Calculating a perturbation of a plasma layer by an electric field

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

Построение аналитических решений для задач плазмодинамики вызывает существенный интерес у специалистов, см., например, [1]$–$[3]. Настоящая работа посвящена численной реализации аналитического решения [4], [5] задачи об отклике слоя плазмы на возмущение внешним электрическим полем; о таких задачах см. [6]$–$[10].

Предполагается, что на слой плазмы действует электрическое поле постоянной частоты и малой амплитуды. Вектор электрической напряженности этого поля направлен перпендикулярно границе слоя. В результате в плазме возникают колебания заряженных частиц. Движением ионов будем пренебрегать (см. [8]), рассматривая только электроны. Состояние плазмы будет характеризоваться плотностью электронов и напряженностью самосогласованного поля. Приведем подробный вывод поставленной задачи, заимствуя общую схему рассуждений из работ [4] и [10].

Рассматривается бесконечный слой плазмы ширины $2L$, занимающий область $\mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-L\mathrm{,}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}y\mathrm{,}z\in ℝ\mathrm{<mo>\}</mo>}$. В невозмущенном состоянии распределение электронов описывается функцией Максвелла:

$f_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{n}_0{\left(\frac{\beta }{\pi }\right)}^{\frac{3}{2}}{e}^{-\beta v^2}\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{m}{2k_{B}T}\mathrm{,}$ (1)

в которой $n_0= \mathrm{const}$ $–$ концентрация заряженных частиц при отсутствии внешнего электрического поля, m $–$ масса электрона, $k_B$ $–$ постоянная Больцмана, T $–$ температура плазмы, которая считается постоянной в данной задаче.

В результате внешнего воздействия в слое плазмы возникает самосогласованное поле, описываемое векторами $E$ и $B$, а распределение электронов – функцией $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}vt\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Состояние плазмы характеризуется системой Больцмана–Максвелла

$\frac{\partial f}{\partial t}+v\frac{\partial f}{\partial r}+\mathfrak{e}\left(E+\frac{1}{c}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}v\mathrm{,}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\right)\frac{\partial f}{\partial p}\mathrm{<mo>=</mo>}{I}_{st}\mathrm{,}$ (2)

$\text{d}ivE\mathrm{<mo>=</mo>4}\pi \rho \mathrm{,}\rho \mathrm{<mo>=</mo>}\mathfrak{e}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f-f_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}^{3}v\mathrm{,}$ (3)

$\mathrm{rot}E=-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}\mathrm{,}$ (4)

$B\mathrm{<mo>=</mo>}mH\mathrm{,}$ (5)

где $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $–$ искомая функция распределения электронов, $\rho$ $–$ плотность заряда, $\mathfrak{e}$ $–$ заряд электрона, $v$ и $p$ $–$ скорость и импульс электрона, m $–$ магнитная проницаемость.

В случае слабого воздействия интеграл столкновений в правой части уравнения (2) можно записать в приближении Бхатнагара–Гросса–Крука [11], [12]:

$I_{st}\mathrm{<mo>=</mo>}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}_{eq}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (6)

где параметр $\nu$ $–$ частота столкновений электронов в плазме (эффективная частота рассеяния электронов), $f_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $–$ локально равновесная функция распределения, определяемая формулой

$f_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{n}_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left(\frac{\beta }{\pi }\right)}^{\frac{3}{2}}{e}^{-\beta v^2}\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{m}{2k_{B}T}\mathrm{,}$ (7)

в которой $n_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $–$ концентрация заряженных частиц:

$n_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}}{f}_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}^{3}v\mathrm{.}$ (8)

Учитывая условия задачи, вектор напряженности внешнего поля имеет только одну ненулевую координату:

$E_{ext}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-i\omega t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{E}_{ext}\mathrm{,0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

