Оптимальные по порядку сплайн-методы решения особых интегродифференциальных уравнений

Abstract

Исследовано линейное интегродифференциальное уравнение с особым дифференциальным оператором в главной части. Для его приближенного решения в пространстве обобщенных функций предложены и обоснованы специальные обобщенные варианты сплайн-методов. Установлена оптимальность по порядку точности построенных методов. Библ. 16.

Full Text

1. Введение

Настоящая работа посвящена приближенному решению линейного интегродифференциального уравнения (ИДУ)

$\left(Ax\right)\left(t\right)\equiv x^{\left(p\right)}\left(t\right)\prod _{j=1}^q{\left(t-t_j\right)}^{m_j}+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}K\left(t,s\right)x\left(s\right)ds=y\left(t\right),$(1.1)

в котором $t\in I\equiv \left[-\mathrm{1,1}\right],$ числа $t_j\in \left(-\mathrm{1,1}\right),m_j\in N,j=\overline{\mathrm{1,}q}$ и $p\in Z^{+}$ являются фиксированными; K и y — известные непрерывные функции, обладающие определенными свойствами “гладкости” точечного характера, а x — искомая функция. Очевидно, что задача об отыскании решения ИДУ (1.1) в классе обычных гладких функций является некорректно поставленной. Следовательно, важен вопрос о построении основных пространств, обеспечивающих корректность данной задачи. При обсуждении этого вопроса вполне естественно учитывать то, что в случае p = 0 ИДУ (1.1) преобразуется в линейное интегральное уравнение третьего рода (УТР) (т.е. в этом смысле эти уравнения являются “родственными”). Хорошо известно, что УТР находят все более широкие применения как в теории, так и в приложениях. В частности, УТР встречаются в ряде задач теорий переноса нейтронов, упругости, рассеяния частиц (см., например, [1; 2, с. 121–129]) и приведенную в них библиографию), в теории уравнений с частными производными смешанного типа [3], а также в теории сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом [4]. При этом, как правило, естественными классами решений УТР являются специальные пространства обобщенных функций типа D или V. Под D (соответственно V) понимается пространство обобщенных функций, построенных с помощью функционала “дельта-функция Дирака” (соответственно функционала “конечная часть интеграла по Адамару”). Подробный обзор полученных результатов и обширную библиографию по УТР можно найти в монографии [5, с. 3–11, 168–173] и в диссертации [6, с. 3–6, 106–114]. На основе упомянутой выше связи между ИДУ (1.1) и УТР соответствующие идеи и результаты для УТР можно успешно использовать при корректной постановке задачи (1.1), разработке и теоретическом обосновании приближенных методов решения ИДУ (1.1) в пространствах обобщенных функций.

ИДУ (1.1) при $q=\mathrm{1,}{t}_1=0$ исследовано в работе [7, с. 25–43], в которой с использованием известных результатов по УТР построена теория Нетера для такого уравнения в классах гладких и обобщенных функций типа D. В статье [8] построена полная теория разрешимости общего ИДУ (1.1) в некотором пространстве типа D обобщенных функций (фредгольмовость уравнения, условия разрешимости, алгоритм отыскания точного решения, достаточные условия непрерывной обратимости оператора $A$). Следует отметить, что исследуемые ИДУ точно решаются лишь в очень редких частных случаях. Поэтому особенно актуальна разработка эффективных методов их приближенного решения в пространствах обобщенных функций с соответствующим теоретическим обоснованием. Определенные результаты в этой области получены в работах [8, 9], в которых предложены и обоснованы прямые проекционные методы приближенного решения ИДУ вида (1.1), основанные на применении стандартных и некоторых специальных полиномов.

В настоящей статье предложены обобщенные варианты сплайн-методов, специально приспособленные к численному решению ИДУ (1.1) в некотором пространстве X обобщенных функций типа D. Проведено их теоретическое обоснование в смысле [10, гл. 1, § 1–5]) и установлено, что разработанные методы оптимальны по порядку точности на некотором классе F, порожденном классом $H_{\omega }^r$, среди всех прямых проекционных методов решения исследуемых уравнений в пространстве X.

