On the probabilistic-statistical approach to the analysis of nonlocality parameters of plasma density

Full Text

О вероятностно-статистическом подходе к анализу параметров нелокальности плотности плазмы ^[1]

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе рассматривается модель нестационарного шума, полученная в [1]. Нестационарный шум в [1] определяется как результат (интегральной) свертки стационарной последовательности и функции памяти. Основной задачей работы является оценка адекватности этой модели по соответствию выборке значений плотности низкочастотной турбулентной плазмы, измеренной в периферийной области удержания плазмы термоядерной установки Токамак Т-10 (выборка предоставлена В. П. Будаевым). В частности, уровень адекватности модели определяется реально достигнутым уровнем значимости представленного в данной работе статистического критерия. Этот критерий базируется на непараметрическом критерии проверки стационарности, полученном в [2].

Представленная модель нестационарного шума не случайно выбрана для анализа временного ряда плотностей плазмы. Последовательность, реализуемая сверткой стационарной последовательности и функции памяти, позволяет моделировать эффекты длинной зависимости и нестационарности (см. [1]). В то же время отметим, что значения выборки плотностей плазмы получены в зоне, где собственно наблюдается явление перемежаемости с признаками дальних корреляций (см. [3]).

Следующим основанием для выбора такой модели является определяемая ею структура нелокальности. Упомянутые стационарная последовательность и функция памяти позволяют моделировать пространственную и временную нелокальность, а также их соотношение, называемое в литературе конкуренцией пространственной и временной нелокальности (см., например, [4]). Здесь следует отметить, что согласно [5] аномальный перенос плотности в плазме имеет конкурентную структуру и определяется диссипативными процессами нагревания плазмы и идеальными процессами фоновой теплопроводности.

В работе [6] исследовались аналогичная модель и выборка. Существенным недостатком методологии проверки адекватности этой модели в [6] является использование параметрического критерия проверки стационарности, основанного на предположении о степенном поведении дисперсии частичных сумм соответствующей стационарной последовательности. Это предположение сужает возможность применения рассматриваемой модели нестационарного шума к анализу реальных данных. Скажем, в [7] рассматривается ситуация, когда дисперсия частичных сумм стационарной последовательности и функция памяти имеют правильное поведение по времени, отличное от степенного. Отметим, что в настоящей работе, в частности, исправляется этот недостаток, при этом вместо параметрического критерия используется упомянутый выше непараметрический критерий стационарности. Кроме того, следует отметить, что представленная методология может быть применена к анализу не только выборки значений плотности плазмы. Например, одним из перспективных направлений здесь является анализ динамических закономерностей движения частиц в биологических клетках, обусловленных сложной комбинацией факторов пространственной неоднородности и пространственно-временной нелокальности (см., например, [8, 9]).

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И СХЕМА ОЦЕНКИ АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ

Пусть $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_i\mathrm{,<mi>\; </mi>}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$ $—$ стационарная (в широком смысле) последовательность случайных величин. Такую последовательность $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_i\mathrm{<mo>\}</mo>}$ будем называть стационарным шумом. Через $M$ обозначим некоторую неубывающую на неотрицательной полуоси функцию, такую что M(0)=0 и M(1)=1. Такую функцию M будем называть функцией памяти. Определим нестационарный шум по $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_i\mathrm{,<mi>\; </mi>}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$ через M:

${\rho }_k\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{k-1}}{x}_{k-i}\Delta M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}$ (1)

где $\Delta M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}-M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Правая часть (1) является сверткой $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_i\mathrm{,<mi>\; </mi>}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$ и M.

Пусть $a\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}E{x}_1$. Выполняется очевидное равенство

${\rho }_k\mathrm{<mo>=</mo>}aM\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{k-1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{k-i}-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{.}$ (2)

Стало быть, последовательность $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\rho }_k\mathrm{<mo>\}</mo>}$ обладает возрастающим трендом.

В дальнейшем в качестве функции памяти мы будем рассматривать степенную функцию: $p_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{t}^{\nu }$, $0\le \nu \le 1$ (считаем, что $p_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>0}$ ). Отметим, что параметр $\nu$ отвечает за уровень нестационарности шума (в случае $\nu \mathrm{<mo>=</mo>0}$ последовательность $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\rho }_k\mathrm{<mo>\}</mo>}$ совпадает с $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_k\mathrm{<mo>\}</mo>}$ ) (см., также [7], замечание 6).

Будем рассматривать экспериментально полученную выборку временного ряда значений плотности низкочастотной турбулентной плазмы, единица измерения времени $\tau \mathrm{<mo>=</mo>1}$ мкс: $\rho \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }_k\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $N\mathrm{<mo>=</mo>500001}$. На фиг. 1 приведен график упомянутого временного ряда. Заметим, что предварительное (визуальное) наблюдение этого графика позволяет предположить наличие слабо возрастающего тренда (сравните с (2)).

