Об одном фундаментальном свойстве контакта (удара) жестких упругих тел

Abstract

Если мы предположим, что два тела касаются и изменяется только давление между ними, то деформация материала изменяется пропорционально кубическому корню из этого нашего давления (Генрих Герц, 1884¹).

Сближение упругих тел пропорционально давлению в степени 2/3, а не давлению в первой степени (М.С. Лейбензон, 1947²).

Укажем, что зависимость вида h = const F^2/3 или F = const h^3/2 имеет место не только для шаров, но и при соприкосновении других конечных тел (Л.Д. Ландау и Е.М. Лившиц, 1954³).

¹ Hertz H. Ueber die Berührung fester elastischer Körper // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1882. V. 92. P. 156–171.

² Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. – Москва, 1947. 173 с.

³ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. – Гостехиздат, 1953. 676 с.

Full Text

Прочность характеризует способность твердых тел сохранять целостность под действием внешних механических нагрузок. Однако нередко термин «прочность» звучит и при определении деформации тела под нагрузкой. Очевидно, что эти два процесса взаимосвязаны. Учение о прочности развивалось первоначально на основе теории упругости и пластичности в рамках механики сплошных сред. Известно много различных теорий и представлений за последние 300–400 лет (более ранние свидетельства не сохранились). Многообразие практических задач привело к построению большого количества математических моделей, отражающих ту или иную сторону процесса деформации и разрушения при различных начальных условиях. Перечислить главные из них не представляется возможным. Базовые принципы этих представлений изложены в известном труде Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Механика сплошных сред».

Важным этапом развития представлений о прочности является переход к анализу атомно-молекулярных взаимодействий и расчеты энергий атомного взаимодействия.

Общее определение динамической фрагментации охватывает любой процесс, который разделяют массу материала на дискретные области, например, фрагментация из-за хрупкого разрушения при ударной нагрузке. Предсказание размера фрагмента является необходимым условием для понимания процесса. Площадь поверхности или границы раздела, создаваемые в процессе фрагментации, определяются равновесным балансом энергии поверхности или границы раздела и локальной инерциальной или кинетической энергией. Размер фрагмента связан с площадью поверхности раздела. Концепция энергетического баланса ненова. Одним из первых исследователей проблемы контакта жестких упругих тел был Г. Герц [1]. Он установил, что если два данных тела соприкасаются и изменяется только давление между ними, то деформация материала изменяется пропорционально кубическому корню из этого полного давления.

Последующие затем многочисленные теоретические и экспериментальные работы (часть этих работ приведены в ссылках эпиграфа) позволили автору [2] построить теорию на мезоуровне. Для размера фрагмента d получено

$d={\left(\frac{{r_0}^{1/2}\cdot K_{1C}}{\mathrm{\rho }\cdot c\cdot \mathrm{\epsilon }}\right)}^{2/3}$ (1)

где ε – скорость деформации, К_1С – вязкость разрушения материала.

На атомном уровне это проблема для металлов была исследована в [3]. На основе теоретических расчетов было показано, что соотношение энергия связи – расстояние можно количественно описать в терминах простого двухпараметрического масштабирования универсальной функции уравнения состояния и универсального объема на атом.

Была определена характерная длина l, которая описывает район сильного атомного взаимодействия. Экспериментальные данные могут быть преобразованы в универсальную функцию F, которая связана с давлением P и объемом V как

$\text{F}\mathrm{\mu }{V}^{2/3}\times \mathrm{\rho }\left(V\right)$ (2)

и является универсальным соотношением (для металлов при сжатии). Масштаб длины l, характеризующий диапазон, в котором действуют сильные силы, входит в соотношение атомного размера ячейки r_wse (ячейка Вагнера–Зейтца).

$\text{h}=r_{\text{wse}}/l,$ (3)

которая определяет меру ангармоничности кристалла и может служить оценкой порога разрушения. Практически одновременно, в том же 1984 г., вышла работа [4], в который исследована связь предельной упругой деформации с энергией диссоциации. Для решения общей задачи исследовали потенциал Морзе.

$U\left(r\right)=D_{\text{CB}}\times \text{exp}\left[K(r-r_m)\right]\times {\left\{\text{exp}\left[K\right(r-r_m\left)\right]\right\}}^{-3/2}$ (4)

D_св = Q_ср – энергия диссоциации, r_m – равновесная длина связи, $K=\sqrt{\frac{K_r}{r{D}_{\text{CB}}}}$.

