On asymptotics of the solution to the Cauchy problem for a singularly perturbed operator-differential transport equation with weak diffusion in the case of several space variables

Full Text

Об асимптотике решения задачи коши для сингулярно возмущенного дифференциально-операторного уравнения переноса с малой диффузией в случае многих пространственных переменных ^[1]

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Строится асимптотическое разложение решения задачи Коши для сингулярно возмущенного дифференциально-операторного уравнения переноса с малой нелинейностью и диффузионными слагаемыми

$\begin{array}{c}{\epsilon }^2\left(U_t+{\displaystyle \sum _{i=1}^m{D}_i(p)U_{x_i}}\right)=L_{p}U+\epsilon F\left(U,p\right)+{\epsilon }^3{\displaystyle \sum _{i=1}^m{B}_{i,p}{U}_{x_i{x}_i}},\\ \left|x_i\right|<\infty ,1\le i\le m,t>\mathrm{0,}\end{array}$ (1)

$U\left(\overline{x}\mathrm{,0,}p\right)=\omega \left(\overline{x}{\epsilon }^{-1},p\right).$ (2)

Здесь $U(\overline{x},t,p)$ – решение, зависящее от времени, пространственных переменных и переменной $p$, 0<ε<<1 – малый положительный параметр, D_i (p) – непрерывные по переменной p функции, $F(U,p)$ достаточно гладкая, $\omega (\overline{z},p)$ быстро убывает вместе со всеми своими производными при $‖\overline{z}‖\to \infty$:

$\left|{\omega }^{(k)}\left(\overline{z},p\right)\right|<C{e}^{-\kappa {‖\overline{z}‖}^2}\forall z,C,\kappa >\mathrm{0,}\forall k=\mathrm{0,1,...},$ (3)

константы C,κ могут зависеть от номера k. Операторы коэффициентов диффузионного обмена $B_{i,p}$ описывают диффузионные потоки по пространственным переменным x_i ( первый индекс относится к пространственным переменным, второй указывает, что операторы $B_{i,p}$ действуют по переменной p).

На данные задачи наложим условия.

I. Оператор L_p имеет счетное количество простых собственных значений λ_i , i=0,1,…, которым отвечает полная система собственных функций h_i. Оператор L_p имеет однократное нулевое собственное значение λ₀ =0, которому отвечает собственная функция h₀, собственная функция h*₀ есть собственная функция сопряженного оператора L*, отвечающая нулевому собственному значению; остальные ненулевые собственные значения λ имеют отрицательные вещественные части: Re λ <-ϰ<0.

II. $(F(Z,p),h{*}_0)=0.$ 

III. Операторы B*_i имеют нулевые собственные значения, которым отвечают собственные функции $h{*}_0$: $B_i*h{*}_0=0\forall \text{1}\le i\le m.$

IV. $(h_0,h{*}_0)\ne 0.$ Ниже положим $(h_0,h{*}_0)=1.$

Легко показать, что из условий I–III следует закон сохранения

${\displaystyle \underset{R^m}{\int }(U,h{*}_0)}d\overline{x}=const.$ (4)

Начальные условия (2), имеющие вид асимптотически узкой «шапочки», выбраны таким образом для того, чтобы исследовать асимптотику решения в наиболее интересных зонах больших градиентов начальных условий.

Настоящая работа является продолжением работ [1]–[3]. Основная цель настоящей работы – получение формального асимптотического разложения решения (ФАР, АР) задачи (1), (2) по малому параметру и определение задач, описывающих главный член разложения, представляющий в прикладных областях основной интерес.

Асимптотическое разложение (АР) решения начальной задачи строится методом пограничных функций (см. [4]) и имеет вид

$\begin{array}{c}U\left(\overline{x},t,p\right)=\overline{U}\left(\overline{x},t,p\right)+S\left(\zeta ,t,p\right)+\Pi \left(\xi ,\tau ,p\right)+R_N=\\ ={\displaystyle \sum _{i=0}^N{\epsilon }^i}\left({\overline{u}}_i\left(\overline{x},t,p\right)+s_i\left(\overline{\zeta },t,p\right)+{\pi }_i\left(\overline{\xi },\tau ,p\right)\right)+R_N=U_N+R_N.\end{array}$ (5)

Вид переменных $\overline{\zeta },\overline{\xi },\tau$ описан ниже. Порядок разложения N определяется гладкостью входных данных.

