}^{*}}{{\omega }^{*}{\Omega }^2}\left[\Omega \left(\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}+\frac{if}{k}\frac{d^2{u}_{30}}{d{x_3}^2}+u_{30}\frac{d^2{U}_2^0}{d{x_3}^2}\right)+k\frac{d{U}_1^0}{d{x}_3}\left(u_{30}\frac{d{U}_2^0}{d{x}_3}+\frac{if}{k}\frac{d{u}_{30}}{d{x}_3}\right)\right]+c.c.\right\}.\end{array}$

Поправка к плотности $\Delta \overline{\rho }$, определяемая по формуле (27), представляет собой вертикальную тонкую структуру, которая порождается внутренней волной и имеет необратимый характер [37, 39]. После прохождения волнового пакета указанная поправка сохраняется.

Результаты расчетов

Расчет вертикальной тонкой структуры, генерируемой внутренней волной, проведем по данным, полученным в третьем этапе 44-го рейса НИС «Михаил Ломоносов» на северо-западном шельфе Черного моря ⁶ [34, 35, 39–43].

На рис. 1 показан временной ход изолиний температуры, полученный четырьмя градиентно-распределенными датчиками температуры.

 

Р и с. 1. Зависимость вертикальных смещений изолиний температуры от времени

F i g. 1. Dependence of vertical displacements of temperature isolines on time

 

Приборы свешивались с борта судна и располагались на следующих глубинах: 5 – 15 м – первый прибор; 15 – 25 м – второй прибор; 25 – 35 м – третий прибор; 35 – 60 м – четвертый прибор (обозначены на рис. 1 римскими цифрами I – IV соответственно).

На рис. 1 четко просматривается мощный волновой пакет 15-минутных внутренних волн второй моды. Максимальная амплитуда по возвышениям составляет 0,5 м.

Зависимость частоты Брента – Вяйсяля от вертикальной координаты показана на рис. 2, а, двух компонент скорости течения – на рис. 2, b.

 

Р и с. 2. Зависимость от вертикальной координаты частоты Брента – Вяйсяля (а) и компонент скорости течения (b)

F i g. 2. Dependence of the Brunt – Väisälä frequency (a) and current velocity components (b) on the vertical coordinate

 

Р и с. 3. Дисперсионные кривые (а) и графики мнимой части частоты (b) первой (1) и второй (2) мод

F i g. 3. Dispersion curves (a) and graphs of the frequency imaginary part (b) of the first (1) and the second (2) modes

 

Решение краевой задачи (14), (15) находится численно по неявной схеме Адамса третьего порядка точности [34–43]. Используется метод пристрелки для определения волнового числа и мнимой части частоты при фиксированном периоде волны для данной моды внутренних волн. Полученное решение – комплексное, и частота волны – комплексная, имеет малую мнимую часть. На рис. 3, а представлена зависимость действительной части частоты ${\text{ω}}_0=\mathrm{Re}\left(\text{ω}\right)$ от волнового числа для первых двух мод. На рис. 3, b показана зависимость мнимой части частоты $\text{δω}=\mathrm{Im}\left(\text{ω}\right)$ от волнового числа. Мнимая часть частоты у первой моды отрицательная, т. е. волна слабо затухает.

У второй моды мнимая часть частоты отрицательная, когда частота ${\text{ω}}_0$ менее 12 цикл/ч; если частота больше, то ее мнимая часть положительная, т. е. слабое затухание в низкочастотной области сменяется слабым усилением в высокочастотной области. Декремент затухания у первой моды по модулю больше декремента затухания второй моды для фиксированного волнового числа. У 15-минутных внутренних волн второй моды декремент затухания равен $\text{δω}=-\mathrm{1,4}\cdot {10}^{-8}$ рад/с, длина волны 197 м.

Вертикальную составляющую скорости стоксова дрейфа рассчитаем по формуле (19). Нормирующий множитель $A_1$ находится по известной максимальной амплитуде вертикальных смещений 0,5 м. Зависимость вертикальной составляющей скорости стоксова дрейфа от вертикальной координаты для первых двух мод показана на рис. 4, а, частота волны составила 4 цикл/ч.

Вертикальный профиль средней плотности приведен на рис 4, b.