2. О пространствах основных и обобщенных функций

Пусть $C\equiv C\left(I\right)$  — банахово пространство всех непрерывных на I функций с обычной max-нормой и $m\in N$. Обозначим через $C\left\{m;0\right\}\equiv C_0^{\left\{m\right\}}\left(I\right)$ множество всех функций $f\in C$, имеющих в точке $t=0$ тейлоровскую производную $f^{\left\{m\right\}}\left(0\right)$ порядка m (см., например, [11]). Его назовем классом “точечно-гладких” функций (естественно считаем, что $C\left\{0;0\right\}\equiv C$). Построим теперь основное в наших исследованиях пространство:

$Y\equiv C\left\{m,p;0\right\}\equiv \left\{y\in C\left\{m;0\right\}:y^{\left\{i\right\}}\left(0\right)=0\left(i=\overline{\mathrm{0,}p-1}\right)\right\},$

где число $p\in Z^{+}$ удовлетворяет неравенству $p<m$. Снабдим его нормой

${||y||}_Y\equiv {||Ty||}_C+\sum _{i=p}^{m-1}\left|y^{\left\{i\right\}}\left(0\right)\right|,$(2.1)

где $T:Y\to C$ — “характеристический” оператор класса Y, определяемый следующим образом:

$\left(Ty\right)\left(t\right)\equiv \left[y\left(t\right)-\sum _{i=p}^{m-1}{y}^{\left\{i\right\}}\left(0\right)t^i/i!\right]t^{-m}\equiv H\left(t\right)\in C,H\left(0\right)\equiv \underset{t\to 0}{\lim }H\left(t\right).$

Лемма 2.1 (см. [8]). i) Включение $y\in Y$  равносильно выражению

$y\left(t\right)=t^{m}H\left(t\right)+\sum _{i=p}^{m-1}{\alpha }_i{t}^i,$(2.2)

причем $Ty=H\in C$  с точностью до устранимого разрыва в точке t = 0, а $y^{\left\{i\right\}}\left(0\right)={\alpha }_{i}i!(i=\overline{p,m-1}).$

2. ii) Пространство Y по норме (2.1) полно и нормально вложено в пространство C.

Обозначим через $C^{\left(p\right)}\equiv C^{\left(p\right)}\left(I\right)$ векторное пространство p раз непрерывно дифференцируемых на I функций, в котором введем специальную норму

${||z||}_{\left(p\right)}\equiv {||Dz||}_C+\sum _{i=0}^{p-1}\left|z^{\left(i\right)}(-1)\right|\left(z\in C^{\left(p\right)}\right),$(2.3)

где $Dz\equiv z^{\left(p\right)}\left(t\right)\in C$.

Лемма 2.2 (см. [8]). Пространство $C^{\left(p\right)}$ с нормой (2.3) полно и нормально вложено в пространство C.

Следствие 1. Обычная норма ${||\cdot ||}_{{Ñ}^{\left(p\right)}}$ в $C^{\left(p\right)}$ и норма (2.3) эквивалентны, т.е. существует постоянная $d\ge 1$ такая, что ${||z||}_{\left(p\right)}\le {||z||}_{C^{\left(p\right)}}\le d{||z||}_{\left(p\right)}$ для любой функции $z\in C^{\left(p\right)}$, где ${||z||}_{C^{\left(p\right)}}\equiv \sum _{i=0}^p{||z^{\left(i\right)}||}_C$.

Пусть $C_{-1}^{\left(p\right)}\equiv C_{-1}^{\left(p\right)}\left(I\right)\equiv \left\{z\in C_{}^{\left(p\right)}:z^{\left(i\right)}(-1)=0\left(i=\overline{\mathrm{0,}p-1}\right)\right\}$ — банахово пространство гладких функций с нормой ${||z||}_{\left(p\right)}\equiv {||Dz||}_C$.

