Mathematical Thinking Tools in the History of Mathematics (Based on the Theory of Positive Operators)

Cover Page

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The work outlines a not entirely traditional approach to the study of the history of mathematics, associated with distinguishing the systems of mathematical thought tools (symbolic, conceptual, ideal), which allow representing and operating various types of relationships, characteristic of a particular branch of mathematics. With this approach, the main task for the history of mathematics is the analysis of the emergence, evolution, and transformation of the systems of its thinking tools, from the standpoint of expanding the horizons of knowledge and reaching new levels of abstraction, and broadening the array of methods for using such tools. To demonstrate the results of application of this approach, the authors examined one of the sections of functional analysis, the theory of positive operators, in the context of the history of its genesis and initial development from the mid-1900s to the 1960s. On this path, key thinking tools related to the finite-dimensional period of development of the theory (positive matrices, oscillatory matrices, etc.) and expressing the relationships between its significant mathematical entities (Perronʼs theorem) were identified. In addition, the first steps were made towards comprehending further transformation of the said tools (the concept of a cone, the definition of positive functionals and operators) and mathematical relationships (Jentzsch’s and Urysohn’s theorems in the integral and abstract forms, etc.). The results obtained by O. Kellogg, C. Sturm, M. G. Krein, F. R. Gantmakher, M. A. Rutman, M. A. Krasnoselskii, L. A. Ladyzhenskii and other mathematicians are discussed in the article.

About the authors

E. M. Bogatov

The Branch of National Research University of Science and Technology “MISIS”; Stary Oskol Technological Institute of National Research University of Science and Technology “MISIS”

Email: embogatov@inbox.ru
Russia, 309186, Belgorod Region, Gubkin, Komsomolskaya ul., 16; Russia, 309516, Belgorod Region, Stary Oskol, mkr. Makarenko, 42

A. V. Borovskikh

Lomonosov Moscow State University; Scientific and Educational Mathematical Center of the North Ossetian State University named after K. L. Khetagurov

Email: bor.bor@mail.ru
Russia, 119991, Moscow, Leninskie Gory, 1; Russia, 362025, Republic of North Ossetia-Alania, Vladikavkaz, Ul. Tsereteli, 16