тогда согласно [13], функция распределения будет зависеть только от одной пространственной переменной и будет иметь вид $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Согласно [6], [8], электрическая и магнитная напряженности самосогласованного поля в плазме допускают представления:

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-i\omega t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-i\omega t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{H}_x\mathrm{,}{H}_y\mathrm{,}{H}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

которые после подстановки в уравнения (4), (5) дают результат

$\mathit{H}=-\frac{ic}{\text{ω}m}\text{rot}\mathit{E}=\mathbf{0}\mathrm{.}$ (9)

Таким образом, магнитное поле не присутствует в уравнении (2), и система (2), (3) содержит только две неизвестных функции: функцию распределения $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и электрическую напряженность самосогласованного поля $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-i\omega t}$.

Учитывая (6)–(9), уравнения (2), (3) преобразуются к виду (см. [10], [13]):

$\begin{array}{c}\frac{\partial f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}+v_x\frac{\partial f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x}+\mathfrak{e}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial p_x}\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$ (10)

$\frac{dE\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dx}\mathrm{<mo>=</mo>4}\pi \mathfrak{e}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-f_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}^{3}v\mathrm{.}$ (11)

Здесь v $–$ модуль скорости, т.е. $v^2\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_x^2+v_y^2+v_z^2$. Таким образом, в результате сделанных предположений поставленная задача свелась к одномерной. Пользуясь условием малости амплитуды внешнего поля, будем решать ее в линейном приближении. Ниже продемонстрируем вывод линеаризованной системы.

При воздействии слабого электрического поля на среду заряженных частиц концентрация электронов перестает быть константой и меняется с изменением координаты. Будем считать, что справедливо следующее представление:

$n_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{n}_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{n}_0+n_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-i\omega t}\mathrm{,}$ (12)

где $\omega$ $–$ частота внешнего поля, а возмущение концентрации $n_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-i\omega t}$ мало по сравнению с величиной $n_0$, т.е.

$\underset{x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-L\mathrm{,}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\displaystyle \max }}\left|n_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\ll n_0\mathrm{.}$

Локально-равновесная функция распределения запишется в виде

$\begin{array}{c}{f}_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{f}_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{n}_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left(\frac{\beta }{\pi }\right)}^{\frac{3}{2}}{e}^{-\beta v^2}\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{n}_0+n_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-i\omega t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left(\frac{\beta }{\pi }\right)}^{\frac{3}{2}}{e}^{-\beta v^2}\mathrm{<mo>=</mo>}{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$ (13)

где

$f_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{n}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-i\omega t}{\left(\frac{\beta }{\pi }\right)}^{\frac{3}{2}}{e}^{-\beta v^2}\mathrm{.}$ (14)

Функцию распределения электронов $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будем искать в виде:

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-i\omega t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (15)

предполагая, что $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $–$ неизвестная функция, причем достаточно малая, т.е. $\mathrm{<mo>|</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\ll 1$. Заметим, что в линейном приближении

$\begin{array}{c}\mathfrak{e}E\frac{\partial f}{\partial p}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathfrak{e}E\frac{\partial f_0}{\partial p}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathfrak{e}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-i\omega t}\frac{\partial f_0}{\partial p_x}\mathrm{<mo>=</mo>}\\ =\mathfrak{e}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-i\omega t}\frac{\partial f_0}{m\partial v_x}\mathrm{<mo>=</mo>}-\mathfrak{e}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-i\omega t}\frac{v_x{f}_0}{k_{B}T}\mathrm{.}\end{array}$ (16)

Учитывая эти равенства и подставив в уравнения (10) и (11) выражения (13)$–$(16) для $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $f_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, получаем уравнения

$\begin{array}{c}{v}_x\frac{\partial h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nu -i\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\\ =\frac{\mathfrak{e}{v}_x}{k_{B}T}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\nu \frac{n_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{n_0}\mathrm{,}\end{array}$ (17)

