Modeling of Mixing Bulk Components in a Rotary Device on a Cyber-Physical Systems Platform

Full Text

Введение

Современные тенденции развития химических технологий в области переработки сыпучих компонентов отражают необходимость организации соответствующих технологических процессов в условиях отсутствия противоречий между двумя их основными характеристиками – энергоэффективностью и интенсивностью [1]. Растущие потребности пищевой, химической, фармацевтической, строительной и других отраслей народного хозяйства в однородных сыпучих смесях с заданными механическими свойствами и регламентируемыми требованиями к показателю порозности подтверждают актуальность разработки нового оборудования для указанных целей. В данной связи совмещение нескольких технологических операций [2] или, как частный случай, их выполнение в последовательном режиме [3], но в рабочем объеме одного устройства, становится приоритетным направлением проектирования смесительного и уплотнительного оборудования для получения деаэрированной однородной смеси твердых дисперсных материалов с заданным объемным соотношением компонентов. Возникает необходимость учета влияния множества факторов, которые могут негативно сказаться на конечном продукте производства сыпучей смеси, включая эффект сегрегации [4], свойства аэрируемости и слипаемости, соотношения гранулометрического состава компонентов и т.п. [4 – 7]. Одним их способов борьбы с нежелательным при этом эффектом сегрегации при получении зернистых смесей может быть организация процесса смешивания частиц компонентов в разреженных потоках [8, 9]. Обеспечение проектировщиков соответствующими зависимостями основных показателей смешивания, как одного из процессов в рамках одной технологической цепи, от набора ее конструктивных и режимных параметров предполагает развитие теоретической базы с позиций кибер-физической системы [10].

Цель работы – разработка стохастического описания процесса формирования разреженных потоков на этапе ротационного смешивания при организации дальнейшего совмещения данной операции с уплотнением полученной зернистой смеси на транспортерной ленте на кибер-физической платформе. К последней относится формирование набора независимых параметров указанного процесса смешивания.

О сложностях описания процесса смешения сыпучих компонентов

Трудности математического моделирования процесса смешивания частиц зернистых компонентов связаны в первую очередь с многофакторностью решаемых при этом задач [11], что отражается на выборе основного подхода к описанию данной технологической операции и внимании к созданию соответствующей кибер-физической платформы. Несмотря на широкий спектр имеющихся моделей смешивания от детерминированных описаний [5 – 7, 12] до стохастических моделей [1, 13 – 15] и их различных модификаций с элементами комбинирования, в данном случае целесообразно использовать второй для получения информации о распределении частиц по заданной характеристике процесса. Кроме того, вероятностный характер движения частиц в разреженных потоках зернистых материалов определяет конкретный способ математического описания для выбранного подхода моделирования, в частности, предлагается использовать энергетический метод [16], который позволяет учесть основные физико-механические характеристики сыпучих материалов и особенности движения составляющих их частиц.

Применение транспортерной ленты в аппаратах для переработки твердых дисперсных сред [17] позволяет успешно совмещать ряд технологических операций в рамках одного рабочего объема [3]. Такая организация обеспечивает непрерывный режим работы проектируемого оборудования, например, при производстве сухих строительных смесей с использованием подвижных жестких перфорированных гребней [18], перемешивания порошков на конвейере неподвижными разделяющими пластинами [19] или даже без перемешивающих органов за счет вибрационных эффектов [20] и т.д.

Один из способов организации разреженных потоков из слоев сыпучих компонентов на подвижной ленте – использование приводных ротационных устройств в виде барабанов с эластичными лопатками [21], симметрично установленных над указанным транспортером под некоторым углом к направлению движения ленты. Вертикальный экран к горизонтальной рабочей поверхности транспортера выполняет роль дополнительного смесительного устройства, а уплотнительный валик с отверстиями для удаления воздуха на другой стороне вертикального экрана функционирует как деаэратор.