Силовая постоянная К характеризует растяжение связи [5]. Опуская детали расчетов из [4] и принимая во внимание, что сила взаимодействия необходимая для разрушения связи F_max, равна:

$F_{\text{max}}=\left(\frac{d\left(U\right)}{d{r}_m}\right)/d{r}_{\text{m}}$, (5)

а модуль Юнга

$E=\frac{dF}{dr}\times r_{\text{max}}$, (где r = r_max ), (6)

получаем

$F_{\text{max}}=\mathrm{0,25}\left(\frac{U_l}{r_m}\right)\sqrt{\mathrm{\lambda }\cdot m\cdot D_{\text{CB}}}$ (7)

$E=\left(\frac{U_l^2}{r_m}\right)\cdot m$ (8)

${\mathrm{\epsilon }}_p=\left(lnr/U_l\right)\sqrt{\mathrm{\lambda }\cdot m\cdot D_{\text{CB}}}$ (9)

где ε_р – предельная деформация до разрушения, m – средняя масса атомов, U_l – продольная скорость звука в веществе.

Из приведенной модели следует:

${\mathrm{\sigma }}_p=\mathrm{0,25}\cdot U_l\cdot \mathrm{\rho }\sqrt{\mathrm{\lambda }\cdot m\cdot D_{\text{CB}}}$ (10)

$E=\rho \cdot U_l^2$ (11)

${\mathrm{\epsilon }}_p=(\ln r/U_R)\sqrt{\lambda \cdot D_{CB}/m}$ (12)

где σ_p – прочность на разрушение, ρ – плотность вещества, а М = 1 г/моль вещества.

Замечательно, что результаты расчетов, полученных по макромодели (механика твердого тела) и микромодели (из энергии межатомного взаимодействия) качественно коррелируют и приводят к одним и тем же аналитическим зависимостям сближения (линии разрушения) от давления на границе соприкосновения. Этот вывод справедлив для хрупких тел и соответствует базовому принципу теории Гриффитса, согласно которому трещина станет лавинообразно расширяться, если скорость освобождения упругой деформации превышает прирост поверхностной энергии трещины [6]. Формула Гриффитса для прочности упругого тела с трещиной длины l позволяет оценить теоретическую прочность s_max, если рассматривать длину трещины до размеров среднего межатомного расстояния a_o.

Тогда

${\mathrm{\sigma }}_{\text{max}}=\mathrm{\lambda }\sqrt{E\cdot \mathrm{\gamma }/a_0}$ (13)

где λ – коэффициент формы, а g – поверхностное натяжение.

Важно, что согласно методу Гриффитса прочность хрупкого тела на одностороннее и всестороннее растяжение одинакова. Используем это соотношение в виде:

$\mathrm{\sigma }\sqrt{a_0}=\mathrm{\lambda }\sqrt{E\cdot \mathrm{\gamma }}$ (14)

$\mathrm{\sigma }\sqrt{a_0}=\text{const}$ (15)

В таком виде это соотношение хорошо соблюдается для хрупких и квазихрупких материалов и называется коэффициентом интенсивности напряжений К_1С и имеет размерность силы, деленный на длину в степени трех вторых [7]. Понятно, что в реальных условиях коэффициент интенсивности напряжений будет зависеть от формы тела, внешних нагрузок, распределения и размера трещин и их состава (химического). Очевидна эквивалентность двух подходов, что указывает на прямую зависимость между теорией Гриффитса и современными представлениями теории разрушения. Подробное изучение процессов, благодаря которым материалы оказывают сопротивление растрескиванию, приводит к разработке новых сверхпрочных материалов.

Существует множество подходов, в которых уделяется внимание тому или иному явлению, или отдельно деталям процесса разрушения (в действительности имеются тысячи практических задач и, соответственно, граничных условий), которые могут быть главными в процессе разрушения. Поэтому в сочетании с подходами базовой механики разрушения, и как дополнение к ней, указанные подходы представляют большую ценность [8]. Рассмотрим основные среди них [9].

Критерий Стиглица включает несколько параметров:

$G=E{H}_k/\mathrm{\rho },$ (16)

где G – модуль сдвига, Е – модуль упругости, H_k – твердость по Кнуппу, ρ – плотность керамической преграды.