$\frac{dE\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dx}\mathrm{<mo>=</mo>4}\pi \mathfrak{e}\sqrt{\frac{m}{2\pi k_{B}T}}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}{e}^{-\beta v_x{}^2}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{v}_x\mathrm{.}$ (18)

Используя представления (8) и (12) для $n_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и учитывая закон сохранения числа частиц, получаем:

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}}{f}_{eq}{d}^{3}v\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}}f{d}^{3}v\Rightarrow \\ \Rightarrow n_{eq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{n}_0+e^{-i\omega t}\sqrt{\frac{m}{2\pi k_{B}T}}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}{e}^{-\beta v_x{}^2}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{v}_x\Rightarrow \\ \Rightarrow n_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sqrt{\frac{m}{2\pi k_{B}T}}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}{e}^{-\beta v_x{}^2}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{v}_x\mathrm{.}\end{array}$ (19)

Подставим результаты (19) в (17) и получим два уравнения относительно двух неизвестных функций E(x) и $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

$v_x\frac{\partial h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nu -i\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=\frac{\mathfrak{e}{v}_x}{k_{B}T}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\nu \sqrt{\frac{m}{2\pi k_{B}T}}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}{e}^{-\beta v_x{}^2}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{v}_x\mathrm{,}$ (20)

$\frac{dE\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dx}\mathrm{<mo>=</mo>4}\pi \mathfrak{e}\sqrt{\frac{m}{2\pi k_{B}T}}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}{e}^{-\beta v_x{}^2}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{v}_x\mathrm{.}$ (21)

Используя формулу для плазменной частоты

${\omega }_p^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{4\pi {\mathfrak{e}}^2{n}_0}{m}\mathrm{,}$

можно преобразовать коэффициент перед интегралом в уравнении (21):

$4\pi \mathfrak{e}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{4\pi {\mathfrak{e}}^2{n}_{0}m}{m\mathfrak{e}{n}_0}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\omega }_p^{2}m}{\mathfrak{e}{n}_0}\mathrm{.}$

Далее перейдем к безразмерным переменным v' и x', используя скорость теплового движения частиц $v_T$ и длину свободного пробега частиц между столкновениями $x_0$:

$x_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{v_T}{\nu }\mathrm{,}{v}_T\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\frac{2k_{B}T}{m}}\mathrm{,}{v}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{v_x}{v_T}\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x}{x_0}\mathrm{.}$

Напряженность внешнего электрического поля на границе слоя равна $E_{ext}$. Введем следующие безразмерные функции:

$G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{E_{ext}}\mathrm{,}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}{v}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{kT\nu }{\mathfrak{e}{E}_{ext}{v}_T}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}{v}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Подставив новые переменные и новые функции в уравнения (20), (21) и отказавшись от индексов у переменных, получаем систему уравнений:

$v{H}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\frac{i\omega }{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=vG\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{,}$ (22)

$G^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{2{\omega }_p^2}{{\nu }^2}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{.}$ (23)

Функция

$k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{e^{-{\xi }^2}}{\sqrt{\pi }}$ (24)

обладает свойством ${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>1,}$ а коэффициенты в уравнениях (22) и (23) соответственно $1-i\omega \mathrm{<mo>/</mo>}\nu$ и $2{\omega }_p^2\mathrm{<mo>/</mo>}{\nu }^2$ зависят от свойств плазмы и частоты внешнего поля.

