Email this article 
ESTIMATING THE SPECTRAL RADIUS OF THE JACOBIAN MATRIX IN EXPLICIT STABILIZED RUNGE–KUTTA METHODS
- Authors: Skvortsov L.M1
-
Affiliations:
- 3V Service OOO
- Issue: Vol 65, No 11 (2025)
- Pages: 1800-1812
- Section: General numerical methods
- URL: https://journals.rcsi.science/0044-4669/article/view/355745
- DOI: https://doi.org/10.7868/S3034533225110049
- ID: 355745
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
When using explicit stabilized Runge–Kutta methods to solve stiff systems of ordinary differential equations, an estimate of the spectral radius of the Jacobian matrix is required. Such an estimate can be obtained by applying Gershgorin's theorem or the power method. This paper investigates estimation procedures based on the nonlinear power method that do not require computation of the Jacobian matrix. The proposed procedures are embedded in the integration method and allow estimating the spectral radius even when it changes during the solution process. Examples of solving test problems are provided.
References
- Лебедев В.И. Как решать явными методами жесткие системы дифференциальных уравнений // Вычисл. процессы и системы. М.: Наука, 1991. Вып. 8. C. 237–291.
- Лебедев В.И., Медовиков А.А. Явный метод второго порядка точности для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1998.№9. С. 55–63.
- Лебедев В.И. Явные разностные схемы для решения жестких задач с комплексным или разделимым спектром // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40.№12. С. 1801–1812.
- Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука, 1997.
- Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциальноалгебраические задачи. М.: Мир, 1999.
- Verwer J.G. An implementation of a class of stabilized explicit methods for the time integration of parabolic equations // ACM Trans. Math. Software. 1980. V. 6. P. 188–205.
- Verwer J.G. Explicit Runge–Kutta methods for parabolic partial differential equations // Appl. Numer. Math. 1996. V. 22.№1–3. P. 359–379.
- Sommeijer B.P., Shampine L.F., Verwer J.D. RKC: An explicit solver for parabolic PDEs // J. Comput. Appl. Math. 1997. V. 88.№2. P. 315–326.
- Medovikov A.A. High order explicit methods for parabolic equations // BIT. 1998. V. 38.№2. P. 372–390.
- Abdulle A., Medovikov A.A. Second order Chebyshev methods based on orthogonal polynomials // Numer. Math. 2001. V. 90.№1. P. 1–18.
- Abdulle A. Fourth order Chebyshev methods with recurrence relation // SIAM J. Sci. Comput. 2002. V. 23. № 6. P. 2041–2054.
- Martin-Vaquero J., Janssen B. Second-order stabilized explicit Runge–Kutta methods for stiff problems // Comput. Phys. Comm. 2009. V. 180.№10. P. 1802–1810.
- Kleefeld B., Martn-Vaquero J. SERK2v2: A new second-order stabilized explicit Runge–Kutta method for stiff problems // Numer. Meth. Part. Different. Equat. 2013. V. 29.№1. P. 170–185.
- Kleefeld B., Martin-Vaquero J. SERK2v3: Solving mildly stiff nonlinear partial differential equations // J. Comput. Appl. Math. 2016. V. 299. P. 194–206.
- Kovа´cs E. A class of new stable, explicit methods to solve the non-stationary heat equation // Numer. Meth. Part. Different. Equat. 2021. V. 37.№3. P. 2469–2489.
- Скворцов Л.М. Явные методы Рунге–Кутты для умеренно жестких задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45.№11. С. 2017–2030.
- Скворцов Л.М. Явные стабилизированные методы Рунге–Кутты // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51.№7. С. 1236–1250.
- Скворцов Л.М. Явные многошаговые методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений // Вычисл. методы и программирование. 2008. Т. 9. Вып. 4. С. 409–418.
- Скворцов Л.М. Явные многошаговые методы с расширенными областями устойчивости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50.№9. С. 1539–1549.
- Скворцов Л.М. Численное решение обыкновенных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений. М: ДМК Пресс, 2022.
- Мойса А.В., Фалейчик Б.В., Репников В.И. Стабилизированные явные методы типа Адамса высоких порядков с демпфированием //Журнал Белорус. гос. ун-та. Матем. Инф. 2023. Т. 1. С. 64–75.
- Жуков В.Т. О явных методах численного интегрирования для параболических уравнений // Матем. моделирование. 2010. Т. 22.№10. С. 127–158.
- Скворцов Л.М. Явный многошаговый метод численного решения жестких дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47.№6. С. 959–967.
- Скворцов Л.М. Построение и анализ явных адаптивных одношаговых методов численного решения жестких задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60.№7. С. 1111–1125.
- Fowler M.E.,Warten R.M.Anumerical integration technique for ordinary differential equations with widely separated eigenvalues // IBM J. Research and Development. 1967. V. 11.№5. P. 537–543.
- Заворин А.Н. Применение нелинейных методов для расчета переходных процессов в электрических цепях // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1983. Т. 26.№3. С. 35–41.
- Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
- Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960.
- Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных значений. М.: Наука, 1991.
- Вержбицкий В.М. Вычислительная линейная алгебра. М.: Высш. школа, 2009.
- Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2005.
- Butcher J.C., Rattenbury N. ARK methods for stiff problems // Appl. Numer. Math. 2005. V. 53. P. 165–181.
- Mazzia F., Magherini C. Test set for initial value problem solvers. Release 2.4. University of Bari. Report 4/2008.
- Карташов Б.А., Шабаев Е.А., Козлов О.С., Щекатуров А.М. Среда динамического моделирования технических систем SimInTech. М: ДМК Пресс, 2017.
- Абдуллин А.Л., Березовская К.А. Применение собственных значений для сравнения явных и неявных схем интегрирования уравнений химической кинетики // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2015.№3. С. 27–34.
Supplementary files