Известен также критерий Суи-Кил Чанга, по которому оценивают баллистическое качество брони как отношение прочности к коэффициенту трещиностойкости К_1С. Из этих представлений следует, что минимальный размер фрагмента разрушения равен:

$a=\frac{6\cdot \left(1-{\mathrm{\mu }}^2\right)\cdot K_{1c}^2}{{\mathrm{\sigma }}_{np}^2\cdot \mathrm{\Psi }}$ (17)

где μ – коэффициент Пуассона, s_пр² – предел прочности при одноосном сжатии, Ψ – коэффициент порядка единицы. Эмпирический критерий Нешпора, способности керамического материала к поглощению и рассеянию энергии ударника:

$E_{\text{уд}}=\frac{\mathrm{0,36}\cdot H_V\cdot C_l\cdot E}{K_{1c}^2}$ (18)

где H_v – твердость по Виккерсу, С_l – скорость распространения звуковой волны, Е – модуль Юнга.

Существенным недостатком вышеперечисленных критериев является использование для расчетов измеряемых величин не физических моделей, а экспериментальных корреляций, что позволяет делать только качественные оценки. Кроме того результаты измерений твердости связаны с условиями измерения (величина нагрузки, тип пирамиды, состояние поверхности и т.п.) и могут сильно различаться. Важно также и то, что различные керамические вещества довольно заметно отличаются по упруго пластическим свойствам. В зависимости от диаграммы состояния Р–Т–х переход от хрупкого разрушения к пластическому может происходить при разных давлениях и температурах. Для пластических тел сопротивление прониканию, согласно теории Алексеевского–Тейта [10]:

$P=\frac{1}{2}\cdot {\mathrm{\rho }}_{\text{пр}}\cdot V_y^2+R$ (19)

где ρ – плотность преграды, V_у – скорость ударника, R – прочностное сопротивление преграды, соответствующее динамической прочности H_Д.

Более детально с учетом упруго-пластических свойств керамики проблема разрушения рассмотрена в [11]. Для области упруго-трещинообразующей, что и соответствует большинству керамик (В₄ С, ВN, AlB_12, «Идеал» и т.п.) зависимость размеров каверны в относительных единицах равняется:

${\left(\raisebox{1ex}{$a$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$R$}\right.\right)}^{3/2}=9\cdot \left(1-\mathrm{\mu }\right)\cdot \raisebox{1ex}{$T$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$E$}\right.$ (20)

или

$R_t=2\cdot T{\left[E\cdot 9\cdot \left(1-\mathrm{\mu }\right)\cdot T\right]}^{\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}$ (21)

где Е – модуль Юнга, s – прочность на растяжение, μ – коэффициент Пуассона, Т – температура, R – прочностное сопротивление преграды.

Большинство предложенных расчетов связаны с неопределенностью формулировок некоторых «констант» механики, таких параметров как твердость, прочность на разрыв и т.п., а также существенным влиянием на результаты измерений условий измерений. Для многих критериев очевиден эмпирический характер, мало связанный с физической моделью разрушения конкретного материала.

Практическая ценность развития физических представлений определяется возможностью получить оценку поведения различных материалов при динамическом нагружении, исходя из представлений [4]. В самом деле, для длинного, тонкого, недеформированного стержня (длина l_c), энергия которого расходуются на диссоциацию (разрыв межатомных связей) вещества найдены:

$l_n=l_c\cdot a\sqrt[3]{\frac{\mathrm{\rho }\cdot c\cdot V_c^2}{\mathrm{\rho }\cdot V_l^2}}$ (22)

где а = (ln2)^3/2, другие обозначения из [12].

Полученное выражение позволяет построить ряд материалов по их способности противостоять нагружению. Приведенное выше выражение вызвало сомнение у ряда исследователей, например в [13]. Следует отметить, что скептический комментарий авторов связан с неверно прочитанной формулой, т.к. на самом деле она отражает отношение глубины пробития к длине стержня, а не с давлением в зоне контакта.

Много усилий было потрачено на развитие физических представлений о процессе удара во всем диапазоне скоростей нагружения и упруго-пластических свойств преграды. Частичный обзор этих работ приведен в [13].

К настоящему времени сложилось сложная многостадийная картина проникания ударника в преграду в широком диапазоне скоростей нагружения и механизмов диссипации энергии на каждой стадии. Большую роль в сопротивлении удару играет скорость звука, т.к. многие процессы диссипации связаны с ней, и определяются через комбинацию упругого разгруженния волны Рэлея, скорость распространения трещины, диссоциацию. Впервые эти идеи были развиты в [3, 4] и в последующем активно развивались в [14]. Эти работы в основном опирались на представления, развитые в [10, 11] для высоких скоростей нагружения металлических (пластических) материалов. Однако ряд материалов (прежде всего керамики) существенно отличается по свойствам от металлов и других веществ, высокой прочностью, модулем Юнга, модулем сдвига и способностью к хрупкому разрушению без этапа пластического течения. Собственно общепринятые определения хрупкости и означают нарушение целостности объекта без пластических сдвигов [7].