Фиг 1. График временного ряда значений плотности плазмы, $\rho \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,5}\cdot {10}^5$.

В дальнейшем проверка адекватности модели нестационарного шума (1) на соответствие этим выборочным данным будет реализована по следующей схеме.

Схема оценки адекватности модели. 1. Формируем множество исследуемых значений параметра $\nu$: $\Upsilon \mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}k{\mathrm{<mo>/</mo>10}}^3\mathrm{<mo>:</mo>}k\mathrm{<mo>=</mo>0,1,}\dots \mathrm{,500<mo>\}</mo>}$ (мы заранее предполагаем, что $\nu \le 0.5$ ).

2. Для каждого $\nu \in \Upsilon$ решаем систему (1), где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }_k\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ исследуемая выборка плотностей плазмы и в качестве функции $M$ рассматривается степенная функция $p_{\nu }$. В итоге получаем выборку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, зависящую от $\nu$.

3. На выборке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяем реально достигнутый уровень значимости $\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ статистического критерия по соответствию основной гипотезе о стационарности.

4. Выбираем ${\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, для которого $\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ принимает максимальное значение. Значение $\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяет уровень адекватности модели (1) по ее соответствию экспериментальным данным. Кроме того, на этом шаге мы находим выборку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, удовлетворяющую основной гипотезе о стационарности на уровне значимости $\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

3. СТРУКТУРА РАБОТЫ

Приведем содержание основных этапов работы. В разд. 4 приводятся численные результаты оценки адекватности модели нестационарного шума по соответствию выборке значений плотности плазмы. В частности, в этом разделе находится оценка ${\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ параметра $\nu$. Отметим, что в этом разделе используется непараметрический критерий стационарности, который представлен в третьем пункте схемы оценки адекватности. Описание и обоснование этого критерия проводится в приложении А.

В разд. 5 проводится дополнительное исследование, устанавливающее близость конечномерных распределений нормированных частичных сумм выборки $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (зависящей от ${\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ ) к соответствующему конечномерному распределению фрактального броуновского движения. В рамках этого исследования мы получаем оценку $H_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ параметра Хёрста H фрактального броуновского движения. Далее, устанавливается степенное поведение дисперсии частичных сумм нестационарного шума, соответствующего выборке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }_k\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

В разд. 6 рассматривается физическая интерпретация представленной модели нестационарного шума. В частности, устанавливается интерпретация параметров $\nu$ и H как параметров нелокальности по времени и пространству соответственно.

4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОЦЕНКИ АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ

В настоящем разделе мы реализуем схему проверки адекватности модели на выборке плотностей плазмы (см. разд. 3). При этом мы используем критерий стационарности (см. приложение А) для получения реально достигнутого уровня значимости $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на выборке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{,<mi>\; </mi>}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, зависящей от $\nu$ (см. фиг. 2).

Фиг 2. График реально достигнутых уровней значимости, $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $0\le \nu \le 0.16$.

Мы получаем, что ${\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0.075}$ (точка максимума для $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ) при этом $\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.067}$. Отметим, что реально достигнутый уровень значимости $\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ достаточно высок, чтобы говорить об адекватности модели нестационарного шума по ее соответствию реальным данным. Таким образом, мы можем говорить о последовательности нестационарного шума $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\rho }_k\mathrm{<mo>\}</mo>}$, которая реализуется выборкой $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }_k\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Заметим, что в рамках этого раздела мы получаем выборку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, удовлетворяющую основной гипотезе о стационарности на уровне значимости $\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

5. ОЦЕНКА ПОВЕДЕНИЯ ЧАСТИЧНЫХ СУММ НЕСТАЦИОНАРНОГО ШУМА

5.1. Предварительные замечания

Через $B_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначим фрактальное броуновское движение с параметром Хёрста $H$ (см. [11, 12]), т. е. центрированный гауссовский процесс с ковариационной функцией

$R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\left(t^{2H}+s^{2H}-\mathrm{<mo>|</mo>}t-s{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{2H}\right)\mathrm{,}$ (3)

где $H\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (случай $H\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo>2}$ соответствует стандартному винеровскому процессу). Определим гауссовский процесс:

$Z_{\nu \mathrm{,}H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^t}{B}_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{p}_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (4)

где, напомним, $p_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{t}^{\nu }$, $0\le \nu \le 1$ ( $p_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ ). Ниже нам понадобится следующий результат из [7, следствие 1] (см. также [10, следствие 1]) для последовательности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\rho }_k\mathrm{<mo>\}</mo>}$ (см. (1)), где в качестве функции памяти $M$ рассматривается $p_{\nu }$.