References

  1. Ascoli, G. (1932) Sugli spazi lineari metrici e le loro varietà lineari, Annali di matematica pura ed applicata, vol. 10, pp. 33–81.
  2. Bogatov, E. M. (2019) O razvitii kachestvennykh metodov resheniia nelineinykh uravnenii i nekotorykh posledstviiakh [On the Development of Qualitative Methods for Solving Nonlinear Equations and Some Consequences], Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Prikladnaia nelineinaia dinamika, vol. 27, no. 1, pp. 96–114.
  3. Bogatov, E. M. (2020) Ob istorii polozhitel’nykh operatorov (1900-e – 1960-e gg.) i vklade M. A. Krasnosel’skogo [On the History of Positive Operators (1900s – 1960s) and the Contribution of M. A. Krasnoselskii], Nauchnye vedomosti BelGU, seriia: Prikladnaia matematika. Fizika, vol. 52, no. 2, pp. 105–127.
  4. Bogatov, E. M. (2024) Istoriia otechestvennykh shkol nelineinogo funktsional’nogo analiza vtoroi treti XX veka [The History of Russian Schools of Nonlinear Functional Analysis in the Second Third of the 20th Century], Continuum. Matematika. Informatika. Obrazovanie, no. 3, pp. 102–118.
  5. Borovskikh, A. V. (2003) Usloviia znakoreguliarnosti razryvnykh kraevykh zadach [Sign Regularity Conditions for Discontinuous Boundary-Value Problems], Matematicheskie zametki, vol. 74, iss. 5, pp. 607–618.
  6. Borovskikh, A. V. (2022) O poniatii matematicheskoi gramotnosti [On the Concept of Mathematical Literacy], Pedagogika, vol. 86, no. 3, pp. 33–45.
  7. Borovskikh, A. V. (2022) O soderzhanii matematicheskogo obrazovaniia. Matematika dlia nematematikov [On the Content of Mathematical Education. Mathematics for Non-Mathematicians], Continuum. Matematika. Informatika. Obrazovanie, no. 4, pp. 51–65.
  8. Borovskikh, A. V. (2024) O soderzhanii shkol’nogo matematicheskogo obrazovaniia. Ot soderzhimogo k soderzhaniiu: matematika kak sovokupnost’ myslitel’nykh sredstv [On the Content of School Mathematics Education. From Contents to Content. Mathematics as a System of Mental Means], Vestnik Moskovskogo universiteta, seriia 20: Pedagogicheskoe obrazovanie, vol. 22, no. 2, pp. 61–82.
  9. Borovskikh, A. V., and Pokornyi, Iu. V. (1994) Sistemy Chebysheva – Khaara v teorii razryvnykh iader Kelloga [Chebyshev – Haar Systems in the Theory of Discontinuous Kellogg Kernels], Uspekhi matematicheskikh nauk, vol. 49, no. 3, pp. 1–42.
  10. Demidovich, B. P. (1997) Sbornik zadach i uprazhnenii po matematicheskomu analizu: uchebnoe posobie. 13-e izd. [Collection of Problems and Exercises in Mathematical Analysis: A Textbook. 13th ed.]. Moskva: Izdatel’stvo Moskovskogo universiteta.
  11. Derr, V. Ia. (1987) K obobshchennoi zadache Valle-Pussena [On the Generalized de la Vallée Poussin Problem], Differentsial’nye uravneniia, vol. 23, no. 11, pp. 1861–1872.
  12. Gantmakher, F. R., and Krein, M. G. (1950) Ostsilliatsionnye matritsy i iadra i malye kolebaniia mekhanicheskikh sistem. 2-e izd. [Oscillatory Matrices and Kernels and Small Oscillations of Mechanical Systems. 2nd ed.]. Moskva and Leningrad: Gostekhteoretizdat.
  13. Gantmakher, F. R., and Krein, M. G. (1935) Ob odnom spetsial’nom klasse determinantov v sviazi s integral’nymi iadrami Kellog’a. 2-e izd. [On a Special Class of Determinants in Connection with Kellog’s Integral Kernels], Matematicheskii sbornik, vol. 42, iss. 4, pp. 501–508.
  14. Gantmakher, F. R., and Krein, M. G. (1941) Ostsilliatsionnye matritsy i iadra i malye kolebaniia mekhanicheskikh sistem [Oscillatory Matrices and Kernels and Small Oscillations of Mechanical Systems. 2nd ed.]. Moskva and Leningrad: Gostekhteoretizdat.
  15. Gilʼbert, D. (Hilbert, D.) (1998) Izbrannye trudy [Selected Works]. Moskva: Faktorial, vol. 2: Analiz. Fizika. Problemy Gil’berta [Analysis. Physics. Hilbert’s Problems].
  16. Jentzsch, R. (1912) Über Integralgleichungen mit positivem Kern, Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 41, pp. 235–244.
  17. Keller, G. B. (1974) Nekotorye pozitonnye zadachi, vydvigaemye nelineinoi teoriei generatsii tepla [Some Positivity Problems Raised by the Nonlinear Theory of Heat Generation], in: Keller, Dz. B., and Antman, S. (Keller, J. B., and Antman, S.) (eds.) Teoriia vetvleniia i nelineinye zadachi na sobstvennye znacheniia [Bifurcation Theory and Nonlinear Eigenvalue Problems]. Moskva: Mir, pp. 129–151.
  18. Kellogg, O. D. (1916) The Oscillation of Functions of an Orthogonal Set, American Journal of Mathematics, vol. 38, no. 1, pp. 1–5.