В случае зеркального отражения электронов от границы плазмы для функции распределения электронов имеем следующие граничные условия на границе слоя размера 2L:

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm L\mathrm{,}v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm L\mathrm{,}-v\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

что равносильно условию:

$h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm L\mathrm{,}{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm L\mathrm{,}-v_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-\infty \mathrm{<mo><</mo>}{v}_x\mathrm{<mo><</mo>}+\infty \mathrm{.}$

Для электрического поля граничное условие имеет вид:

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{E}_{ext}\mathrm{,}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-L\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{E}_{ext}\mathrm{.}$

Отсюда для функций $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получаем следующие граничные условия:

$H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}-v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{,}-v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (25)

$G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1.}$ (26)

Здесь $l\mathrm{<mo>=</mo>}L\mathrm{<mo>/</mo>}{x}_0$ $–$ величина слоя в единицах свободного пробега электронов. Таким образом, задача об отклике плазмы на внешнее воздействие состоит в нахождении такого решения уравнений (22), (23), которое удовлетворяет краевым условиям (25), (26).

Статья организована следующим образом: в разд. 2 представлено аналитическое решение поставленной задачи, полученное на основе утверждений из [4] и [5]. В разд. 3 представлено численное исследование решения, полученного в разд. 2.

2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Мы получили систему интегродифференциальных уравнений для функций H(x,v) и G(x):

$v{H}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+AH\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=vG\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{,}$ (27)

$G^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}B{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{.}$ (28)

Функции H(x,v) и G(x) заданы в полосе

$\Pi \mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\in ℝ\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ (29)

и удовлетворяют следующим граничным условиям:

$H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}-v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{,}-v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (30)

$G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1.}$ (31)

Функция $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется формулой (24), а коэффициенты A и B зависят от свойств плазмы и выражаются формулами

$A\mathrm{<mo>=</mo>1}-i\frac{\omega }{\nu }\mathrm{,}B\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2{\omega }_p^2}{{\nu }^2}\mathrm{.}$ (32)

Решение задачи (27)–(31) ищется в следующем классе функций:

$H\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\Pi }\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>}v\mathrm{<mo>=</mo>}\pm \infty \mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}{H}_x\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}G\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-l\mathrm{,}+l\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\cap C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{,}+l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (33)

В работах [4], [5] был предложен метод и построено аналитическое решение задачи (27)$–$(31) для случая, когда $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $–$ произвольная бесконечно дифференцируемая функция с асимптотикой $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-{\xi }^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\xi \to \pm \infty$ и нормированная на единицу, т.е. ${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>1}$, а величины A и B являются комплексной и вещественной константами соответственно. Частным случаем такой функции является $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определенная по формуле (24). Указанное решение задачи было построено с помощью новых результатов, развивающих подход [14], [15] в теории преобразования Фурье обобщенных функций, а также методов [16], [17] для решения сингулярных интегральных уравнений.

Для того чтобы выписать результат решения, введем функцию:

$\Lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}-\frac{B}{A^2}{\lambda }^2-\frac{B}{A^2}\lambda \left({\lambda }^2-\frac{A}{B}\right){\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}\frac{k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\xi -\lambda }d\xi \mathrm{,}$ (34)

от структуры множества нулей которой зависит общий вид решения задачи. Заметим, что вид функции $\Lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ общий для любого решения системы (27), (28), а ее свойства определяются набором параметров $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, A и B, которые зависят от свойств плазмы.

Аналитические и численные оценки показали, что и для модели, рассматриваемой в [4], и для модели, рассматриваемой в настоящей работе, для физически значимых параметров функция $\Lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет два простых корня, которые являются комплексными и противоположными по знаку $\pm {\lambda }_0\notin ℝ$, что позволяет нам использовать результаты работы [4].

Следуя [4], введем также функции

$\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{A}\left(\frac{{\lambda }^2-A\mathrm{<mo>/</mo>}B}{\lambda -v}-\lambda \right)\mathrm{,}$ (35)

${\Lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}-\frac{B}{A^2}{\lambda }^2-\frac{B}{A^2}\lambda \left({\lambda }^2-\frac{A}{B}\right)\text{v}\mathrm{.}p\mathrm{.}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}\frac{k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\xi -\lambda }d\xi \mathrm{,}\lambda \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (36)

где символ $\text{v}\mathrm{.}p\mathrm{.}$ означает, что интеграл понимается в смысле главного значения. Введем еще одну величину, которая потребуется далее $–$ значение дисперсионной функции $\Lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на бесконечности:

${\Lambda }_{\infty }\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\Lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (37)

В дальнейшем также потребуются функции $\mathcal{S}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, удовлетворяющие требованиям приведенного замечания.