Организация процесса образования разреженных потоков зависит от выбора конфигурации эластичных элементов и способа их закрепления на смесительном барабане [8 – 10, 21], например, встречаются: радиальное расположение тонких цилиндрических бил [1], винтовая навивка гибких элементов [9], встречное расположение винтовых навивок для щеточных элементов [8, 10] и т.д. В данном случае поверхности прямоугольных эластичных лопаток закреплены в касательных плоскостях к цилиндрическим поверхностям каждого смесительного барабана, расположенного над транспортерной лентой. При этом установка указанных эластичных лопаток проводится рядами при чередовании направлений их расположения вдоль оси симметрии цилиндрических смесительных барабанов. Такое закрепление эластичных лопаток обеспечивает разбрасывание частиц в различных направлениях смешиваемых компонентов, подаваемых транспортерной лентой в зазор указанных барабанов в виде слоев. Стохастическое описание энергетическим методом [16] процесса формирования разреженных потоков сыпучих компонентов над транспортером на этапе ротационного смешивания с помощью одного ряда прямоугольных эластичных лопаток, закрепленных указанным способом, составляет основную задачу настоящего исследования.

Описание движения частицы смешиваемого компонента в момент отрыва от эластичных лопаток

Рассмотрим движение эластичных лопаток длиной l_b, составляющих один ряд бил, которые закреплены указанным выше способом на вращающемся с угловой скоростью ω смесительном барабане. Пусть радиус барабана равен r_b, расстояние между барабаном и горизонтальной транспортерной лентой h₀, число деформированных бил в пределах четверти угла поворота барабана n_b, общее число лопаток одного ряда n. Свяжем полярную систему координат (r, θ) с осью O₁x₁ при отсчете против часовой стрелки полярного угла θ, координаты точки $O_1\left(x_{O_1};y_{O_1}\right)$ относительно системы, связанной с центром вращения барабана, имеют вид $O_1\left(x_{O_1}=r_b\sin {\alpha }_0;y_{O_1}=r_b\cos {\alpha }_0\right)$.

Введем уравнение движения конечных точек эластичных лопастей $M_j, j=\overline{\mathrm{1,}{n}_b}$ в полярных координатах в виде спирали Архимеда

$r_a\left(\theta \right)=A+B\theta$, (1)

где

$A=h_0+r_b\left(1-\cos {\alpha }_0\right)$; (2)

$B=\left({\left\{{\left(r_b+l_b\right)}^2+{\left[r_b\left(1+\cos {\alpha }_0\right)\right]}^2\right\}}^{1/2}-A\right)/{\theta }_{\delta }$; (3)

${\theta }_{\delta }=\pi +arctg\frac{r_b-l_b}{r_b\left(1+\cos {\alpha }_0\right)}$. (4)

Положение точки $M_j, j=\overline{\mathrm{1,}{n}_b}$, в полярной системе определяется следующим уравнением для произвольной точки М на спирали (1)

$r_{M_j}\left(\theta \right)=r_M\left(\theta \right)=r_a\left(\theta \right)\cos \frac{3\beta \left(\theta \right)}{2}+\frac{{\left({\left\{2r_a\left(\theta \right)\cos \frac{3\beta \left(\theta \right)}{2}\right\}}^2-4\left\{{\left[r_a\left(\theta \right)\right]}^2-r_b^2\right\}\right)}^{1/2}}{2}$, (5)

где зависимость для угла, согласно (1) – (5),

$\beta \left(\theta \right)=arctg\frac{B}{r_a\left(\theta \right)}$. (6)

С учетом r_a(θ) из уравнения (1) анализируется движение частиц двух сыпучих компонентов (i = 1, 2), которые разбрасываются деформируемыми эластичными лопатками из насыпанных друг на друга слоев высотой

$h_L=\sum _{\nu =1}^2{h}_{L\nu }$ (7)

на подвижной ленте. Такие слои заполняют зазор между смесительным барабаном и указанным транспортером.