Теорема 1. Пусть стационарная последовательность $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_i\mathrm{,<mi>\; </mi>}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$ обладает спектральной плотностью. Пусть, кроме того, дисперсия суммы ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{x}_i$ имеет следующее поведение: $Var\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sim {\sigma }^2{n}^{2H}\mathrm{,<mi>\; </mi>}n\to +\infty$, где $H\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\sigma }^2\mathrm{<mo>></mo>0}$. Тогда при $n\to \infty$ 

$Var\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{\rho }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sim s_{\nu \mathrm{,}H}^2{\sigma }^2{n}^{2H+2\nu }\mathrm{,}$ (5)

где $s_{\nu \mathrm{,}H}^2\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}Var\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Z}_{\nu \mathrm{,}H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Из (3) и (4) сразу следует, что для константы $s_{\nu \mathrm{,}H}^2$ имеет место представление

$s_{\nu \mathrm{,}H}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle {\int }_0^1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2H}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2H}-\mathrm{<mo>|</mo>}u-v{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{2H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{p}_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{p}_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Центрированная гауссовская последовательность называется фрактальным шумом с параметром $H\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и дисперсией ${\delta }^2$ (см., например, [13]), если ее ковариационная функция $q\mathrm{<mo>=</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет вид:

$q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{{\delta }^2}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}j+{\mathrm{1<mo>|</mo>}}^{2H}+\mathrm{<mo>|</mo>}j-{\mathrm{1<mo>|</mo>}}^{2H}-\mathrm{2<mo>|</mo>}j{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{2H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mi>\; </mi>}j\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$ (6)

В дальнейшем для действительного числа x через [x] будем обозначать наибольшее целое число, не превосходящее x.

5.2. Степенное поведение частичных сумм стационарного шума

Прежде чем перейти к рассмотрению выборки $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j\mathrm{,<mi>\; </mi>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (зависящей от ${\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ ), реализующей стационарную последовательность $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_j\mathrm{<mo>\}</mo>}$ (эта выборка получена в разд. 4), сделаем предварительные замечания. Пусть $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_j\mathrm{<mo>\}</mo>}$ $—$ стационарная последовательность случайных величин с конечной дисперсией. Введем обозначение: $S_n\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $a\mathrm{<mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Отметим, что сходимость при $n\to \infty$ конечномерных распределений процессов $\frac{S_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}nt\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}}{\sigma n^H}\mathrm{,<mi>\; </mi>}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, где $H\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\sigma \mathrm{<mo>></mo>0}$, к конечномерному распределению $B_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mi>\; </mi>}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, равносильна следующей: распределения случайных векторов

$\left(\frac{S_{\theta }}{\sigma {\theta }^H}\mathrm{,}\frac{S_{2\theta }-S_{\theta }}{\sigma {\theta }^H}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}\frac{S_{k\theta }-S_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\theta }}{\sigma {\theta }^H}\right)$

сходятся к распределению $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{B}_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}-B_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{B}_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-B_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $\theta \to \infty$. При этом очевидно, что последовательность $\mathrm{<mo>\{</mo>}{B}_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-B_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$ является стандартным фрактальным шумом (т. е. $\delta \mathrm{<mo>=</mo>1}$ в (6)). Далее заметим, что при условии существования спектральной плотности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_j\mathrm{<mo>\}</mo>}$ следствием упомянутой сходимости конечномерных распределений является эквивалентность (см. [14])

$Var\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{S}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sim {\sigma }^2{n}^{2H}\mathrm{,<mi>\; </mi>}n\to \infty \mathrm{.}$ (7)

Вернемся к рассмотрению выборки $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j\mathrm{,<mi>\; </mi>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (зависящей от ${\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ ). Сформируем

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,<mi>\; </mi>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,<mo\; stretchy="false">[</mo>}N\mathrm{<mo>/</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где

$x_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}j-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\theta +1}^{j\theta }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i-a_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ( $a_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{x}_i$ ).

Значение $\theta$ должно быть достаточно большим, чтобы «накопить нормальность», стало быть, это значение будем выбирать много больше, чем объем выборки $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, т. е. $\theta \gg \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}N\mathrm{<mo>/</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Заметим, что $x_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ реализует $S_{j\theta }-S_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\theta }$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}k$, где $k\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}N\mathrm{<mo>/</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ (см. выше).

В дальнейшем будет проверяться гипотеза о том, что $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,<mi>\; </mi>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,<mo\; stretchy="false">[</mo>}N\mathrm{<mo>/</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является фрактальным шумом с дисперсией ${\sigma }^2{\theta }^{2H}$. Оценки для параметров $\sigma$ и H можно получить, применяя известные методы, в частности, метод дисперсий (см. [15]). В приложении Б приводится этот метод.

