ALGORITHMS FOR SOLVING THE COULOMB TWO-CENTER PROBLEM

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

New algorithms for solving the Coulomb two-center problem of discrete and continuous spectra in prolate spheroidal coordinates with separation of independent variables are presented. Energy eigenvalues and separation constants, as well as eigenfunctions of the discrete spectrum, are calculated using the secant method and the finite element method (FEM) on an appropriate grid with a real parameter – the distance between the Coulomb centers. At each step of the secant method, eigen solutions of the discrete spectrum are computed using the KANTBP 5M program implementing FEM in the Maple system. For the continuous spectrum problem (at a fixed energy eigenvalue), it is sufficient to solve the eigenvalue problem for the quasianqular equation with respect to the separation constant and use it when solving the boundary value problem for the quasiradial equation with respect to the unknown phase shift and eigenfunction using the KANTBP 5M program. The results of test calculations agree with reference calculations performed by programs implementing alternative methods in FORTRAN with the required accuracy.

About the authors

H. L Luong

Ho Chi Minh City Pedagogical University

Email: haill@hcmue.edu.vn
Ho Chi Minh City, Vietnam

A. I Muratova

Tver State University

Tver, Russia

O. O Kovalev

Joint Institute for Nuclear Research; State University "Dubna"

Dubna, Russia; Dubna, Russia

A. A Gusev

Joint Institute for Nuclear Research; State University "Dubna"; Mongolian University of Science and Technology

Dubna, Russia; Dubna, Russia; Ulaanbaatar, Mongolia

V. L Derbov

Saratov State University

Saratov, Russia

S. I Vinitskii

Joint Institute for Nuclear Research; Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University)