Поверхностную энергию g можно вычислить из энергии связи между атомами. Согласно [7]:

$\text{g}=U_c\frac{m_o{s}_o}{\mathrm{\rho }n}$, (23)

где m_o – масса одного атома; S_o – общее число связей в твердом теле объема V_1; n – число ближайших соседей (координационное число). Эта оценка позволяет определить верхний предел возможностей прочности твердых тел.

Формула Гриффитса для прочности упругого тела с трещиной длиной l позволяет оценить теоретическую прочность, если экстраполировать формулу (15) на трещины с размером порядка среднего межатомного расстояния l-a_o. Тогда

$s_{\text{max}}={\text{l}}_1\times \sqrt{E\mathrm{\gamma }/a_o}$. (24)

При определенной внешней нагрузке в бесконечно малой окрестности некоторой точки О контура трещины произошло местное разрушение, в результате которого контур трещины переместился в новое положение. Напряжение, деформация и смещение вблизи точки О описываются уравнениями, в которые входят в качестве параметров коэффициенты интенсивности напряжений К_I, К_II, К_III, описывающие различные разрушения, сдвиг, смещение, разрыв. Начало разрушения определяется только этими параметрами, т.е. существует замкнутая поверхность

$f\left(K_{\text{I}},K_{\text{II}},K_{\text{III}}\right)=0$ (25)

такая, что как только конец вектора (К_I, К_II, К_III) попадает на эту поверхность, в точке О происходит локальное разрушение [7]. Для трещин основных типов критерий локального разрушения принимает вид

${\text{K}}_{\mathrm{I}}=K_{\text{1C}};K_{\text{II}}=\mathrm{0,}{K}_{\text{III}}=0$.

Для трещин нормального разрыва зависимость разрушающей нагрузки р от длины l будет [7]:

$p=K_{\text{1C}}/\sqrt{\mathrm{\pi }\cdot l}$. (26)

Росту трещин отвечает увеличение силы p, что свидетельствует об устойчивом квазистатическом увеличении трещин.

Большинство важнейших конструкционных материалов относится к композиционным материалам, состоящих из нескольких компонентов. В этом плане можно выделить сплавы металлов, стеклопластики, ситаллы, металлы и керамику, вещества, содержащие в себе графит, фуллерены, углеродные нити и т.п. Принято [7] для описания разрушения таких веществ – композитов вводить понятие структурной ячейки, т.е. элемента объема характерного по свойствам и периодически повторяющийся во всем объеме тела. Свойства материала естественно, будут определяться одинаково во всем объеме числом таких структурных элементов, тогда:

$K_{\text{1C}}=\text{l}\times s_o\sqrt{d_o},$ (27)

где s_о – средняя прочность на разрыв структурной ячейки с характерным размером d_o, l – множитель порядка единицы.

Для большинства хрупких тел наблюдается эффект «самоподдерживающего разрушения». Если некий объем хрупкого тела подвергнуть всестороннему сжатию (начальных сдвиговых напряжений не наблюдается), а затем освободить поверхность образца от нагрузки, то вглубь материала начнет распространяться волна разгрузки. Если запасенная телом потенциальная энергия упругого сжатия достаточно велика, то сдвиговые микротрещины, находящиеся в фронте разгрузки, становится неустойчивыми и их динамическое развитие приводит к разрушению тела. Необходимый запас упругой энергии может быть создан технологически – остаточные напряжения при отжиге, росте кристаллов, обработки поверхности и т.п. Разрушенный материал представляет собой множество отдельных частиц, движущихся со скоростью относительно поверхности покоящегося неразрушенного тела. Самоподдерживающееся разрушение сопровождается сильным звуком и разбрасыванием разрушенного вещества. При самоподдерживающемся разрушении хрупкого тела в поверхностную энергию переходит лишь некоторая часть упругой энергии тела, а остальная часть переходит в кинетическую энергию осколков и энергию образования этих осколков.

Эффективная поверхностная энергия (поверхностное натяжение шаровидной частицы радиуса r) будет равна 4pg r^2, а распределение частиц по размерам радиуса r_o, определяемого как [7]

$r_{\text{o}}=3\text{g}/(r\times П),$ (28)

будет

$D^2=\frac{3\mathrm{\gamma }-\left({\mathrm{\rho }}_oПr_o\right)}{\left(3{\mathrm{\rho }}_o{r}_oП\right)-3\mathrm{\gamma }}{r_o}^2$. (29)

Волна разрушения возникает в том случае, когда удельная энергия образца превзойдет величину D, т.е.