Пусть средний диаметр сферических частиц, плотность которых ρ_Ti, с учетом числа фракций n_ν определяется выражением

$d_{T_i}=n_{\nu }^{-1}\sum _{\nu =1}^{n_{\nu }}{d}_{T_i\nu }$. (8)

Скорость частицы V_rθi для каждого компонента (i = 1, 2) при описанном движении в момент отрыва от конца деформированной эластичной лопатки в полярной системе координат задается выражением

$V_{r\theta i}\left(r_M\left(\theta \right),\theta \right)=\frac{\omega r_M\left(\theta \right)}{\cos \left\{arctg\frac{B}{r_a\left(\theta \right)}\right\}}$. (9)

Энергия частицы E_i при разбрасывании упругой эластичной лопаткой определяется тремя составляющими (кинетическими энергиями поступательного движения частицы вместе с центром масс; вращательного движения относительно него и энергией упругого взаимодействия частицы с эластичной лопаткой) согласно (1), (5), (9) с учетом (2) – (4), (6) – (8)

$E_i=a_i{d}_{Ti}{\omega }^2\left\{d_{Ti}^2+10p_3\frac{{\left(c_0+c_1\theta \right)}^4}{c_0^2\left[{\left(p_0+p_1\theta \right)}^2+p_2^2\right]}\right\}\frac{{\left(c_0+c_1\theta \right)}^4}{c_0^2\left[{\left(p_0+p_1\theta \right)}^2+p_2^2\right]}+\frac{k_u{\theta }^2}{2}$, (10)

где

$c_1=\left(\frac{3k_2}{2A^3}+\frac{k_0{k}_{4}B}{A}+\frac{A^{3}B\left[2k_4\left(k_0^2-A^2\right)+k_3\right]}{8k_1}\right)/k_4$; (11)

$a_i=\frac{\pi {\rho }_{Ti}}{12}; c_0=k_0+k_1; p_0=\cos \left(\frac{1}{2}arctg\frac{B}{A}\right)$; (12)

$p_1=\frac{B^2}{2k_4}\sin \left(\frac{1}{2}arctg\frac{B}{A}\right); p_2={\left[p_0\left(1-p_0\right)\right]}^{1/2}$; (13)

$p_3={\left(p_0^2+p_2^2\right)}^2; k_0=A\cos \left(\frac{3}{2}arctg\frac{B}{A}\right); k_4=A^2+B^2$; (14)

$k_2=B^2\sin \left(\frac{3}{2}arctg\frac{B}{A}\right); k_0=\frac{3}{2}AB\sin \left(3arctg\frac{B}{A}\right)$. (15)

Моделирование функций распределений частиц сыпучих компонентов энергетическим методом

Для дальнейшего моделирования процесса формирования разреженных потоков двух сыпучих материалов, смешиваемых ротационным устройством, предлагается в рамках стохастического подхода использовать энергетический метод [16], который позволяет учесть форму энергии стохастического движения частиц в виде (10). Рассматривая указанную технологическую операцию как случайный процесс однородного, непрерывного, стационарного, гауссовского типа, применим формализм марковского процесса для состояний макросистемы частиц каждого компонента без притока энергии извне. Тогда в отсутствии макрофлуктуаций данных макросистем, связанных с соударениями частиц, считаем, что в образующихся потоках является незначительным перекрестное движение одного потока в другом, смещение частиц обоих сформированных потоков является сонаправленным. В указанном приближении справедлив формализм Орнштейна–Уленбека [16] с решением уравнения Фоккера–Планка в энергетическом представлении для стационарного случая относительно функции распределения числа частиц в следующей форме:

${\varphi }_i=A_i\exp \left(-\frac{E_i}{E_{0i}}\right)$, (16)

где константа нормировки A_i находится из условия

$\underset{{\Psi }_i}{\int }{\varphi }_{i}d{\Psi }_i=1$ (17)

при введении элемента фазового объема:

$d{\Psi }_i=d{v}_{xi}d{v}_{yi}\equiv d{v}_{x}d{v}_y$ или $d\Psi =d{v}_{x}d{v}_y=-{\omega }^{2}rdrd\theta$ (18)

в приближении одновременного взаимодействия упругого эластичного элемента с частицами каждого компонента.