 

Р и с. 4. Зависимость вертикальной составляющей скорости стоксова дрейфа от вертикальной координаты у внутренних волн первой (1) и второй (2) мод – а; профиль средней плотности – b

F i g. 4. Dependence of vertical component of the Stokes drift velocity on the vertical coordinate of internal waves of the first (1) and the second (2) modes – a; average density profile – b

 

Профили вертикального потока массы, определенного по формуле (22), и неосциллирующей поправки к плотности (формула (27)) при $t=9$ч у первых двух мод внутренних волн с частотой 4 цикл/ч при одной и той же максимальной амплитуде 0,5 м показаны на рис. 5.

 

Р и с. 5. Профили вертикального волнового потока массы (а) и тонкой структуры поля плотности (b) для первой (1) и второй (2) мод внутренних волн

F i g. 5. Profiles of the vertical wave flux of mass (a) and the fine structure of density field (b) for the first (1) and the second (2) modes of internal waves

 

Вертикальный волновой поток массы у первой моды значительно преобладает в верхнем 40-метровом слое, в то время как на больших глубинах волновые потоки первой и второй мод сопоставимы по абсолютной величине. Интенсивность генерируемой вертикальной тонкой структуры поля плотности у первой моды больше, чем у второй при той же максимальной амплитуде волны.

Далее сравним волновые потоки и генерируемую тонкую структуру у инерционно-гравитационных внутренних волн разных частот. Для этого рассмотрим вторую моду с частотами 4, 1 и 12 цикл/ч при той же максимальной амплитуде волны 0,5 м.

Вертикальные волновые потоки массы у волн указанных частот показаны на рис. 6, а, профили генерируемой тонкой структуры поля плотности – на рис. 6, b.

 

Р и с. 6. Профили вертикального волнового потока массы (а) и тонкой структуры поля плотности (b) у второй моды для 15-минутных внутренних волн (красная кривая), одночасовых внутренних волн (синяя кривая) и 5-минутных внутренних волн (зеленая кривая)

F i g. 6. Profiles of the vertical wave flux of mass (a) and the fine structure of density field (b) of the second mode for 15-minute internal waves (red curve), one-hour internal waves (blue curve) and 5-minute internal waves (green curve)

 

Вертикальные волновые потоки массы у второй моды 15-минутных, одночасовых и 5-минутных внутренних волн сонаправлены и уменьшаются по абсолютной величине с уменьшением периода волны. Тонкоструктурные поправки к плотности для волн с периодами 15 мин и 1 ч близки и, суммируясь, только усиливают эффект. Указанные поправки не вносят инверсий в вертикальное распределение плотности. Аналогичный расчет сделан и для первой моды внутренних волн. На рис. 7 показаны графики вертикального волнового потока массы и генерируемой тонкой структуры плотности у внутренних волн первой моды для частот 4, 1 и 12 цикл/ч.

 

Р и с. 7. Профили вертикального волнового потока массы (а) и тонкой структуры поля плотности (b) у первой моды для 15-минутных внутренних волн (красная кривая), одночасовых внутренних волн (синяя кривая) и 5-минутных внутренних волн (зеленая кривая)

F i g. 7. Profiles of the vertical wave flux of mass (a) and the fine structure of density field (b) of the first mode for 15-minute internal waves (red curve), one-hour internal waves (blue curve) and 5-minute internal
waves (green curve)

 

У первой моды вертикальные волновые потоки массы и тонкоструктурные поправки почти совпадают для волн с частотами 1 и 4 цикл/ч, у волн с частотой 12 цикл/ч они отличаются наиболее заметно в пикноклине.

Представляет интерес исследовать влияние горизонтальной неоднородности поля средней плотности на вертикальные волновые потоки массы и генерируемую тонкую структуру. В горизонтально-однородном случае в уравнении (4) пренебрегаются слагаемые, содержащие горизонтальные градиенты средней плотности $\frac{\partial {\rho }_0}{\partial x}$ и $\frac{\partial {\rho }_0}{\partial y}$. На рис. 8 представлена зависимость вертикальных волновых потоков массы и генерируемой тонкой структуры от вертикальной координаты для внутренних волн с частотой 4 цикл/ч второй моды в горизонтально-однородном и неоднородном случае при одинаковой максимальной амплитуде волны 0,5 м.