Теперь над пространством Y основных функций построим семейство $X\equiv D_{-1}^{\left(p\right)}\left\{m;0\right\}$ обобщенных функций x(t) $x\left(t\right)$ вида

$x\left(t\right)\equiv z\left(t\right)+\sum _{i=0}^{m-p-1}{\gamma }_i{\delta }^{\left\{i\right\}}\left(t\right),$(2.4)

где $t\in I,z\in C_{-1}^{\left(p\right)},{\gamma }_i\in R$ — произвольные постоянные, а d и ${\delta }^{\left\{i\right\}}$ — соответственно дельта-функция Дирака и ее “тейлоровские” производные, действующие на пространстве Y основных функций согласно следующему правилу:

$\left({\delta }^{\left\{i\right\}},y\right)\equiv \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\delta }^{\left\{i\right\}}\left(t\right)y\left(t\right)dt\equiv {(-1)}^i{y}^{\left\{i\right\}}\left(0\right)\left(y\in Y,i=\overline{\mathrm{0,}m-p-1}\right).$(2.5)

Очевидно, что векторное пространство X является банаховым относительно нормы

${||x||}_X\equiv {||z||}_{\left(p\right)}+\sum _{i=0}^{m-p-1}\left|{\gamma }_i\right|.$(2.6)

3. Обобщенный полигональный метод (ОПМ)

Пусть задано ИДУ (1.1). Для сокращения громоздких выкладок и упрощения формулировок, не ограничивая при этом общности идей, методов и результатов, всюду в дальнейшем будем считать q = 1, t₁ = 0, т.е. рассмотрим ИДУ вида

$\left(Ax\right)\left(t\right)\equiv \left(Vx\right)\left(t\right)+\left(Kx\right)\left(t\right)=y\left(t\right)(t\in I),$(3.1)

$V\equiv UD,Df\equiv f^{\left(p\right)}\left(t\right),Ug\equiv t^{m}g\left(t\right),Kx\equiv \underset{-1}{\overset{1}{\int }}K(t,s)x\left(s\right)ds,$

где $p\in N\cup \left\{0\right\},m\in N,p<m;y\in Y\equiv C\left\{m,p;0\right\},$ ядро K обладает следующими свойствами:

$K(\cdot ,s)\in C,K(t,\cdot )\in Y,{\psi }_i\left(t\right)\equiv K_s^{\left\{i\right\}}\left(t\mathrm{,0}\right)\in Y\left(i=\overline{\mathrm{0,}m-p-1}\right),$(3.2)

а $x\in X$ — искомый элемент. Фредгольмовость и достаточные условия непрерывной обратимости оператора $A:X\to Y$ установлены в работе [8]; там же указан метод отыскания точного решения ИДУ (1.1) в классе X.

Приближенное решение ИДУ (3.1) построим в виде агрегата

$x_n\equiv x_n\left(t;\left\{c_j\right\}\right)\equiv g_n\left(t\right)+\sum _{i=0}^{m-p-1}{c}_{i+n+1}{\delta }^{\left\{i\right\}}\left(t\right),$(3.3)

$g_n\left(t\right)\equiv \left(J{z}_n\right)\left(t\right),z_n\left(t\right)\equiv \sum _{i=0}^n{c}_i{\phi }_i\left(t\right),n=\mathrm{2,3,...,}$(3.4)

где 

$Jz\equiv \left(J_{p-1}z\right)\left(t\right)\equiv {\left(\left(p-1\right)!\right)}^{-1}\underset{-1}{\overset{t}{\int }}{\left(t-s\right)}^{p-1}z\left(s\right)ds;$