Для краткости записи в тех случаях, когда это не вызывает неоднозначности при прочтении, в формулах зависимость от параметра p может быть опущена.

В соответствии с погранслойным методом А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова (см. [4]) нелинейная функция F(U) представляется в виде

$\begin{array}{c}F\left(U\right)=F\left(\overline{U}+S+\Pi +R\right)= F\left(\overline{U}\right)+\\ +\left(F\left(\overline{U}+S\right)-F\left(\overline{U}\right)\right)+\left(F\left(\overline{U}+\Pi \right)-F\left(\overline{U}\right)\right)+\\ +\left(F\left(\overline{U}+S+\Pi +R\right)-F\left(\overline{U}+S\right)-F\left(\overline{U}+\Pi \right)+F\left(\overline{U}\right)\right)=\\ =\overline{F}+SF+\Pi F+RF.\end{array}$ (6)

В представлениях (5) и (6) $\overline{U}$ играет вспомогательную роль.

2. ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИКИ

Наличие нулевого собственного значения у оператора L_p относит сингулярно возмущенное уравнение (1) к так называемому критическому случаю (см. [4]). Построение АР для решения аналогичных задач подробно описано в работах [1]–[3], поэтому многие выкладки ниже опущены.

2.1. Построение регулярной части АР

Регулярная часть АР решения задачи (1) при условиях (2) равна нулю, но для дальнейшего изложения необходимо выписать задачу, из которой определяется главное слагаемое регулярной части:

$\overline{U}\left(\overline{x},t,p\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^N{\epsilon }^i}{\overline{u}}_i\left(\overline{x},t,p\right).$ (7)

Опуская выкладки, аналогичные выкладкам в работах [1]–[3], сразу выпишем форму главного члена ${\overline{u}}_0(x,t,p)=h(p)u_0(x,t)$ и уравнение, которому подчиняется функция $u_0(\overline{x},t)$ :

$u_{\mathrm{0,}t}+{\displaystyle \sum _{i=1}^m{V}_i{u}_{\mathrm{0,}{x}_i}}=\mathrm{0,}$ (8)

где

$V_i=\left(D_i(p)h_0,h_0^{\ast }\right)/\left(h_0,h_0^{\ast }\right).$ (9)

Полученные выражения для коэффициентов V_i существенны для дальнейших построений.

При начальных условиях, зависящих только от растянутых переменных $\overline{x}/\epsilon$, начальные условия для u₀ имеют вид $u_0(\overline{x}\mathrm{,0,}p)=0$, поэтому $u_0(\overline{x},t,p)\equiv 0\forall \overline{x},t,p$, все остальные u_i тоже равны нулю. Соответственно этому, $\overline{U}=0$ и представление (6) принимает вид

$\begin{array}{c}F\left(U\right)=F\left(S+\Pi +R\right)= F\left(S\right)+F\left(\Pi \right)+\\ +\left(F\left(S+\Pi +R\right)-F\left(S\right)-F\left(\Pi \right)\right)=SF+\Pi F+RF.\end{array}$

2.2. Построение функции S

Функция S, зависящая от растянутых переменных $\overline{\zeta },t$, строится в виде

$S\left(\overline{\zeta },t,p\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^N{\epsilon }^i}{s}_i\left(\overline{\zeta },t,p\right),{\zeta }_i=\left(x_i-V_{i}t\right)/\epsilon ,i=\mathrm{1,}\mathrm{...},m,$ (10)

где V_i определяются формулами (9). Функция S есть решение уравнения

$\begin{array}{c}{\epsilon }^2\left(S_t+{\displaystyle \sum _{i=1}^m{D}_i\left(p\right)S_{x_i}}\right)=L_{p}S+\epsilon SF+{\epsilon }^3{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}S{B}_{i,p}{S}_{x_i{x}_i}},\\ \left|\overline{\zeta }\right|<\infty ,t>0.\end{array}$ (11)

Переходя к переменным $(\overline{\zeta },t)$ и принимая во внимание $\overline{U}=\mathrm{0,}$ получаем уравнение для определения $S(\overline{\zeta },t,p)$