Замечание 1. Будем предполагать, что функция $\mathcal{S}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ непрерывна при $v\in ℝ$, удовлетворяет условию $\mathcal{S}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{C_1\mathrm{<mo>|</mo>}v\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $v\to \pm \infty$, $C_1\mathrm{<mo>></mo>0}$, а кроме того, при малых $v$ для нее справедлива асимптотика $\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{S}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>}\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2{e}^{-C_2\mathrm{<mo>/</mo><mo>|</mo>}v\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $v\to 0$, $C_2\mathrm{<mo>></mo>0}$.

Таким образом, справедливо следующее утверждение, см. [5].

Теорема 1. Пусть функция $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, фигурирующая в (27), (28), определена формулой (24), $A\in ℂ$ и $B\in ℝ$ соответственно комплексная и вещественная величины, определяемые формулами (32), функция $\Lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определенная из (34), имеет два комплексных корня ${\lambda }_0$ и $-{\lambda }_0$, ${\lambda }_0\in {ℍ}^{+}$. Тогда решение краевой задачи (27)–(31) единственно и имеет вид:

$\begin{array}{c}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\mathcal{S}}_{0}v}{A{\Lambda }_{\infty }}-\frac{B}{A}\cdot {\mathcal{S}}_1{\lambda }_0\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-Ax\mathrm{<mo>/</mo>}{\lambda }_0}+\frac{B}{A}\cdot {\mathcal{S}}_2{\lambda }_0\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_0\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{Ax\mathrm{<mo>/</mo>}{\lambda }_0}+\\ +\frac{B}{iA}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}\frac{\mathcal{S}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\Lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-Ax\mathrm{<mo>/</mo>}\lambda }d\lambda -\frac{\mathcal{S}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{iv}{e}^{-Ax\mathrm{<mo>/</mo>}v}\mathrm{,}\end{array}$ (38)

$G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\mathcal{S}}_0}{{\Lambda }_{\infty }}-\frac{B}{A}\cdot {\mathcal{S}}_1{\lambda }_0{e}^{-Ax\mathrm{<mo>/</mo>}{\lambda }_0}+\frac{B}{A}\cdot {\mathcal{S}}_2{\lambda }_0{e}^{Ax\mathrm{<mo>/</mo>}{\lambda }_0}+\frac{B}{iA}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}\frac{\mathcal{S}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\Lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{e}^{-Ax\mathrm{<mo>/</mo>}\lambda }d\lambda ,$ (39)

где постоянные величины ${\mathcal{S}}_j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>0,1,2}$, даются равенствами

${\mathcal{S}}_0\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\frac{1}{{\Lambda }_{\infty }}-\frac{2{\lambda }_0}{{\Lambda }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0^2-A\mathrm{<mo>/</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\frac{B}{A^2}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }}\frac{{\lambda }^{2}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\lambda }{{\Lambda }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Lambda }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)}^{-1}\mathrm{,}$ (40)

${\mathcal{S}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{A{\mathcal{S}}_0}{B{\Lambda }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cosh \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Al\mathrm{<mo>/</mo>}{\lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0^2-A\mathrm{<mo>/</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$ (41)

${\mathcal{S}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}-{\mathcal{S}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{A{\mathcal{S}}_0}{B{\Lambda }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cosh \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Al\mathrm{<mo>/</mo>}{\lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0^2-A\mathrm{<mo>/</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$ (42)

а функция $\mathcal{S}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется формулой

$\mathcal{S}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{i{\mathcal{S}}_0{v}^2{\Lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{A\cosh \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Al\mathrm{<mo>/</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Lambda }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Lambda }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$ (43)

величина ${\Lambda }_{\infty }$ дается равенством (37), функции $\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\Lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определены соответственно формулами (35) и (36).