  19. Kellogg, O. D. (1918) Interpolation Properties of Orthogonal Sets of Solutions of Differential Equations, American Journal of Mathematics, vol. 40, no. 3, pp. 225–234.
  20. Kellogg, O. D. (1918) Orthogonal Function Sets Arising from Integral Equations, American Journal of Mathematics, vol. 40, no. 2, pp. 145–154.
  21. Krasnosel’skii, M. A. (1962) Polozhitel’nye resheniia operatornykh uravnenii [Positive Solutions of Operator Equations]. Moskva: Fizmatgiz.
  22. Krasnosel’skii, M. A., and Ladyzhenskii, L. A. (1954) Struktura spektra polozhitel’nykh neodnorodnykh operatorov [The Structure of the Spectrum of Positive Nonhomogeneous Operators], Trudy Moskovskogo matematicheskogo obshchestva, iss. 3, pp. 321–346.
  23. Krasnosel’skii, M. A., and Ladyzhenskii, L. A. (1959) Ob ob”eme poniatiia u0-vognutogo operatora [The Scope of the Concept of a u0-concave Operator], Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika, no. 5, pp. 112–121.
  24. Krasovskii, Iu. P. (1960) K teorii ustanovivshikhsia voln nemaloi amplitudy [On the Theory of Steady Waves of Considerable Amplitude], Doklady AN SSSR, vol. 130, iss. 6, pp. 1237–1240.
  25. Krein, M. G. (1937) Pro pozytyvni adytyvni funktsionaly v liniinykh normovanykh prostorakh [On Positive Additive Functionals in Linear Normed Spaces], Soobshcheniia Khar’kovskogo matematicheskogo obshchestva, vol. 14, pp. 227–237.
  26. Krein, M. G. (1938) Obshchie teoremy o pozitivnykh funktsionalakh [General Theorems on Positive Functionals], in: Akhiezer, N. I., and Krein, M. G. O nekotorykh voprosakh teorii momentov [On Some Issues of the Theory of Moments]. Khar’kov: Gosnauchtekhizdat Ukrainy, pp. 121–150.
  27. Krein, M. G. (1951) Idei P. L. Chebysheva i A. A. Markova v teorii predel’nykh velichin integralov i ikh dal’neishee razvitie [Ideas of P. L. Chebyshev and A. A. Markov in the Theory of Limit Values of Integrals and Their Further Development], Uspekhi matematicheskikh nauk, vol. 6, no. 4, pp. 3–120.
  28. Krein, M. G., and Rutman, M. A. (1948) Lineinye operatory, ostavliaiushchie invariantnym konus v prostranstve Banakha [Linear Operators that Leave a Cone Invariant in a Banach Space], Uspekhi matematicheskikh nauk, vol. 3, iss. 1, no. 23, pp. 3–95.
  29. Markov, A. A. (1908) Rasprostranenie predel’nykh teorem ischisleniia veroiatnostei na summu velichin, sviazannykh v tsep’ [Extension of the Limit Theorems of Probability Theory to a Sum of Quantities Connected in a Chain], Zapiski Akademii nauk, seriia 8: Po Fiziko-matematicheskomu otdeleniiu, vol. 22, no. 9, pp. 1–29.
  30. Mazur, S. (1933) Über konvexe Mengen in linearen normierten Räumen, Studia mathematica, vol. 4, pp. 70–84.
  31. Perron, O. (1907) Grundlagen für eine Theorie des Jacobischen Kettenbruchalgorithmus, Mathematische Annalen, vol. 64, pp. 1–76.
  32. Pokornyi, Iu. V. (1978) O neklassicheskoi zadache Valle-Pussena [A Nonclassical de la Vallée Poussin Problem], Differentsial’nye uravneniia, vol. 14, no. 6, pp. 1018–1027.
  33. Pokornyi, Iu. V., and Lazarev, K. P. (1987) Nekotorye ostsilliatsionnye teoremy dlia mnogotochechnykh zadach [Some Oscillation Theorems for Multipoint Problems], Differentsial’nye uravneniia, vol. 23, no. 4, pp. 658–670.
  34. Riesz, F. (1930) Sur la décomposition des opérations fonctionnelles linéaires, Atti del Congresso internazionale dei matematici, Bologna, 3–10 settembre 1928. Bologna: Nicola Zanichelli, vol. 3, pp. 143–148.
  35. Rutman, M. A. (1938) Ob odnom spetsial’nom klasse vpolne nepreryvnykh operatorov [On a Special Class of Completely Continuous Operators], Doklady AN SSSR, vol. 18, no. 9, pp. 625–627.
  36. Rutman, M. A. (1940) Sur les opérateurs totalement continus linéaires laissant invariant un certain cône, Matematicheskii sbornik, vol. 8 (50), no. 1, pp. 77–96.
  37. Schur, I. (1909) Zur Theorie der linearen homogenen Integralgleichungen, Mathematische Annalen, vol. 67, no. 3, pp. 306–339.
  38. Sturm, С. (1836) Sur une class d’equations a differences partielle, Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. 1, pp. 373–444.
  39. Uryson, P. S. (1923) Ob odnom tipe nelineinykh integral’nykh uravnenii [On One Type of Nonlinear Integral Equations], Matematicheskii sbornik, vol. 31, no. 2, pp. 236–255.
  40. Vileitner, G. (Wieleitner, H.) (1966) Istoriia matematiki ot Dekarta do serediny XIX stoletiia [History of Mathematics from Descartes to the Mid-19th Century]. Moskva: Nauka.
  41. Received: November 20, 2024.
  42. Accepted: January 30, 2025.

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».