$\frac{\partial U}{\partial V}{ }^{3}D$. (30)

Здесь 𝜕 U изменение упругой энергии тела на всем изменении объема 𝜕 V. Условие (30) является естественным обобщением условия Гриффитса на объемное разрушение.

В 1881 г. Генрих Герц решил проблему квазистатического соударения двух различных упругих эллипсоидов. Позднее А. Динник в 1909 г. [14] проверил экспериментально это решение [7] и показал, что для хрупких материалов решение Герца перестает быть справедливым, как только на плоскости контакта появляется первые крупные трещины. В.Я. Шевченко в 2020 г. [12] показал, что при определенных граничных условиях наблюдается «обратный» конус Герца. В соответствии с экспериментальными наблюдениями процесс разрушения можно представить так. В начале контактная площадка увеличивается с ростом силы N и вес величины можно найти из решения Герца. Первые определенные трещины появляются вдоль контура площадки диаметром d_о, как только напряжение s достигнет значений прочности материала на разрыв. Следовательно, требуется некоторый запас упругой энергии, чтобы могла возникнуть достаточно глубокая коническая трещина. Края области контакта разрушаются, и вся энергия начинает действовать на объем с характерным радиусом а_о, где и формируется главная коническая область. Таким образом, создается запас упругой энергии для возникновения самоподдерживающегося разрушения. Тогда диаметр конической трещины будет зависеть от а, N, K_1C и коэффициента Пуассона n, следовательно [7]:

$d={\left(\frac{N}{K_{1C}}\right)}^{2/3} j_1\left(\frac{a{K}_{1C}^{2/3}}{N^{2/3}} ,v\right)$, (31)

где j₁ – произвольная функция своих аргументов.

Экспериментально наблюдаются для хрупких тел и звездистые магистральные трещины. По аналогии с [15] приведем результат:

$K_{\text{1C}}=3ns\sqrt{\mathrm{\pi }\cdot l}$, (32)

при n ³ 10, $f\left(n\right) = 2\sqrt{n}$, где n – число магистральных трещин, l – длина трещины, s – напряжение на разрыв.

Влиянием масштабного эффекта можно пренебречь только в том случае, когда его размер существенно меньше размера пластической области вблизи конца большой (макроскопической трещины, находящийся в предельном состоянии). Существует оптимальная толщина пластины n_о при которой вязкость разрушения, а, следовательно, и прочность, будет максимальной при прочих равных условиях. Поэтому, если монолитный образец толщиной n заменить многослойным образцом той же толщины (слои склеенный каким-либо связующим), то для заданной толщины будет достигнута максимально возможная прочность. Таким образом, создание многослойных конструкций является одним из путей повышения удельной прочности и надежности.

В керамических материалах под воздействием девиаторных напряжений происходит разрушение практически без пластической деформации. Деформация хрупких материалов сопровождается также увеличением объема в результате растрескивания. В нормальных условиях растрескивание начинается при напряжениях сжатия порядка 1/3–2/3 предела упругости [16]. При дальнейшем увеличении сдвиговых напряжений происходит распространение трещин, материал разрушается. В области разрушенных состояний материал ведет себя подобно песку. При этом сопротивление сдвигу контролируется трением и возрастает пропорционально действующему давлению.

Таким образом, совокупность экспериментальных и расчетных данных указывает на возможность образования волн разрушения при ударном сжатии гомогенных хрупких материалов. Скорость этой волны является около звуковой и убывает по мере распространения.

Проведенное рассмотрение отдельных аспектов прочности хрупких тел (керамик) подтверждает универсальную зависимость деформации от давления, вытекающую из фундаментальных особенностей межатомного взаимодействия и переходящего в микро- и макроскопический масштаб. Полученные выводы весьма полезны и плодотворны для создания реальных конструкций с оптимальными свойствами.

Работа по анализу взаимосвязи между теорией Гриффитса и современными представлениями теории разрушения выполнена при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда «Новые физические и химические принципы технологии металлических, металлокерамических и керамических материалов с управляемой макро-, микро- и наноструктурой и уникальными служебными характеристиками» (№ 21-73-30019); работа по формированию волн разрушения при ударном сжатии гомогенных хрупких материалов проведена за счет финансовой поддержки гранта Российского научного фонда «Материалы для бронезащиты нового поколения на основе реакционно-диффузионных процессов Тьюринга для синтеза алмаз-карбидкремниевых композитов со структурой трижды периодических поверхностей минимальной энергии» (№ 20-13-00054-П).

Конфликт интересов

Авторы данной работы заявляют, что у них нет конфликта интересов.