Пусть Q $—$ ковариационная матрица фрактального шума (см. (6)). Найдется ортогональная матрица C и диагональная D, такие что $C^{\text{T}}QC\mathrm{<mo>=</mo>}D$. Обозначим $B\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{D}$. Отметим, что произведение $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}^{-1}{C}^{\text{T}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{T}}$ дает выборку, которая проверяется на стандартную нормальность (см., например, [16]). Естественно при этом использовать параметрический критерий ${\chi }^2$. Чтобы обеспечить корректность применения критерия ${\chi }^2$, значение $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}N\mathrm{<mo>/</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ должно быть велико, при этом (как выше отмечалось) значение $\theta$ должно быть много больше значения $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}N\mathrm{<mo>/</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, т. е.

$\sqrt{N}\ll \theta \ll N\mathrm{.}$ (8)

Реально достигнутый уровень значимости этого критерия дает оценку близости распределения выборки $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ к распределению фрактального шума.

Уточним намеченные вычислительные процедуры в следующем методе.

Метод. 1. Используя метод дисперсий, по $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j\mathrm{,<mi>\; </mi>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ находим оценки ${\sigma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ и $H_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ параметров $\sigma$ и $H$ соответственно.

2. Центрируем выборку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j\mathrm{,<mi>\; </mi>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с помощью $a_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{x}_j$. Получаем ${x^{\prime }}_j\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_j-a_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,<mi>\; </mi>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N$.

3. Формируем: $x_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}j-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\theta +1}^{j\theta }}{x^{\prime }}_i\mathrm{,<mi>\; </mi>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,<mo\; stretchy="false">[</mo>}N\mathrm{<mo>/</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

4. Определяем ковариационную матрицу $Q$ фрактального шума (см. (6)), где $\delta \mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\theta }^{H_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}$.

5. Используя матрицу Q, находим матрицы B и C. Умножив $B^{-1}{C}^{\text{T}}$ на вектор ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,<mi>\; </mi>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,<mo\; stretchy="false">[</mo>}N\mathrm{<mo>/</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{T}}$, получаем $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_j\mathrm{,<mi>\; </mi>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,<mo\; stretchy="false">[</mo>}N\mathrm{<mo>/</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

6. На выборке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_j\mathrm{,<mi>\; </mi>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,<mo\; stretchy="false">[</mo>}N\mathrm{<mo>/</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ находим реально достигнутый уровень критерия ${\chi }^2$ при основной гипотезе, что эта выборка имеет стандартное нормальное распределение.

6.1. Пусть $m\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}N\mathrm{<mo>/</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Разбиваем числовую ось на $l\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\sqrt{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+1$ непересекающихся интервалов ${\Delta }_1,{\Delta }_2,\dots ,{\Delta }_l$, так что $m{\Phi }_{\mathrm{0,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Delta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}m{\Phi }_{\mathrm{0,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Delta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}m{\Phi }_{\mathrm{0,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Delta }_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}m\mathrm{<mo>/</mo>}l$. На выборке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_j\mathrm{,<mi>\; </mi>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ находим значение $X^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^l}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_i-m\mathrm{<mo>/</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{m\mathrm{<mo>/</mo>}l}$, где ${\nu }_i$ $—$ число элементов $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в ${\Delta }_i$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}l$.

6.2. Имея в виду три оцениваемых параметра a, $\sigma$ и $H$, находим реально достигнутый уровень значимости критерия ${\chi }^2$, а именно: $\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}-{\chi }_{l-4}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

В соответствии с (8) выберем в приведенном методе значение $\theta$ равным $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\sqrt{N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, где r находится в целочисленном диапазоне $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>5,10<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Для этих значений составим таблицу реально достигнутых уровней значимостей. Отметим, что $a_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0.068}$, ${\sigma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0.067}$, $H_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0.718}$.

Таблица 1.

Мы получили достаточно высокие уровни значимостей. Поэтому можно принять гипотезу о том, что выборка $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ($\theta \mathrm{<mo>=</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\sqrt{N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $r\mathrm{<mo>=</mo>5,}\dots \mathrm{,10}$) является фрактальным шумом с дисперсией ${\sigma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^2{\theta }^{2H_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}$.

5.3. Степенное поведение частичных сумм нестационарного шума

Стало быть, в соответствии с (7) и теоремой 1 мы выводим, что для последовательности нестационарного шума $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\rho }_j\mathrm{<mo>\}</mo>}$, реализуемой выборкой $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }_j\mathrm{,<mi>\; </mi>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, можно говорить о близости $\frac{Var\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{\rho }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\beta n^{\alpha }}$ к 1 при достаточно больших n, где $\alpha \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>2}H+2\nu$ и $\beta \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\sigma }^2\cdot s_{\nu \mathrm{,}H}^2$. При этом соответствующие оценки параметров $\alpha$ и $\beta$ имеют вид: ${\alpha }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>1.586}$, ${\beta }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0.003}$ (заметим, что $s_{{\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{H}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}^2\mathrm{<mo>=</mo>0.776}$, где, напомним, ${\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0.075}$, $H_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0.718}$ ).

6. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ И ОБСУЖДЕНИЕ МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ШУМА

Соотношение (1) для плотности ${\rho }_k$ в момент времени $k\tau$ ( $\tau$ $—$ единица измерения времени) позволяет определить скорость изменения этой плотности в момент $k\tau$ 

$\frac{\Delta {\rho }_k}{\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{k-1}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k-i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}$ (9)

где $\Delta {\rho }_k\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\rho }_k-{\rho }_{k-1}$ ( ${\rho }_0\mathrm{<mo>=</mo>0}$ ) и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k-x_{k-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\tau$ ( $x_0\mathrm{<mo>=</mo>0}$ ). Полученное представление можно рассматривать как уравнение динамики плотности плазмы в периферийной области термоядерного реактора.

В представлении (9) скорость изменения плотности плазмы определяется фактором $f$ в настоящий и предыдущие моменты времени (начиная с начального момента $0$ ), при этом распределение этого фактора по времени задается с помощью функции памяти $M$. Таким образом, M определяет нелокальность по времени модели нестационарного шума.

Отметим, что в (9) правую часть можно интерпретировать как поток, возникающий при «действии» на физическую систему с памятью фактора $f$ (см. [17$–$19]).

Поскольку $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k-x_{k-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\tau$, $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$, поэтому нелокальность действия $f$ определяется $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_n\mathrm{,<mi>\; </mi>}n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$. Этой последовательности соответствует представление (15) в виде бесконечного двухстороннего скользящего среднего. Структура памяти такой последовательности определяет, вообще говоря, ее дальнюю зависимость (см., например, [20, разд. 2.1]). В этом случае мы будем говорить о том, что $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_n\mathrm{,<mi>\; </mi>}n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$ формирует нелокальность по пространству модели нестационарного шума (см. также [7, замечание 7]).

Если $M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $Var\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеют степенное по n поведение, то о соответствующих показателях $\nu$ и $H$ можно говорить как о параметрах нелокальности по времени и пространству.

Известно, что механизм аномального переноса основан на конкуренции, в которой нагрев плазмы и идеальные процессы фоновой теплопроводности приводят к аномальному переносу тепла и плотности плазмы (см. [5]). Подчеркнем еще раз, что в представленной модели параметры $\nu$ и H являются параметрами нелокальности по времени и пространству, причем параметр $\nu$ определяет также и уровень нестационарности модели. В этом смысле мы можем предположить, что параметр $\nu$ связан с эффектами нелокальности по времени, возникающими в процессе нагрева плазмы (тепловое последействие) и, соответственно, параметр H связан с фоновой теплопроводностью.

Заметим, что конкуренция параметров нелокальности определяет в настоящем случае супердиффузионное поведение процесса частичных сумм, построенного по последовательности нестационарного шума (напомним оценку ${\alpha }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>1.586}$ показателя степенного изменения дисперсии упомянутого процесса частичных сумм, см. (5) и разд. 5.3).

Рассматриваемый в настоящей работе подход к моделированию конкуренции пространственной и временной нелокальности принципиально отличается от более известного подхода, основанного на модели блуждания в непрерывном времени (CTRW-модель). В таком подходе применяется техника устойчивых распределений, при этом суб- и супердиффузионный режим процесса определяется отношением параметров устойчивых распределений, соответствующих времени ожидания и величине скачка блуждающей частицы (см., например, [4]). В частности, это приводит к тому, что для моделирования супердиффузионного режима переноса используются устойчивые распределения с бесконечным вторым моментом. Следует отметить критику такого подхода, поскольку в большинстве приложений (как и в настоящем случае) нет оснований отказываться от предположения об ограниченности влияния каждого случайного фактора на регистрируемый процесс (см. [21]).

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлена модель нестационарного шума и проверена ее адекватность на соответствие экспериментальным данным, являющимся временным рядом значений плотности плазмы термоядерной установки. Установлено, что эта модель является состоятельной с реально достигнутым уровнем значимости $0.067$. Для дисперсии процесса частичных сумм нестационарного шума, соответствующего временному ряду значений плотности плазмы, установлен степенной закон изменения по времени со следующими оценками показателя степенного изменения и масштабного коэффициента: ${\alpha }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>1.586}$, ${\beta }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0.003}$; а также оценками ${\nu }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0.075}$, $H_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0.718}$ параметров нелокальности по времени и пространству соответственно. Кроме того, для обозначенной модели и ее параметров нелокальности в разд. 6 приведена физическая интерпретация.