Вследствие (16), (17) убывание числа частиц dN_i компонента i = 1, 2 в элементарном объеме из dΨ (18) задается формулой [16]

$d{N}_i=A_i\exp \left(-\frac{E_i}{E_{0i}}\right)d\Psi$. (19)

В выражениях (16), (19) содержится энергетический параметр E_0i, физический смысл которого определяется энергией стохастического движения частиц в момент начала стохастизации состояний макросистемы (i = 1, 2). Выражения (16) – (19) дают возможность определить искомое выражение для дифференциальной функции распределения числа частиц компонента i = 1, 2 по выделенному признаку изучаемого процесса, например, по углу разбрасывания, совпадающему в данном случае с полярной угловой координатой θ. В частности, при этом выполняется

$f_i\left(\theta \right)=\frac{1}{N_i}\frac{d{N}_i}{d\theta }$. (20)

Тогда с учетом выражений (10) – (15), (17), (19), (20) получим искомую зависимость

$$\begin{gathered} f_i\left(\theta \right)=Q_i{\left({\left[H_1\left(\theta \right)\right]}^2+p_2^2\right)}^{1/2}\exp \left(-\frac{k_u{\theta }^2}{E_{0i}}\right)\left[erf\left({\lambda }_{2i}{\left[H_2\left(\theta \right)\right]}^2{\left({\left[H_1\left(\theta \right)\right]}^2+p_2^2\right)}^{-1/2}\right)-\right. \\ \left.-erf\left({\lambda }_{2i}{\left({\left[H_1\left(\theta \right)\right]}^2+p_2^2\right)}^{-1/2}\right)\right]/\left(\exp \left[-10\left({\lambda }_{1i}+\frac{k_u{\theta }^2}{E_{0i}}\right)\right]-\exp \left(-{\lambda }_{1i}\right)\right), \end{gathered}$$ (21)

где

$Q_i=\frac{c_0}{16c_1}\sqrt{\frac{\pi k_u}{E_{0i}{g}_{1i}{g}_{1i}}}$; (22)                                                                                                                                                

$H_1\left(\theta \right)=p_0+p_1\theta ; H_2\left(\theta \right)=c_0+c_1\theta$; (23)

${\lambda }_{2i}=\frac{3}{2c_0^2}\sqrt{\frac{k_u{g}_{1i}{g}_{2i}}{E_{0i}}}; {\lambda }_{1i}=\frac{k_u{g}_{1i}{g}_{2i}}{E_{0i}\left(2p_0^2+p_2^2\right)}$. (24)

Значение параметра E_0i определяется из уравнения баланса для суммарных энергий частиц макросистемы (i = 1, 2): при захвате частиц каждого компонента концами гибких элементов из зазора барабан-лента E_Ci и при разбрасывании данных частиц указанными билами E_Di в области изменения полярной угловой координаты θ ∈ [θ_0i; θ_1i]. Тогда с учетом эффекта смешивания компонентов справедливо

$\sum _{i=1}^2{E}_{Ci}=\sum _{i=1}^2{E}_{Di}$. (25)

В дальнейшем изложении принимается ряд допущений. Пусть при учете различной толщины слоев сыпучих материалов из (7) на транспортерной ленте выполняется приближение h_Li = h_L / 2; характер движения конечных точек эластичных лопастей $M_j, j=\overline{\mathrm{1,}{n}_b}$ в полярных координатах определяется выражением (5); усредненная скорость частицы V_rθi массой m_i для каждого сыпучего компонента (i = 1, 2) по полярной угловой координате в области θ ∈ [0; α₀] подчиняется выражению (9).