${\epsilon }^2{S}_t+\epsilon {\displaystyle \sum _{i=1}^m\left(D_i\left(p\right)-V_i\right)S_{{\zeta }_i}}=AS+\epsilon F\left(S,p\right)+{\epsilon }^3{\displaystyle \sum _{i=1}^m{B}_{i,p}{S}_{{\zeta }_i{\zeta }_i}}.$ (12)

Подставляя (10) в (12) (см. [4]), получаем соотношения

$\begin{array}{c}{\epsilon }^0:L_p{s}_0=\mathrm{0,}\\ {\epsilon }^1:L_p{s}_1={\tilde{S}}_1,\\ {\epsilon }^2:L_p{s}_2=s_{\mathrm{0,}t}+{\tilde{S}}_2,\\ \mathrm{...}\end{array}$ 

где

$\begin{array}{c}{\tilde{S}}_1={\displaystyle \sum _{i=1}^m\left(D_i(p)-V_i\right)s_{\mathrm{0,}{\zeta }_i}}-F\left(s_0,p\right)-{\displaystyle \sum _{i=1}^m{B}_{i,p}{s}_{\mathrm{0,}{\zeta }_i{\zeta }_i}},\\ {\tilde{S}}_2={\displaystyle \sum _{i=1}^m\left(D_i\left(p\right)-V_i\right)s_{\mathrm{1,}{\zeta }_i}}-{F^{\prime }}_u\left(s_0,p\right)s_1-{\displaystyle \sum _{i=1}^m{B}_{i,p}{s}_{\mathrm{1,}{\zeta }_i{\zeta }_i}},\\ \mathrm{...}\end{array}$

Из первого соотношения получаем

$s_0\left(\overline{\zeta },t,p\right)={\phi }_0\left(\overline{\zeta },t\right)h_0\left(p\right).$ (13)

Легко показать, что уравнение для s₁ разрешимо в силу условий II и III, следовательно, s₁ можно записать в виде

$s_1\left(\overline{\zeta },t\right)={\phi }_1\left(\overline{\zeta },t\right)h_0\left(p\right)+G{\tilde{S}}_1.$ (14)

В (13) и (14) ${\phi }_0(\overline{\zeta },t),{\phi }_1(\overline{\zeta },t)$ – пока не определенные функции, зависящие от переменных $(\overline{\zeta },t)$, G – псевдообратный к L_p оператор. (Назовем линейный оператор $G$ псевдообратным к оператору $L$, имеющему однократное нулевое собственное значение $\lambda =0$, если решение уравнения $LY=F$ при выполнении условия $(F,h_0^{*})=0$ представимо в виде $Y=GF+C{h}_0$, где $C$ не зависит от $p$, $h_0^{*}$ – собственная функция сопряженного оператора $L^{*}$, отвечающая собственному значению $\lambda =0$.)

Исключим с помощью (14) функцию φ₁ из условия разрешимости уравнения для определения s₂ :

$(s_{\mathrm{0,}t}+{\tilde{S}}_2,h{*}_0)=0.$

Подставляя сюда s₀= φ₀ h₀, ${\tilde{S}}_2$, исключая s₁ с помощью соотношения (14), принимая во внимание условия I–III и легко проверяемое равенство $((D_i(p)-V_j)h_0,h{*}_0)=\mathrm{0,}$ получаем замкнутое уравнение для определения φ₀. Введем обозначения

$\begin{array}{c}{\Psi }_i=\left(D_i\left(p\right)-V_i\right),M_{ii}=\left({\Psi }_{i}G{\Psi }_i{h}_0,h{*}_0\right),\\ M_{ij}=\left(\left({\Psi }_{i}G{\Psi }_j{h}_0,h{*}_0\right)+\left({\Psi }_{j}G{\Psi }_i{h}_0,h{*}_0\right)\right)/\mathrm{2,}\\ F_{i,eff}=-\left({\Psi }_{i}GF\left({\phi }_0{h}_0\right),h{*}_0\right),B_{ik,eff}=-\left({\Psi }_{k}G{B}_i{h}_0,h{*}_0\right).\end{array}$ (15)

Тогда уравнение для определения φ₀ может быть записано в компактной форме

$\begin{array}{c}{\phi }_{\mathrm{0,}t}+{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m}M{}_{ij}\phi {}_{\mathrm{0,}{\zeta }_i{\zeta }_j}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\left(F_{i,eff}\left({\phi }_0\right)\right)}^{\prime }{}_{{\zeta }_i}}+\\ +{\displaystyle \sum _{i,k=1}^m{B}_{ik,eff}{\phi }_{\mathrm{0,}{\zeta }_i{\zeta }_i}{}_{{\zeta }_k}}=0.\end{array}$ (16)

Наложим условие диссипативности.