при этом $J:C\to C^{\left(p\right)},{\left(Jz\right)}^{\left(i\right)}=J_{p-i-1}z(i=\overline{\mathrm{0,}p-1}),DJz=z.$ Здесь ${\left\{{\phi }_i\right\}}_0^n$ — система обычных фундаментальных сплайнов первого порядка (см., например, 12]) по узлам $s_i\equiv -1+2i/n,i=\overline{\mathrm{0,}n}.$ Неизвестные параметры $c_j=c_j^{\left(n\right)},j=\overline{\mathrm{0,}n+m-p},$ найдем согласно ОПМ из квадратной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) $(n+m-p+1)$-го порядка:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{w}_k\left(t\right)\left(T{\rho }_n\right)\left(t\right)dt=\mathrm{0,}k=\overline{\mathrm{0,}n},{\rho }_n^{\left\{i\right\}}\left(0\right)=\mathrm{0,}i=\overline{p,m-1},$(3.5)

где ${\rho }_n\left(t\right)\equiv {\rho }_n^A\left(t\right)\equiv (A{x}_n-y)\left(t\right)$ — невязка приближенного решения, а w_k — любая из следующих “весовых” функций:

$\left(\alpha \right)w_k\left(t\right)=\delta (t-s_k)$ — дельта-функция Дирака;

$\left(\beta \right)w_k\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{1,}t\in \left[s_{k-1},s_k\right],\\ \mathrm{0,}t\notin \left[s_{k-1},s_k\right],\end{array}\right.k=\overline{\mathrm{0,}n};$

причем в последнем случае “веса” полагаем $s_{-1}\equiv s_0,$ а также $c_0\equiv c_n$ или $c_0\equiv c_1$ (периодический или непериодический случай соответственно).

Следуя работе [13], примем соглашения, полезные при оформлении результатов по обоснованию приближенных методов. Во-первых, стандартное утверждение “при всех $n\in N(n\ge n_0)$ СЛАУ (3.5) имеет единственное решение $\left\{c_j^{*}\right\}$ и последовательность приближенных решений $x_n^{*}\equiv x_n\left(t;\left\{c_j^{*}\right\}\right)$ сходится к точному решению $x^{*}=A^{-1}y$ уравнения (3.1) по норме пространства X ″ заменим простой фразой “метод (3.3)–(3.5) обоснованно применим к уравнению (3.1)”. Во-вторых, для погрешности приближенного решения введем специальное обозначение $\Delta x_n^{*}\equiv {||x_n^{*}-x^{*}||}_X$; оценка этой величины определяет скорость сходимости приближенных решений $x_n^{*}$ к точному решению $x^{*}$уравнения (3.1).

Обоснование вычислительного алгоритма (3.1)–(3.5) дается в следующей теореме.

Теорема 1. Если однородное ИДУ $Ax=0$  имеет в X лишь нулевое решение (например, в условиях теоремы 2 из [8]), то прямой метод (3.3)–(3.5) обоснованно применим к уравнению (3.1), причем

$\Delta x_n^{*}=O\left\{{\omega }_t\left(h;{\Delta }_n\right)+\sum _{i=0}^{m-p-1}\omega \left(f_i;{\Delta }_n\right)+\omega \left(Ty;{\Delta }_n\right)\right\},$(3.6)

где ${\Delta }_n\equiv 1/n,\omega \left(f;\Delta \right)$  — модуль непрерывности функции $f\in C$  с шагом $\Delta \left(0<\Delta \le 2\right),{\omega }_t\left(h;\Delta \right)$  — частный модуль непрерывности функции $h(t,s)$  по переменной t; $h\equiv T_{t}K,f_i\equiv T{\psi }_i,i=\overline{\mathrm{0,}m-p-1}$.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай (a) “веса” w_k. В условиях данной теоремы ИДУ (3.1) представляется в виде линейного операторного уравнения

$Ax\equiv Vx+Kx=y,x\in X\equiv D_{-1}^{\left(p\right)}\left\{m;0\right\},y\in Y\equiv C\left\{m,p;0\right\},$(3.7)

в котором оператор $A:X\to Y$ непрерывно обратим.