Следовательно, уравнение (25) относительно E_0i, согласно (17), (19), принимает вид

$\sum _{i=1}^2{N}_i{m}_i\left\{\frac{h_0^2}{2}+{\alpha }_0^{-1}\underset{0}{\overset{{\alpha }_0}{\int }}\frac{{\left(r_M\left(\theta \right)\right)}^{4}d\theta }{{\left[H_1\left(\theta \right)\right]}^2+p_2^2}\right\}+\sum _{i=1}^2{A}_i\underset{{\theta }_{0i}}{\overset{{\theta }_{1i}}{\int }}d\theta \underset{r_{Li}}{\overset{r_M\left(\theta \right)}{\int }}{E}_i\exp \left(-\frac{E_i}{E_{0i}}\right)rdr=0$, (26)

где значения радиальных координат $r_{L1}=h_0+r_b\left(1-\cos {\alpha }_0\right)$; $r_{L2}=r_{L1}-h_L/2$ соответствуют значениям для угла θ_1i при i = 1, 2.

Обсуждение результатов модели ротационного смешения сыпучих компонентов

Пусть выполняется технологическая операция смешивания природного песка ГОСТ 8736–2014 при i = 1 и манной крупы ГОСТ 7022–2019 при i = 2. Значения физико-механических характеристик указанных сыпучих материалов следующие: истинная плотность ρ_Ti, 10³ мг/м³, природного песка и манной крупы 1,525 и 1,440 соответственно; усредненный диаметр частиц d_Ti, 10^–4 м, – 1,500 и 4,000 соответственно [22, 23]. Выбор данных сыпучих материалов связан с необходимостью замены некоторых токсичных составов модельными смесями с аналогичными физико-механическими свойствами, в частности, при условии сравнимых значений плотностей веществ составляющих компонентов. Приведем основные значения параметров сформированной кибер-физической платформы изучаемого процесса (табл. 1).

 

Таблица 1. Значения и пределы изменения параметров ротационного смешения сыпучих компонентов при работе смесителя-уплотнителя

Параметр	Значение
Конструктивные параметры
Радиус барабана rb, 10–2 м	3,00
Длина эластичной лопатки lb, 10–2 м	4,50
Режимные параметры
Высота зазора h0, 10–2 м	3,00
Высота слоев компонентов hL, 10–2 м
Угловая скорость вращения ω, c–1	41,0…53,0

 

Согласно выполненному стохастическому моделированию изучаемого процесса ротационного смешивания, с помощью выражений (20), (21) построены семейства кривых для зависимостей дифференциальных функции распределения числа частиц каждого компонента f₁(θ) и f₂(θ) по полярной угловой координате θ соответственно на рис. 1, а, б. Значения энергетических параметров E_0i вычислены согласно (26).

 

Рис. 1. Зависимости дифференциальных функций распределения числа частиц природного песка (а) и манной крупы (б) по полярной угловой координате θ при ω, с^-1: 1 – 41,9; 2 – 47,1; 3 – 52,4

 

Анализ полученных результатов показывает, что при начальных углах поворота эластичных лопаток происходит основное сбрасывание сыпучих материалов (см. характерные первые всплески на кривых 1 – 3, рис. 1, а, б), в частности, более половины компонента i = 1, когда гибкие элементы максимально деформированы после выхода из зазора барабан-лента. Заметим, что для обоих компонентов сохраняется тенденция к дальнейшему удалению оставшихся частиц при восстановлении формы эластичной лопатки (см. вторые всплески на рис. 1, а, б).