V. Квадратичная форма ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m}M{}_{ij}z{}_i{z}_j}$ является отрицательно знакоопределенной ( или полузнакоопределенной):

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m}M{}_{ij}z{}_i{z}_j}\le 0\forall {\displaystyle \sum _{i=1}^m{z}^2{}_i}>0.$ 

Не затрагивая вопросы существования, единственности и свойств решений уравнения (16), формально построим остальные члены разложения (10).

Уравнения для остальных членов разложения (10) получаются стандартно (см. [4]). Опуская объемные выкладки, которые приведены, например, в [1],[2], вводя обозначение

$F{1}_{i,eff}=\left({\Psi }_{i}G{F}^{\prime }\left({\phi }_0{h}_0\right)h{}_0,h{*}_0\right),i>\mathrm{0,}$

и принимая во внимание обозначения (15), введенные выше, запишем уравнение для определения φ₁ :

${\phi }_{\mathrm{1,}t}+{\displaystyle \sum _{i,j=1}^m{M}_{ij}{\phi }_{\mathrm{1,}{\zeta }_i{\zeta }_j}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\left(F{1}_{i,eff}{\phi }_1\right)}_{{\zeta }_i}}+{\displaystyle \sum _{i,k=1}^m{B}_{ik,eff}{\phi }_{\mathrm{1,}{\zeta }_i{\zeta }_i}{}_{{\zeta }_k}}={\Phi }_1\left(\overline{\zeta },t\right),$ (17)

где Φ₁ выражается через φ₀. Отметим, что уравнение (17), в отличие от уравнения (16), линейное.

Уравнения для остальных членов разложения получаются аналогично и имеют аналогичный вид (с заменой индекса у φ и Φ с 1 на n, при этом Φ_n выражается через φ_j, j<n).

2.3. Построение функции П

Построенная выше функция S ни в каком приближении не может удовлетворить начальным условиям. Для удовлетворения начальным условиям строится функция П:

$\Pi \left(\overline{\xi },\tau ,p\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^N{\epsilon }^i}{\pi }_i\left(\overline{\xi },\tau ,p\right),\overline{\xi }=\overline{x}/\epsilon ,\tau =t/{\epsilon }^2,$ (18)

Построение функции П делается стандартно (см. [4]). Функция Π есть решение уравнения

${\Pi }_{\tau }+\epsilon {\displaystyle \sum _{i=1}^m{D}_i\left(p\right){\Pi }_{{\xi }_i}}=L_p\Pi +\epsilon \Pi F+\epsilon {\displaystyle \sum _{i=1}^m{B}_{i,p}{\Pi }_{{\xi }_i{\xi }_i}},‖\overline{\xi }‖<\infty ,\tau >\mathrm{0,}$ (19)

совместно с функцией S должна удовлетворять начальным условиям и быть функцией погранслоя:

$S\left(\overline{\zeta }\mathrm{,0,}p\right)+\Pi \left(\overline{\xi }\mathrm{,0,}p\right)=\omega \left(\overline{x}{\epsilon }^{-1},p\right),\underset{\tau \to +\infty }{\Pi \left(\overline{\xi },\tau ,p\right)}\to 0.$ (20)

Построение уравнений, из которых определяются члены разложения (18), проводится стандартно (см. [4]), описано во многих работах и здесь не приводится.