Систему (3.3)–(3.5) требуется записать также в операторной форме. С этой целью построим соответствующие конечномерные подпространства основных пространств:

$X\supset X_n^{}\equiv J\left({S^1}_n\right)\oplus span{\left\{{\delta }^{\left\{i\right\}}\left(t\right)\right\}}_0^{m-p-1},Y\supset Y_n^{}\equiv U\left(S_n^1\right)\oplus span{\left\{t^i\right\}}_p^{m-1},$

где $S_n^1\equiv span{\left\{{\phi }_i\right\}}_0^n$ — пространство всех сплайнов первого порядка по системе узлов ${\left\{s_i\right\}}_0^n$. Далее зададим линейное проектирующее отображение ${\Gamma }_n\equiv {\Gamma }_{n+m-p+1}:Y\to Y_n$ согласно правилу

${\Gamma }_{n}y\equiv {\Gamma }_{n+m-p+1}\left(y;t\right)\equiv \left(U{P}_{n}Ty\right)\left(t\right)+\sum _{i=p}^{m-1}{y}^{\left\{i\right\}}\left(0\right)\frac{t^i}{i!},$(3.8)

в котором линейный оператор $P_n:C\to S_n^1$ каждой функции $f\in C$ ставит в соответствие ее интерполяционный полигон (сплайн первого порядка) $\left(P_{n}f\right)\left(t\right)\equiv \sum _{i=0}^{n}f\left(s_i\right){\phi }_i\left(t\right).$

Покажем теперь, что вычислительная схема (3.3)–(3.5) эквивалентна линейному операторному уравнению

$A_n{x}_n\equiv {\Gamma }_{n}A{x}_n={\Gamma }_{n}y,x_n\in X_n,{\Gamma }_{n}y\in Y_n.$(3.9)

Пусть $x_n^{*}\equiv x_n\left(t;\left\{c_j^{*}\right\}\right)$ есть решение уравнения (3.9), т.е. ${\Gamma }_n{\rho }_n^{*}=\mathrm{0,}{\rho }_n^{*}\equiv A{x}_n^{*}-y.$ В силу (3.8) и (2.2) последнее равносильно системе

$\left(P_{n}T{\rho }_n^{*}\right)\left(t\right)\equiv \mathrm{0,}{\left({\rho }_n^{*}\right)}^{\left\{i\right\}}\left(0\right)=\mathrm{0,}i=\overline{p,m-1},$

или же

$\left(T{\rho }_n^{*}\right)\left(s_k\right)=\mathrm{0,}k=\overline{\mathrm{0,}n};{\left({\rho }_n^{*}\right)}^{\left\{i\right\}}\left(0\right)=\mathrm{0,}i=\overline{p,m-1}.$

Итак, СЛАУ (3.5) при “весе” (a) имеет единственное решение ${\left\{c_j^{*}\right\}}_0^{n+m-p},$ т.е. решение уравнения (3.9) является решением системы (3.3)–(3.5).

Для получения обратного утверждения достаточно провести только что изложенные рассуждения в обратном порядке.

Таким образом, для доказательства теоремы 1 достаточно установить существование, единственность и сходимость решений уравнений (3.9). В этих целях нам понадобится аппроксимативное свойство оператора G_n.

Лемма 3.1. Для любой функции $y\in Y$  справедлива оценка

${||y-{\Gamma }_{n}y||}_Y\le \omega \left(Ty;{\Delta }_n\right).$(3.10)

Доказательство данного утверждения легко следует из соотношений (2.2), (3.8), (2.1) и оценки (см., например, [12])

${||f-P_{n}f||}_C\le \omega \left(f;{\Delta }_n\right),f\in C.$(3.11)

Уточним структуру аппроксимирующего уравнения (3.9). Поскольку ${\Gamma }_n^2={\Gamma }_n$, имеем ${\Gamma }_{n}V{x}_n=V{x}_n\in Y_n$ при любом элементе $x_n\in X_n$. Следовательно, вычислительный алгоритм (3.3)- (3.5) равносилен функциональному уравнению вида