Следует отметить, что мы подтверждаем другими методами полученное в [6] соответствие (на определенном уровне значимости) модели нестационарного шума и выборки плотностей плазмы. Однако, хотелось бы подчеркнуть, что представленная модель нестационарного шума, вообще говоря, не предполагает степенное поведение функции памяти и дисперсии частичных сумм стационарной последовательности. Более того, в настоящей работе получена новая методология, позволяющая находить уровень адекватности такой модели по ее соответствию экспериментальным данным. Это связано с тем, что поиск адекватности модели основывается на непараметрическом критерии проверки стационарности.

Используя полученную функцию памяти и стационарную последовательность, можно численно имитировать выборку плотностей плазмы, применяя соотношение (1) и метод обратной функции распределения моделирования стационарных последовательностей. В [6] рассматривается пример такой имитации, а в [22, 23] приводится теоретическое обоснование упомянутого метода обратной функции.

Перспективным направлением для дальнейшего применения полученной методологии является анализ временных рядов плотности плазмы термоядерного реактора при разных режимах работы. В частности, эта методология позволяет оценивать уровень нестационарности плазмы в периферийной зоне реактора при этих режимах.

Отметим также, что в [7] построена модель нестационарного шума, которая реализует более общую, чем в настоящей работе, структуру нелокальности по времени, что позволяет расширить спектр исследуемых статистических данных.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Критерий стационарности

В этом разделе мы будем следовать работе [2]. Сразу отметим, что критерий стационарности из [2] основывается на многошаговой оценке спектральной плотности стационарной последовательности (см. ниже (11)) и разложении стационарной последовательности, имеющей спектральную плотность, по белому шуму (см. (15)).

Рассмотрим выборку $x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_n\mathrm{,<mi>\; </mi>}n\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, полученную из случайной последовательности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_n\mathrm{,<mi>\; </mi>}n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$ с конечной дисперсией. Построим статистический критерий для проверки основной гипотезы о том, что последовательность $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ является стационарной против альтернативы, что эта последовательность не является стационарной.

Разобьем целочисленный интервал $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на $L$ последовательных, непересекающихся интервалов длины K=[N/L]. Эти интервалы определяют разбиение выборки x на L частей, а именно: $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_{Km}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $m\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}L$. Найдем дискретную вытянутую сфероидальную последовательность оконных функций $w\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{w}_r\mathrm{,<mi>\; </mi>}r\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (см. [24]).

Заметим, что элементы w решают проблему спектральной концентрации. Эта проблема формулируется как задача поиска последовательности определенной длины, для которой ее дискретное преобразование Фурье максимально сосредоточено на заданном частотном интервале (см. [24]).

Для каждого упомянутого выше интервала (в этом случае m = 1,…,L) и каждой функции $w_r$ из w определим дискретное преобразование Фурье

$\begin{array}{c}{X}_m^{w_r}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\sqrt{K}}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+1}^{Km}}{w}_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \\ \times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_n-a_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-i2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}K}\mathrm{,}\mathrm{<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}K\mathrm{,}\end{array}$ (10)

где $a_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{x}_i$. Используя (10), для каждого $m\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}L$ найдем (при условии, что верна основная гипотеза) периодограмму

$S_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{R}{\displaystyle \sum _{r\mathrm{<mo>=</mo>1}}^R}{\left|X_m^{w_r}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|}^2\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}K\mathrm{.}$ (11)

Оценку (11) называют многошаговой оценкой спектральной плотности последовательности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ (см., например, [25]).

Заметим, что обычно в качестве R выбирают значения 4, 5, 6 или 7. В дальнейшем мы обсудим проблему выбора параметра R в рамках применения критерия стационарности (см. также [25]).

Будем искать оценку спектральной плотности последовательности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ (при условии, что верна основная гипотеза) в виде

$S_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{L}{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>1}}^L}{S}_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (12)

Определим статистику критерия

$V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{LK}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K}{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>1}}^L}{\left(S_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{L}{\displaystyle \sum _{p\mathrm{<mo>=</mo>1}}^L}{S}_x^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^2\mathrm{.}$ (13)

Заметим, что относительно малое значение V (x) будет говорить в пользу принятия основной гипотезы критерия (далее решается вопрос, с какими значениями сравнивать V (x)).

Отметим также, что поскольку заранее нет приоритета в выборе величин значений K и L, поэтому всюду в дальнейшем L мы будем полагать равным $L\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\sqrt{N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+1$.

В дальнейшем нам понадобится следующий результат (см., например, [16]).