3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

3.1. Алгоритм вычисления

Для вычисления решения краевой задачи (27)$–$(31) по формулам (38)$–$(43) выполняются следующие действия: сначала для заданных параметров плазмы $\omega$ и $\nu$ вычисляются значения констант A и B, затем находится значение корня ${\lambda }_0$ $–$ решение уравнения $\Lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}A\mathrm{,}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ в нижней полуплоскости (Im λ₀ < 0). Для решения этого уравнения применяется итерационная процедура Ньютона [18], которая заключается в использовании уравнения, связывающего значение функции и ее производной:

${\lambda }_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{\Lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}A\mathrm{,}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\Lambda }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}A\mathrm{,}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Значение производной вычисляется по формуле

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Lambda }}^{\text{'}}\left(\lambda \mathrm{,}A\mathrm{,}B\right)=-\frac{2B}{A^2}\lambda +\frac{1}{A\sqrt{\pi }}\left(1-\frac{3B}{A}{\lambda }^2\right){\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{e^{-t^2}dt}{t-\lambda }+\\ +\frac{1}{A\sqrt{\pi }}\left(\lambda -\frac{B}{A}{\lambda }^3\right){\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{e^{-t^2}dt}{{t-\lambda }^2}, \mathrm{Im} \lambda \ne 0.\end{array}$ (44)

Для вычисления интегралов в функциях $\Lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}A\mathrm{,}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\Lambda }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}A\mathrm{,}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ применяются квадратурные формулы Гаусса 10-го порядка [18].

На фиг. 1 приведены графики зависимости значений ${\lambda }_0$ от частоты внешнего поля $\omega$. В 4-й четверти изображены ${\lambda }_0$ такие, что Im λ₀ < 0, во 2-й четверти ${\lambda }_0$ такие, что Im λ₀ > 0.

Фиг. 1. Значения корней дисперсионной функции при ν/ω_р=0.001 и разных ω.

Отметим, что метод Ньютона применим, если начальное приближение ${\lambda }_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ попадает в достаточно малую окрестность предполагаемого корня, поэтому начальное приближение находится с помощью асимптотических оценок.

После нахождения значения ${\lambda }_0$ можно вычислить значения констант ${\mathcal{S}}_0$, ${\mathcal{S}}_1$, ${\mathcal{S}}_2$ по формулам (40)$–$(42) и приступить к вычислению решения задачи (27)$–$(31).

При вычислении константы ${\mathcal{S}}_0$, как и при вычислении G(x), H(x,v), необходимо найти значения функций ${\mathrm{\Lambda }}^{\pm }\left(\mathrm{\lambda }\right)$ на вещественной оси. Эти значения вычисляются с помощью выражения для ${\mathrm{\Lambda }}_0\left(\mathrm{\lambda }\right)$, которое дается формулой (36), и формул Сохоцкого [19]:

${\mathrm{\Lambda }}^{\pm }\left(\mathrm{\lambda }\right)={\mathrm{\Lambda }}_0\left(\mathrm{\lambda }\right)\mp \mathrm{\pi }i\frac{\mathit{B}}{{\mathit{A}}^{\mathit{2}}}\mathrm{\lambda }({\mathrm{\lambda }}^2-\frac{\mathit{A}}{\mathit{B}})k\left(\mathrm{\lambda }\right), \mathrm{\lambda }\in \mathrm{ℝ}$ (45)

Выражение для функции ${\mathrm{\Lambda }}_0\left(\mathrm{\lambda }\right)$, как и представление для H(x,v), содержит интеграл в смысле главного значения

$I\left(\lambda \right)=\mathrm{v}.\mathrm{p}.{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{k\left(\mathrm{\xi }\right)}{\xi -\lambda }d\xi ,$

к вычислению которого мы переходим в следующем пункте.