Кроме того, дисперсия для компонента i = 2 более выражена, чем для компонента i = 1, например, дисперсионный диапазон длиннее для манной крупы примерно в 1,5 раза, чем для песка. Данный факт свидетельствует, что при заданных конструктивных и режимных параметрах частицы компонента i = 2 рассеиваются с большей скоростью, чем компонент i = 1, что объясняется физико-механическими особенности рассматриваемых сыпучих материалов.

Частицы природного песка более мелкие (d_T2 / d_T1 = 2,7), но более тяжелые (ρ_T2 / ρ_T1 = 0,94), чем частицы манки, вследствие чего отскакивают под меньшим углом от поверхностей эластичных лопаток. Однако простое изменение угловой скорости вращения смесительного барабана в выбранном диапазоне 41,0…53,0 с^–1 не меняет данную картину, что подтверждает выводы, сделанные в работах [8 – 10], о необходимости дополнительного исследования других факторов, существенно влияющих на процесс формирования разреженных потоков ротационным способом. Например, как было показано в работах [8 –10], к таким факторам следует отнести степень деформирования гибких элементов в зазорах с барабаном, которая характеризуется отношением длины бил к высоте зазора. Кроме того, рассмотрен результат работы только одного ряда эластичных лопастей.

Вышесказанные замечания о полученных результатах моделирования приводят к необходимости расширения набора исследуемых конструктивных параметров при формировании кибер-физической платформы для разработки инженерного метода расчета проектируемого смесителя-уплотнителя. Выявленная характерная тенденция разбрасывания основного числа частиц при малых углах поворота смесительного барабана для обоих компонентов является основой для получения условия эффективного смешивания сыпучих компонентов. При этом требуется такая настройка диапазонов множества параметров процесса, влияющих на формирование кибер-физической системы, чтобы обеспечить условие сближения экстремальных угловых значений для полярной координаты θ смешиваемых компонентов. Например, указанное сближение фактически наблюдается (θ < 0,19 рад) при сравнении первых всплесков на кривых 3 (см. рис. 1, а и б), построенных при одинаковом максимальном значении угловой скорости барабана из выбранного диапазона изменения параметра ω.

Заключение

Таким образом, выполненное стохастическое моделирование процесса формирования разреженных потоков сыпучих компонентов на этапе ротационного смешивания с помощью одного ряда прямоугольных эластичных лопаток, закрепленных в касательных плоскостях к цилиндрической поверхности смесительного барабана, расположенного над транспортерной лентой, показало возможность применения энергетического метода. Полученные при этом аналитические зависимости для дифференциальных функций распределения числа частиц каждого компонента по полярной угловой координате позволяют:

– выявить необходимые для анализа основные факторы влияния на эффективность процесса смешивания;

– расширить параметры изучаемого процесса, участвующие в формировании платформы его кибер-физической системы;

– спрогнозировать поведение сыпучих компонентов при их ротационном смешивании для создания условий эффективного смешивания при анализе достижимости критерия сближения экстремальных угловых значений полярной координаты для смешиваемых сыпучих компонентов;

– с учетом перечисленных выше фактов подтвердить целесообразность применения на транспортерной ленте смесительного устройства в виде барабана с эластичными лопатками, закрепленными указанным способом с помощью оценки критерия качества получаемой сыпучей смеси, например, вычисляя коэффициент ее неоднородности.

About the authors

A. B. Kapranova

Yaroslavl State Technical University

Author for correspondence.
Email: kapranova_anna@mail.ru

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика»

Russian Federation, Yaroslavl

D. D. Bakhaeva

Yaroslavl State Technical University

Email: kapranova_anna@mail.ru

старший преподаватель кафедры «Информационные системы и технологии»

Russian Federation, Yaroslavl

D. V. Stenko

Yaroslavl State Technical University

Email: kapranova_anna@mail.ru

аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика»

Russian Federation, Yaroslavl

I. I. Verloka

Yaroslavl State Technical University

Email: kapranova_anna@mail.ru

кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Теоретическая и прикладная механика»

Russian Federation, Yaroslavl

References

Supplementary files