Предложение 1. Пусть существует преобразование Фурье некоторой функции h

$H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>}-\infty }^{+\infty }}{e}^{-2\pi itm}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mi>\; </mi><mi>\; </mi>}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Пусть, кроме того, $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\xi }_n\mathrm{,<mi>\; </mi>}n\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ $—$ центрированная стационарная последовательность со спектральной плотностью $f_{\xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, такая что ${\displaystyle {\int }_0^1}\mathrm{<mo>|</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2{f}_{\xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo><</mo>}+\infty$. Тогда спектральная плотность последовательности

${\eta }_n\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>}-\infty }^{+\infty }}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }_{n-m}\mathrm{,<mi>\; </mi>}n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$,

имеет следующее представление:

$f_{\eta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\left|H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|}^2{f}_{\xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mi>\; </mi><mi>\; </mi>}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (14)

Далее отметим, что в широких предположениях стационарную последовательность можно представить в виде скользящего среднего, сформированного по некоторой неслучайной квадратично суммируемой последовательности и белому шуму (см. [26]). А именно, пусть $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_n\mathrm{,}n\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$ $—$ стационарная последовательность случайных величин, для которой существует спектральная плотность, тогда имеет место представление

$x_n\mathrm{<mo>=</mo>}a+{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>}-\infty }^{\infty }}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }_{n-m}\mathrm{,}$ (15)

где $a\mathrm{<mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\xi }_n\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ $—$ последовательность некоррелированных случайных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями (белый шум), $\mathrm{<mo>\{</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}m\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ $—$ неслучайная, квадратично суммируемая последовательность действительных чисел.

Из (14) и (15) следует, что оценку для спектральной плотности последовательности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ (при условии, что верна основная гипотеза) можно искать в виде

 $Z_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{S}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{S}_{\xi }^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mi>\; </mi>}m\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{,}$ (16)

где $S_{\xi }^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ периодограмма белого шума ( $S_{\xi }^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\approx 1$ ), построенная по выборке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}K+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\xi }_{mK}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $m\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}L$ (периодограмма строится как в (11)), и $S_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определена в (12). Таким образом, мы по реализациям выборки $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\xi }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, используя (16), будем получать реализации оценки спектральной плотности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$.

По (16) (действуя как в (13)) определим статистику

$V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{LK}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K}{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>1}}^L}{\left(Z_x^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{L}{\displaystyle \sum _{p\mathrm{<mo>=</mo>1}}^L}{Z}_x^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^2\mathrm{.}$ (17)

Подставляя (16) в (17), выводим

$V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{LK}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K}{S}_x^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>1}}^L}{\left(S_{\xi }^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{L}{\displaystyle \sum _{p\mathrm{<mo>=</mo>1}}^L}{S}_{\xi }^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^2\mathrm{.}$ (18)

При условии выполнения основной гипотезы мы получаем, что $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ формируется по стационарной последовательности, спектральная плотность которой совпадает со спектральной плотностью $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Стало быть, значения, реализующие $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и превосходящие V(x), будут говорить в пользу принятия этой гипотезы (см. выше замечание к (13)).

Будем моделировать I независимых выборок белого шума: ${\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\xi }_N^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}I$, где каждая выборка состоит из независимых, равномерно распределенных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией (для моделирования в данной работе используется функция rand математического пакета Matlab).

Найдем реально достигнутый уровень значимости исследуемого критерия (при основной гипотезе о стационарности исследуемой выборки). Определим множество $\mathrm{<mo>\{</mo>}i\mathrm{<mo>:</mo><mi>\; </mi>}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$, обозначим число элементов этого множества через $I_0$. Отношение $I_0\mathrm{<mo>/</mo>}I$ определяет (приближенно) реально достигнутый уровень значимости критерия.

Уточним представленные выше процедуры, приводящие к критерию проверки основной гипотезы о стационарности, в следующем методе.

Метод. 1. Разобьем выборку x на L частей, а именно: $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_{Km}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $m\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}L$.

2. Найдем дискретную вытянутую сфероидальную последовательность $w\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{w}_r\mathrm{,<mi>\; </mi>}r\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (поиск такой последовательности реализуется функцией dpss математического пакета Matlab). Для каждого $m\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}L$ и для каждого элемента последовательности w определим дискретное преобразование Фурье (см. (10)).

3. В соответствии с (11) (используя п. 2) найдем для каждого $m\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}L$ периодограмму (можно использовать функцию periodogram математического пакета Matlab).

4. Вычисляем статистику критерия $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (см. (13)).

5. Смоделируем I независимых выборок белого шума: ${\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\xi }_N^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}I$, где каждая выборка состоит из независимых, равномерно распределенных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией. Вычислим $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}I$ (в настоящей работе берется значение I=5000).

6. Сформируем множество $\mathrm{<mo>\{</mo>}i\mathrm{<mo>:</mo><mi>\; </mi>}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$, обозначим число элементов этого множества через $I_0$. Отношение $I_0\mathrm{<mo>/</mo>}I$ определяет реально достигнутый уровень значимости критерия.

Проведем исследование полученного статистического критерия на нестационарной альтернативе, сформированной в соответствии с моделью нестационарного шума (1). Заметим, в [2] критерий исследуется на других альтернативах.