3.2. Представление для сингулярного интеграла I(λ)

В случае, когда равновесное состояние описывается распределением Максвелла, ядро k(ξ) в уравнениях (38), (39) принимает вид (24):

$k\left(\xi \right)=\frac{e^{-{\mathrm{\xi }}^2}}{\sqrt{\pi }}.$

Интеграл I(λ) в таком случае принимает вид:

$I\left(\lambda \right)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{e^{-{\xi }^2}d\xi }{\xi -\lambda }\mathrm{.}$ (46)

Вводя функцию

$f\left(u\mathrm{,}\lambda \right)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{e^{-u{\xi }^2}d\xi }{\xi -\lambda }\mathrm{,}$ (47)

убеждаемся, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению, в котором  присутствует как параметр:

${f^{\text{'}}}_u\left(u\mathrm{,}\lambda \right)+{\lambda }^{2}f\left(u\mathrm{,}\lambda \right)=-\frac{\lambda }{\sqrt{u}}\mathrm{,}f(0,\lambda )=0.$ (48)

Тогда, как нетрудно показать,

$f\left(u\mathrm{,}\lambda \right)=-2\lambda e^{-{\lambda }^{2}u}{\int }_0^{u^2}{e}^{{\lambda }^2{t}^2}dt\mathrm{.}$ (49)

Отсюда, учитывая, что $f(1,\lambda )=I\left(\lambda \right)$, находим 

$I\left(\lambda \right)=-2\lambda {\int }_0^1{e}^{{\lambda }^2(t^2-1)}dt\mathrm{.}$ (50)

Отметим, что этот интеграл может быть также выражен через функцию ошибок [20]. Для вычисления будем использовать формулу (50), к которой применяем квадратурные формулы Гаусса.

3.3. Результаты расчетов

Построены графики напряженности самосогласованного электрического поля в слое. Вместо обозначения функции G(x) на рисунках будем использовать традиционное для напряженности обозначение E(x). Как видно из формулы (39), напряженность можно представить в виде суммы

$E\left(x\right)=E_a\left(x\right)+E_b\left(x\right)+E_c\left(x\right)$.

Величина E_a $–$ это та составляющая самосогласованного поля, которая не зависит от координаты, являясь константой. Она показывает, какая часть внешнего поля проникает в плазменный слой. Второе слагаемое E_b(x) представляет собой гиперболический косинус, значение которого резко уменьшается при удалении от границы слоя. Это можно трактовать, как экранирование плазмой внешнего поля. Третье слагаемое E_c(x) имеет сложный характер, при малых частотах его вклад составляет доли процента, с ростом частоты внешнего поля его вклад растет. Но во всех случаях величина E_c(x) уменьшается при удалении от границы слоя.

Заметим, что при частоте внешнего поля, близкой к плазменной частоте, в слое начинают наблюдаться осцилляции по координате.

На графиках представлены зависимости от координаты как отдельных мод E_b(x) и E_c(x), так и суммарно всей напряженности E(x), значения частоты внешнего поля варьируются от 0.1 до 1.5 плазменной частоты ω_p [8].

На фиг. 2$–$11 изображены отдельно моды E_b(x) и E_c(x) при разных значениях частоты внешнего поля. На фиг. 12$–$17 изображены графики напряженности E(x), т.е. сумма всех слагаемых E_a(x) + E_b(x) + E_c(x).