Главный член разложения (18) есть решение уравнения

${\pi }_{\mathrm{0,}\tau }=L_p{\pi }_0,‖\overline{\xi }‖<\infty ,\tau >0.$ (21)

Начальные условия для s₀ и π₀ ставятся совместно с условием π₀ →0 при τ→∞:

${\left.{\left.{\pi }_0\right|}_{\tau =0}+s_0\right|}_{t=0}=\omega \left(\overline{\xi },p\right),\underset{\tau \to +\infty }{{\pi }_0\left(\overline{\xi },\tau ,p\right)}\to 0.$ (22)

В силу условия I на собственные значения оператора L_p и условия (20) функция π₀ имеет вид

${\pi }_0\left(\overline{\xi },\tau ,p\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{C}_i\left(\overline{\xi }\right)h_i\left(p\right)e^{{\lambda }_i\tau }}.$ (23)

Начальные условия для φ₀ и π₀ получаются из (22) и (23) с учетом s₀=h₀ (p)φ₀ (ζ,t) и полноты системы собственных функций h_i :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{C}_i}\left(\overline{\xi }\right)h_i\left(p\right)+{\phi }_0\left(\overline{\zeta }\mathrm{,0}\right)h_0\left(p\right)=\omega \left(\overline{\xi },p\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\omega }_i}\left(\overline{\xi }\right)h_i\left(p\right),$

откуда однозначно находятся φ₀(ζ,0) и все C_i, i=1,2,... :

${\phi }_0\left(\overline{\zeta }\mathrm{,0}\right)={\omega }_0\left(\overline{\zeta }\right),C_i(\overline{\xi })={\omega }_i\left(\overline{\xi }\right)\forall i\ge 1.$ (24)

Начальные условия для φ₀(ζ,t) определены, функция π₀ построена в явном виде.

Остальные π_i (i≥1) определяются из неоднородных уравнений

${\pi }_{i,\tau }=L_p{\pi }_i+P_i,i\ge \mathrm{1,}\left|\overline{\xi }\right|<\infty ,\tau >0.$ (25)

Здесь P_i выражаются через π_j, j<i.

Начальные условия для функций φ_i и π_i ставятся совместно:

$s_i\left(\overline{\zeta }\mathrm{,0,}p\right)+{\pi }_i\left(\overline{\xi }\mathrm{,0,}p\right)=\mathrm{0,}\underset{\tau \to \infty }{{\pi }_i\left(\overline{\xi },\tau ,p\right)}\to 0\forall i>0.$ (26)

Из (26) получаются начальные условия для φ_i и π_i по аналогии с [4] .

Тем самым, построены задачи для определения всех членов АР (5).

3. ОЦЕНКА S- и Π-ФУНКЦИЙ

3.1. Оценка S-функций

Авторам не удалось найти в литературе исчерпывающих результатов, касающихся вопросов существования, единственности и оценок решений начальных задач для уравнений типа (16). Для одномерных уравнений подобного вида ряд результатов приведен, например, в работах [5]–[7].

Ввиду этого обстоятельства, ниже придется оперировать с, по сути, непроверяемыми условиями на данные задачи.

Будем считать выполненными следующие условия 1 и 2.

Условие 1. Пусть выполнены условия I–V и функция F(U,p), операторы L_p и B_i,p таковы, что решение задачи (15), (23) существует и единственно на некотором промежутке [0,T], и на этом промежутке выполняется оценка

$\left|{\phi }_0\left(x,t\right)\right|<C{e}^{-\kappa {\varsigma }^2}\forall 0\le t\le T,C>\mathrm{0,}\kappa \text{>0 },$ (27)

где С и k – положительные постоянные.

Условие 2. Решения всех задач (16), (26) до номера N существуют, единственны и удовлетворяют на том же промежутке оценке

$\left|{\phi }_i(x,t)\right|<C{e}^{-\kappa {\varsigma }^2}\forall 0\le t\le T,\forall 1\le i\le N,C>\mathrm{0,}\kappa \text{>0 }\text{.}$ (28)

3.2. Оценка Π-функций

Из явного вида функции π₀ (23) и алгоритма построения функций π_i, i=1,2,…, при выполнении условия I справедливы оценки

$||{\pi }_i\left(\overline{\xi },\tau ,p\right)||<С \exp \left(-\kappa \left({||\overline{\xi }||}^2+\tau \right)\right),\kappa >\mathrm{0,}i=\mathrm{0,1,...}$ (29)

Доказательство элементарное и здесь не приводится.

4. ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА

Ограничимся теоремой об оценке остаточного члена в АР (5) по невязке.

Будем считать выполненным следующее условие 3, непроверяемое непосредственно по данным задачи.

Условие 3. Пусть решение задачи (1), (2), существует и единственно на некотором промежутке [0,T], где T>0 не зависит от ε.

Оценка остаточного члена проводится по невязке.