Dubna, Russia; Moscow, Russia

References

  1. Комаров И.В., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции. М.: Наука, 1976.
  2. Славянов С.Ю., Лэй В. Специальные функции: Единая теория, основанная на сингулярностях. СанктПетербург: Невский диалект, 2002.
  3. Jaffe B.M. Zur Theorie des Wasserstoffmolekulions // Z. Phyzik. 1933. V. 87. P. 535.
  4. Baber W.G., Hasse H.R. The two center problem in wave quantum mechanics // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1935. V. 31. P. 564.
  5. Peek J.M. Eigenparameters for the 1sσg and 2pσu Orbitals of H+2 // J. Chem. Phys. 1965. V. 43. P. 3004.
  6. Madsen M.M., Peek J.M. Eigenparameters for the Lowest Twenty Electronic States of the Hydrogen Molecule Ion // Atomic Data. 1971. V. 2. P. 171.
  7. Пономарев Л.И., Пузынина Т.П. Задача двух центров в квантовой механике. II Математическая часть // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8.№6. С. 1256.
  8. Puzynina T.P. TERM–Program for Calculation of Characteristic Constants of Problems for System Two Center Problem in Quantum Mechanics // Collection of Scientific Papers in Collaboration of JINR, KFKI-77-12, Dubna, USSR and Central Research Institute for Physics, Hungary, Budapest (1977).
  9. Трускова Н.Ф. Вычисление с необходимой точностью собственных значений и собственных функций двухцентровой модели в квантовой механике // Сообщение ОИЯИ. 1976.№P11-10207.
  10. Abramov D.I., Slavyanov S.Yu. The two Coulomb centers problem at small intercentre separations // J. Phys. B. 1978. V. 11. P. 2229.
  11. Виницкий С.И., Пономарев Л.И. Адиабатическое представление в задаче трех тел с кулоновским взаимодействием // Физ. элем. частиц ат. ядра. 1982. V. 13.№6. P. 1336.
  12. Виницкий С.И., Пономарев Л.И., Пузынина Т.П. Задача двух центров в квантовой механике. IX. Алгоритм вычисления матричных элементов с m ̸= 0 // Сообщение ОИЯИ 1983.№Р4-83-498.
  13. Ponomarev L.I., Puzynina T.P. Tables of the Effective Potentials for the Three-Body Problem with the Coulomb Interaction in the Adiabatic Representation // Communication of JINR. 1983. No. E4-83-778,
  14. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Gerdt V.P., Rostovtsev V.A., Vinitsky S.I., Abrashkevich A.G., Kaschiev M.S., Serov V.V. POTHMF: A program for computing potential curves and matrix elements of the coupled adiabatic radial equations for a hydrogen-like atom in a homogeneous magnetic field // Comput. Phys. Commun. 2008. V. 178. P. 301.
  15. Скороходов С.Л., Христофоров Д.В. Вычисление точек ветвления собственных значений кулоновского сфероидального волнового уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47.№11. С. 1800.
  16. Gusev A.A., Solov’ev E.A., Vinitsky S.I. ARSENY: A program for computing inelastic transitions via hidden crossings in one-electron atomic ion–ion collisions with classical description of nuclear motion // Comput. Phys. Commun. 2023. V. 286. P. 108662.
  17. Ponomarev L.I., Somov L.N. The Wave Functions of Continuum for the Two–Center Problem in Quantum Mechanics // J. Comput. Phys. 1976. V. 20. P. 183.
  18. Abramov D.I., Kazakov A.Ya., Ponomarev L.I., Slavyanov S.Yu., Somov L.N. Phase shifts in the Coulomb two-centre problem // J. Phys. B. 1979. V. 12. P. 1761.
  19. Rankin J., Thorson W.R. Continuum wave functions for the two-center, one-electron system // J. Comput. Phys. 1979. V. 32. P. 437.
  20. Nakamura H., Takagi H. Two-centre Coulomb phaseshifts and radial functions // Tech. Rep. 1980. IPPJ-AM–16. Japan.
  21. Великов В.П., Иванов К.И., Маринов А.Т. Расчет фаз двухцентрового кулоновского рассеяния с использованием асимптотических разложений для нерегулярных кулоновских сфероидальных функций c-типа // Сообщение ОИЯИ. 1983.№Р4-83-135.
  22. Tergiman Y.S. Continuum wave functions and phase shifts for the one-electron state of the Coulomb two-center problem // Phys. Rev. A. 1993. V. 48. P. 88.
  23. Hadinger G., Aubert-Frcon M., Hadinger G. Continuum wavefunctions for one-electron two-centre molecular ions from the Killingbeck-Miller method // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. 1996. V. 29. P. 2951.
  24. Singor A., Savage J.S., Bray I., Schneider B.I., Fursa D.V. Continuum solutions to the two–center Coulomb problem in prolate spheroidal coordinates // Comput. Phys. Commun. 2023. V. 282. P. 108514.
  25. Cayford J.K., Fimple W.R., Unger D.G., White S.P. A finite-difference Newton-Raphson solution of the two-center electronic Schrodinger equation // J. Comput. Phys. 1974. V. 16. P. 259.
  26. Pavlov D.V., Puzynin I.V., Vinitsky S.I. Discrete Spectrum of the Two-Center Problem of pHe+ Atomcule // Communication JINR 1999. No. E4-99-141.
  27. Pavlov D.V., Puzynin I.V., Joulakian B.B., Vinitsky S.I. Wave Functions of Continuous Spectrum of the Coulomb Two-Center Problem // J. Comput. Meth. Sci. Eng. 2002. V. 2. P. 261.
  28. Serov V.V., Puzynin I.V., Joulakian B.B., Vinitsky S.I. (e, 2e) Ionization of H+2 by Fast Electron Impact: Application of the Exact Nonrelativistic Two-Center Continuum Wave // Phys. Rev. A. 2002. V. 65. P. 062708.
  29. Серов В.В., Дербов В.Л., Сергеева Т.А., Виницкий С.И. Современные методы расчета фотоионизации и ионизации электронным ударом двухэлектронных атомов и молекул // Физика частиц и ядра. 2013. V. 44. P. 757.
  30. Бате К.-Ю. Методы конечных элементов М.: Физматлит, 2010.
  31. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Vinitsky S.I., Abrashkevich A.G. ODPEVP: A program for computing eigenvalues and eigenfunctions and their first derivatives with respect to the parameter of the parametric self-adjoined Sturm–Liouville problem // Comput. Phys. Comm. 2009. V. 180. P. 1358.
  32. Liang T., McCurdy C.W., Rescigno T.N. Grid-based methods for diatomic quantum scattering problems: A finiteelement discrete-variable representation in prolate spheroidal coordinates // Phys. Rev. A. 2009. V. 79. P. 012719.
  33. Chuluunbaatar G., Gusev A.A., Derbov V.L., Vinitsky S.I., Chuluunbaatar O., Hai L.L., Gerdt V.P. A Maple implementation of the finite element method for solving boundary-value problems for systems of second-order ordinary differential equations // Commun. Comput. Inform. Sci. 2021. V. 1414. P. 152.
  34. Gusev A.A., Hai L.L., Chuluunbaatar O., Vinitsky S.I. KANTBP 4M – program for solving boundary problems of the self-adjoint system of ordinary second order differential equations // JINRLIB. JINR. 2015. [http://wwwinfo.jinr.ru/programs/jinrlib/kantbp4m/indexe.html]
  35. Maplesoft. https://www.maplesoft.com
  36. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.
  37. Бете Г.А., Солпитер Э.Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. М.: ГИФМЛ, 1960.
  38. Barnett A.R., Feng D.H., Steed J.W., Goldfarb L.J.B. Coulomb wave functions for all real η and ρ // Comput. Phys. Commun. 1974. V. 8. P. 377.
  39. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Vinitsky S.I., Abrashkevich A.G., Wen P.W., Lin C.J. KANTBP 3.1: A program for computing energy levels, reflection and transmission matrices, and corresponding wave functions in the coupledchannel and adiabatic approaches // Comput. Phys. Commun. 2022. V. 278. P. 108397.
  40. Соловьев Е.А. Неадиабатические переходы при атомных столкновениях // УФН 1989. V. 32. P. 228.
  41. Соловьев Е.А. Новые подходы в квантовой физике. М.: Физматлит, 2019.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».