Фиг. 2. Величина E_b(x) в зависимости от координаты x при ω = 0.1ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 3. Величина E_b(x) в зависимости от координаты x при ω = 0.9ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 4. Величина E_b(x) в зависимости от координаты x при ω = ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 5. Величина E_b(x) в зависимости от координаты x при ω = 1.1ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 6. Величина E_c(x) в зависимости от координаты x при ω = 0.1ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 7. Величина E_c(x) в зависимости от координаты x при ω = 0.9ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 8. Величина E_c(x) в зависимости от координаты x при ω = ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 9. Величина E_c(x) в зависимости от координаты x при ω = 1.1ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 10. Величина E_c(x) в зависимости от координаты x при ω = 1.3ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 11. Величина E_c(x) в зависимости от координаты x при ω = 1.5ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 12. Величина E(x) в зависимости от координаты x при ω = 0.1ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 13. Величина E(x) в зависимости от координаты x при ω = 0.9ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 14. Величина E(x) в зависимости от координаты x при ω = 1.0ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 15. Величина E(x) в зависимости от координаты x при ω = 1.1ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 16. Величина E(x) в зависимости от координаты  при ω = 1.3ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Фиг. 17. Величина E(x) в зависимости от координаты x при ω = 1.5ω_p, ν / ω_p = 0.001, синим – вещественная часть, красным – мнимая.

Численное моделирование показывает, что при малых значениях частоты внешнего поля оно почти полностью экранируется и не проникает в плазму. Явно выражен приграничный слой, имеющий размер порядка дебаевского радиуса r_D [1].

При увеличении частоты внешнего поля растет модуль постоянной составляющей E_a(x), увеличивается вклад слагаемого E_c(x), а также сильнее выражен эффект экранирования. При частоте внешнего поля, равной плазменной частоте ω_p, возникает резонанс, который приводит к тому, что при частоте, немного превышающей плазменную, возникают осцилляции по координате.

При частоте внешнего поля, равной 1.3 и 1.5 от плазменной частоты, внешнее электрическое поле «проходит» через плазменный слой, что соответствует теоретическим данным [6].

About the authors

N. M. Gordeeva

Author for correspondence.
Email: nmgordeeva@bmstu.ru
Russian Federation, Moscow; Moscow

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Values ​​of the roots of the dispersion function for ν/ωр=0.001 and different ω.

Download (82KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. The value of Eb(x) depending on the coordinate x at ω = 0.1ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (57KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. The value of Eb(x) depending on the coordinate x at ω = 0.9ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (60KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4. The value of Eb(x) depending on the coordinate x for ω =ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (85KB)

Indexing metadata

6. Fig. 5. The value of Eb(x) depending on the coordinate x at ω = 1.1ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (208KB)

Indexing metadata

7. Fig. 6. The value of Ec(x) depending on the coordinate x at ω = 0.1ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (68KB)

Indexing metadata

8. Fig. 7. The value of Ec(x) depending on the coordinate x at ω = 0.9ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (71KB)

Indexing metadata

9. Fig. 8. The value of Ec(x) depending on the coordinate x at ω = ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (73KB)

Indexing metadata

10. Fig. 9. The value of Ec(x) depending on the coordinate x at ω = 1.1ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (186KB)

Indexing metadata

11. Fig. 10. The value of Ec(x) depending on the coordinate x at ω = 1.3ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (105KB)

Indexing metadata

12. Fig. 11. The value of Ec(x) depending on the coordinate x at ω = 1.5ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (77KB)

Indexing metadata

13. Fig. 12. The value of E(x) depending on the coordinate x at ω = 0.1ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (63KB)

Indexing metadata

14. Fig. 13. The value of E(x) depending on the coordinate x at ω = 0.9ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (71KB)

Indexing metadata

15. Fig. 14. The value of E(x) depending on the coordinate x at ω = 1.0ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (78KB)

Indexing metadata

16. Fig. 15. The value of E(x) depending on the coordinate x for ω = 1.1ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (165KB)

Indexing metadata

17. Fig. 16. The value of E(x) depending on the coordinate at ω = 1.3ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (88KB)

Indexing metadata

18. Fig. 17. The value of E(x) depending on the coordinate x at ω = 1.5ωp, ν / ωp = 0.001, blue – real part, red – imaginary.

Download (84KB)

Indexing metadata