 

Р и с. 8. Вертикальное распределение волновых потоков массы (а) и генерируемой тонкой структуры (b) для внутренней волны второй моды в горизонтально-неоднородном (красная кривая) и однородном (синяя кривая) случае

F i g. 8. Vertical distribution of the wave fluxes of mass (a) and the generated fine structure (b) for the internal wave of the second mode in the horizontally inhomogeneous (red curve) and homogene-ous (blue curve) cases

 

Таким образом, амплитуда тонкоструктурных осцилляций и вертикальные волновые потоки массы в горизонтально-неоднородном случае выше, чем в однородном.

Аналогичные расчеты сделаны и для первой моды внутренних волн. На рис. 9 приведены профили вертикального потока массы и генерируемой тонкой структуры для первой моды внутренних волн с частотой 4 цикл/ч в горизонтально-неоднородном и однородном случае.

 

Р и с. 9. Зависимость от вертикальной координаты волнового потока массы (а) и генерируемой тонкой структуры (b) для внутренней волны второй моды в горизонтально-неоднородном (красная кривая) и однородном (синяя кривая) случае

F i g. 9. Dependence of the wave flux of mass (a) and the generated fine structure (b) for the internal wave of the second mode in the horizontally inhomogeneous (red curve) and homogeneous (blue curve) cases upon the vertical coordinate

 

Аналогично у первой моды в горизонтально-неоднородном по средней плотности случае вертикальные волновые потоки массы и тонкоструктурная поправка к плотности выше.

Заключение

В работе представлен механизм генерации вертикальной тонкой структуры за счет вертикальных волновых потоков массы. Эти потоки отличны от нуля у инерционно-гравитационных внутренних волн при наличии течения, у которого компонента скорости, нормальная направлению распространения волны, зависит от вертикальной координаты. В отличие от предшествующих работ нами не предполагается горизонтальная однородность поля средней плотности. Напротив, течение предполагается геострофически сбалансированным, т. е. вертикальные сдвиги скорости сбалансированы горизонтальным градиентом поля средней плотности. Этот градиент находится из соотношений «термического ветра». Показано, что учет горизонтальной неоднородности поля средней плотности увеличивает как вертикальные волновые потоки массы, так и генерируемую тонкую структуру, амплитуду тонкоструктурных осцилляций. Для волн с частотами 1 и 4 цикл/ч волновые потоки массы и тонкоструктурные поправки к плотности очень близки, т. е. для волн разных частот суммарный эффект только усиливается.

 

¹ Gibson C. H. Fossil temperature, salinity, and vorticity turbulence in the ocean // Marine Turbulence / Ed. J. Nihoul. Amsterdam : Elsevier Publising Co., 1980. P. 221–257. (Elsevier Oceanography Series ; vol. 28). https://doi.org/10.1016/S0422-9894(08)71223-6

² Федоров К. Н. Тонкая термохалинная структура вод океана Л. : Гидрометеоиздат, 1976. 184 с.

³ Каменкович В. М. Основы динамики океана. Ленинград : Гидрометеоиздат, 1973. С 128.

⁴ Миропольский Ю. З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Ленинград : Гидрометеоиздат, 1981. 302 с.

⁵ Дворянинов Г. С. Эффекты волн в пограничных слоях атмосферы и океана. Киев : Наукова думка, 1982. 176 с.

⁶ Отчет о работах в 44-м рейсе (3-й этап) НИС «Михаил Ломоносов» 7 августа – 15 сентября 1985 г. Севастополь : МГИ АН УССР, 1985. Т. 1. 135 с.

About the authors

A. A. Slepyshev

Marine Hydrophysical Institute, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: slep55@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9259-7558
SPIN-code: 8742-9970

ведущий научный сотрудник, отдел турбулентности, доктор физико-математических наук

Russian Federation, Sevastopol

N. O. Ankudinov

Marine Hydrophysical Institute, Russian Academy of Sciences

Email: ankudinff@gmail.ru
SPIN-code: 2814-9748

ведущий инженер-исследователь, отдел турбулентности

Russian Federation, Sevastopol

References

Supplementary files