$A_n{x}_n\equiv V{x}_n+{\Gamma }_{n}K{x}_n={\Gamma }_{n}y,x_n\in X_n,{\Gamma }_{n}y\in Y_n.$(3.12)

Покажем теперь “близость” операторов A и A_n на подпространстве X_n в условиях (3.2). Используя уравнения (3.7) и (3.12), представления (2.2) и (3.8), норму (2.1), для произвольного элемента $x_n\in X_n$ находим, что

${||Ax{}_n-A_n{x}_n||}_Y={||Kx{}_n-{\Gamma }_{n}K{x}_n||}_Y={||TKx{}_n-P_{n}TK{x}_n||}_C.$(3.13)

На основании (3.1), (2.4), (2.5) и (3.2) имеем

$\left(Kx\right)\left(t\right)=\left(Kz\right)\left(t\right)+\sum _{i=0}^{m-p-1}{\left(-1\right)}^i{\gamma }_i{\psi }_i\left(t\right).$

Следовательно,

$\left(K{x}_n\right)\left(t\right)=\left(K{g}_n\right)\left(t\right)+\sum _{i=0}^{m-p-1}{\left(-1\right)}^i{c}_{i+n+1}{\psi }_i\left(t\right),$

и тогда справедливо равенство

$\left(TK{x}_n\right)\left(t\right)=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}h\left(t,s\right)g_n\left(s\right)ds+\sum _{i=0}^{m-p-1}{\left(-1\right)}^i{c}_{i+n+1}{f}_i\left(t\right).$(3.14)

В силу (3.14), (3.11), леммы 2.2 и определения (2.6) последовательно выводим промежуточную оценку:

${||TK{x}_n-P_{n}TK{x}_n||}_C\equiv \underset{t\in I}{\max }\left|\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(h-P_n^{t}h\right)\right.\left(t,s\right)g_n\left(s\right)ds+\left.\sum _i{\left(-1\right)}^i{c}_{i+n+1}\left(f_i-P_n{f}_i\right)\left(t\right)\right|\le$

$\le 2{||g_n||}_C{\omega }_t\left(h;{\Delta }_n\right)+\sum _i\left|c_{i+n+1}\right|\omega \left(f_i;{\Delta }_n\right)\le 2{||g_n||}_{\left(p\right)}{\omega }_t\left(h;{\Delta }_n\right)+$

$+{||x_n||}_X\sum _i\omega \left(f_i;{\Delta }_n\right)\le 2\left[{\omega }_t\left(h;{\Delta }_n\right)+\sum _i\omega \left(f_i;{\Delta }_n\right)\right]{||x_n||}_X.$(3.15)

Из (3.13) и (3.15) следует искомая оценка “близости” операторов A и A_n:

${\epsilon }_n\equiv {||A-A_n||}_{X_n\to Y}\le 2\left[{\omega }_t\left(h;{\Delta }_n\right)+\sum _i\omega \left(f_i;{\Delta }_n\right)\right].$(3.16)

На основании оценок (3.16) и (3.10) из теоремы 7 [10, гл. 1, § 4] вытекает утверждение теоремы 1 с оценкой погрешности (3.6).

В случае (b) “весовой” функции w_k вычислительная схема (3.3)–(3.5) равносильна операторному уравнению вида (3.9), в котором отображение G_n задано по правилу (3.8), где роль оператора P_n играет линейный оператор $Q_n:C\to S_n^1$, ставящий в соответствие каждой функции $f\in C$ ее “усредненный” интерполяционный сплайн [14]

$\left(Q_{n}f\right)\left(t\right)\equiv \sum _{i=0}^n{F}_i\left(f\right){\phi }_i\left(t\right),F_i\left(f\right)\equiv \frac{n}{2}\underset{s_{i-1}}{\overset{s_i}{\int }}f\left(t\right)dt,i=\overline{\mathrm{0,}n},$