Теорема. Если справедливы условия I–V и условия 1, 2, 3, то решение задачи (1), (2) представимо в виде

$U\left(\overline{x},t\right)=S_N\left(\overline{\zeta },t\right)+{\Pi }_N\left(\overline{\xi },\tau \right)+R_{N+3}={\displaystyle \sum _{i=0}^N{\epsilon }^i}\left(s_i\left(\overline{\zeta },t\right)+{\pi }_i\left(\overline{\xi },\tau \right)\right)+R_N=U_N+R_N,$

где S+Π есть построенное АР, и остаточный член удовлетворяет задаче Коши

$\begin{array}{c}{\epsilon }^2\left(R_t+{\displaystyle \sum _{i=1}^m{D}_i(p)R_{x_i}}\right)=L_{p}R+\epsilon RF+{\epsilon }^3{\displaystyle \sum _{i=1}^m{B}_i{R}_{x_i{x}_i}}+r,\\ \left|\overline{x}\right|<\infty ,t>\mathrm{0,}R\left(\overline{x}\mathrm{,0}\right)=\mathrm{0,}r=O\left({\epsilon }^{N+1}\right).\end{array}$

Доказательство. Существование самой величины R следует из условия 3. Оценка $r=O({\epsilon }^{N+1})$ непосредственно вытекает из оценок (27)–(29) и алгоритма построения АР.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Отметим еще раз, что главный член АР (5)

$U\left(\overline{x},t,p\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^N{\epsilon }^i}\left(s_i\left(\overline{\zeta },t,p\right)+{\pi }_i\left(\overline{\xi },\tau ,p\right)\right)+R_N$ 

при t> t₀, где t₀ >0 – любое фиксированное (не зависящее от ε) число, имеет вид

$s_0\left(\overline{\zeta },t,p\right)={\phi }_0\left(\overline{\zeta },t\right)h_0\left(p\right).$ (30)

В представлении (30) ${\phi }_0(\overline{\zeta },t)$ есть решение уравнения (15), которое в развернутой форме имеет вид

${\phi }_{\mathrm{0,}t}+{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m}M{}_{ij}\phi {}_{\mathrm{0,}{\zeta }_i{\zeta }_j}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^m{F^{\prime }}_{i,eff}\left({\phi }_0\right){\phi }_{\mathrm{0,}}{}_{{\zeta }_i}}+{\displaystyle \sum _{i,k=1}^m{B}_{ik,eff}{\phi }_{\mathrm{0,}{\zeta }_i{\zeta }_i}{}_{{\zeta }_k}}=0.$ (31)

Уравнение (31) можно назвать обобщенным уравнением Бюргерса–Кортевега–де Фриза (см. [8]). Для квадратичной по переменной u функции F (u,p) уравнение (31) становится прямым обобщением уравнения Бюргерса–Кортевега–де Фриза на многомерный случай:

${\phi }_{\mathrm{0,}t}+{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m}M{}_{ij}\phi {}_{\mathrm{0,}{\zeta }_i{\zeta }_j}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^m{k}_i{\phi }_0{\phi }_{\mathrm{0,}{\zeta }_i}}+{\displaystyle \sum _{i,k=1}^m{B}_{ik,eff}{\phi }_{\mathrm{0,}{\zeta }_i{\zeta }_i{\zeta }_k}}=0.$ (32)

В случае одной пространственной переменной уравнение (32) отличается от уравнения Бюргерса–Кортевега–де Фриза (см. [8]) только коэффициентами.

2. Представляется интересным тот факт, что эволюция начального распределения (2), имеющего вид асимптотически узкой «шапочки», определяется уравнением (31) – уравнением в частных производных третьего порядка, в то время как исходное уравнение (1) содержит производные по пространственным переменным второго порядка.

3. При иной расстановке степеней малого параметра, а также при изменении условий на функцию F и на операторы L, B асимптотика решения может иметь иной вид.

[1] Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания в сфере научной деятельности на тему «Модели, методы и алгоритмы искусственного интеллекта в задачах экономики для анализа и стилизации многомерных данных, прогнозирования временных рядов и проектирования рекомендательных систем», номер проекта FSSW-2023-0004.

About the authors

A. V. Nesterov

Author for correspondence.
Email: andrenesterov@yandex.ru
Russian Federation, 36 Stremyanny Lane, Moscow, 117997

References

Supplementary files