По стационарной последовательности $\xi \mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\xi }_i\mathrm{,<mi>\; </mi>}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$ с нулевым средним мы будем формировать нестационарный шум $\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\rho }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$ 

${\rho }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{k-1}}{\xi }_{k-i}\Delta p_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mi>\; </mi><mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}$ (19)

где $\Delta p_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}-p_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ( $p_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{t}^{\nu }$, $0\le \nu \le 1$ ( $p_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ )).

Проведем моделирование $10$ независимых друг от друга выборок белого шума ${\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,10}$, так что каждая выборка состоит из N независимых стандартных нормальных случайных величин: ${\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\xi }_N^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,10}$, $N\mathrm{<mo>=</mo>500001}$. В соответствии с (19) построим выборки $\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,0.1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,10}$.

Для формирования альтернативы мы выбрали достаточно малое значение $\nu \mathrm{<mo>=</mo>0.1}$. Ниже мы покажем, что для R, равного 6 и 7, критерий обладает высокой чувствительностью к распознаванию нестационарной альтернативы.

В третьей и четвертой строке следующих таблиц приведены реально достигнутые уровни значимостей критерия стационарности на выборках ${\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,0.1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (см. (19)) соответственно.

Таблица 2.

Будем принимать основную гипотезу о стационарности, если реально достигнутый уровень значимости критерия превосходит 0.05.

В случае R=4 критерий принимает альтернативу (при условии, что она верна) в 50% случаев (см. последнюю строку таблицы).

Таблица 3.

В случае R=5 критерий принимает альтернативу (при условии, что она верна) в $50$ % случаев.

Таблица 4.

В случае R=6 (при $\nu \mathrm{<mo>=</mo>0.1}$ ) критерий принимает альтернативу (при условии, что она верна) в $80$ % случаев. Заметим, что уже в случае $\nu \mathrm{<mo>=</mo>0.08}$ чувствительность критерия к распознаванию нестационарной альтернативы уменьшается. В этом случае критерий принимает альтернативу (при условии, что она верна) в 60% случаев.

Таблица 5.

В случае R=7 критерий принимает альтернативу (при условии, что она верна) для 80% случаев.

В дальнейшем мы используем значение R=6, поскольку в этом случае имеет место достаточно высокая чувствительность критерия к распознаванию основной гипотезы (см. разд. 4). Более того, в этом случае критерий с высокой частотой отвергает основную гипотезу при условии, что верна альтернатива.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Метод дисперсий

Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ выборка, реализующая стационарную последовательность $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_k\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Предполагается, что $Var\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle {\sum }_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sim {\sigma }^2{n}^{2H}$ при $n\to +\infty$. Следующий метод позволяет вычислять оценки параметров $\sigma$ и H (см. [15]).

Метод. 1. Центрируем выборку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, т. е. находим ${x^{\prime }}_k\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_k-a_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N$, где $a_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{x}_i$. В итоге получаем выборку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x^{\prime }}_k\mathrm{,<mi>\; </mi>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

2. Вычисляем $m\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{{\displaystyle \log }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Для каждого $\tau {\mathrm{<mo>=</mo>2}}^L$, где $L\mathrm{<mo>=</mo>0,}\dots \mathrm{,}m-2$, масштабируем данные: $x_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}j-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\tau +1}^{j\tau }}{x^{\prime }}_i$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots {\mathrm{,2}}^{m-L}$.

3. Находим стандартное отклонение: $V_L\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\sqrt{\frac{1}{2^{m-L}}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{2^{m-L}}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j^{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}}^L\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\mathrm{.}$

4. Составляем модель линейной регрессии $\ln V_L\mathrm{<mo>=</mo>}HL\ln 2+b+{\epsilon }_L$, $L\mathrm{<mo>=</mo>0,}\dots \mathrm{,}m-2$, где $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\epsilon }_L\mathrm{<mo>\}</mo>}$ $–$ ошибки модели.

5. Методом наименьших квадратов находим оценку $H_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ параметра H и свободный коэффициент b. Используя b, определяем оценку ${\sigma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ параметра $\sigma$.

Авторы признательны анонимным рецензентам за содержательные замечания и предложения.

[1] Работа выполнена при финансовой поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН, проект FWNF-2024-0001.

About the authors

N. S. Arkashov

Author for correspondence.
Email: nicky1978@mail.ru
Russian Federation, Ave. Ac. Koptyuga, 4, Novosibirsk, 630090

V. A. Seleznev

Email: selvad46@mail.ru
Russian Federation, Karl Marx Avenue, 20, Novosibirsk, 630073

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Graph of time series of plasma density values, .

Download (474KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Graph of actually achieved significance levels, , .

Download (153KB)

Indexing metadata