причем $F_0\left(f\right)\equiv F_n\left(f\right)$ в периодическом случае, а в общем случае $F_0\left(f\right)\equiv F_1\left(f\right)$. Из соответствующих результатов работы [14] следует, что в рассматриваемом случае операторов G_n и Q_n также имеют место оценки вида (3.10), (3.11). Однако, как легко проверить, оператор G_n не является проекционным, т.е. ${\Gamma }_n^2\ne {\Gamma }_n$. Поэтому наряду с уравнением (3.9) введем в рассмотрение операторное уравнение

$B_n{x}_n\equiv V{x}_n+{\Gamma }_{n}K{x}_n={\Gamma }_{n}y{x}_n\in X_n,{\Gamma }_{n}y\in Y_n.$(3.17)

Аналогично случаю с “весом” (a) (заменой оператора A_n на B_n) получим оценки

$||B_n^{-1}||=O\left(1\right),B_n^{-1}:Y_n\to X_n,n\ge n_1,$(3.18)

${||{\tilde{x}}_n-x^{*}||}_X\equiv O\left\{{\omega }_t\left(h;{\Delta }_n\right)+\sum _{i=0}^{m-p-1}\omega \left(f_i;{\Delta }_n\right)+\omega \left(Ty;{\Delta }_n\right)\right\},$(3.19)

$x^{*}=A^{-1}y,{\tilde{x}}_n=B_n^{-1}{\Gamma }_{n}y.$

Далее, используя известный способ функционального анализа (см., например, [5, гл. 4, § 3, с. 125]) с привлечением соотношений (3.17), (3.18), аппроксимативных свойств оператора ${\Gamma }_n$ и “малой” теоремы Банаха, найдем, что

$||A_n^{-1}||=O\left(1\right),A_n^{-1}:Y_n\to X_n,n\ge n_2.$(3.20)

Для оценки погрешности $\Delta x_n^{*}\equiv ||{x_n}^{*}-x^{*}||,{x_n}^{*}=A_n^{-1}{\Gamma }_{n}y,$ как и в [10, гл. 1, § 3, с. 18], имеем представление

$x^{*}-x_n^{*}=\left(E-A_n^{-1}{\Gamma }_{n}A\right)\left(x^{*}-{\tilde{x}}_n\right),x^{*}=A^{-1}y,{\tilde{x}}_n=B_n^{-1}{\Gamma }_{n}y,$

и, следовательно, с учетом (3.19) и (3.20) выводим требуемую оценку (3.6): $\Delta x_n^{*}=O\left(||{\tilde{x}}_n-x^{*}||\right).$ Теорема 1 полностью доказана.

Следствие 2. Если функции h (по t), f_i и Ty принадлежат классу C ^(r) (в случае (a) $r=\overline{\mathrm{0,1}},$ а для (b) r = 0), то в условиях теоремы 1 верна оценка

$\Delta x_n^{*}=O\left\{{\Delta }_n^r\left[{\omega }_t\left(h_t^{\left(r\right)};{\Delta }_n\right)+\sum _{i=0}^{m-p-1}\omega \left(f_i^{\left(r\right)};{\Delta }_n\right)+\omega \left({\left(Ty\right)}^{\left(r\right)};{\Delta }_n\right)\right]\right\}.$(3.21)

Для доказательства данного утверждения вместо использованной в теореме 1 оценки вида (3.11) следует использовать оценку [12]

${||f-R_{n}f||}_C\equiv O\left\{{\Delta }_n^r\omega \left(f^{\left(r\right)};{\Delta }_n\right)\right\},f\in C^{\left(r\right)},$(3.22)

где R_n = P_n или R_n = Q_n в зависимости от применяемого метода.

4. Обобщенный метод подобластей с параболическими сплайнами (ОМППС)

Приближенное решение задачи (3.1), (3.2) будем искать в виде (3.3), (3.4), где параболический сплайн

$z_n\left(t\right)\equiv \sum _{i=-1}^n{c}_i{B}_{\mathrm{2,}i}\left(t\right)$

удовлетворяет одному из краевых условий:

$\left({\gamma }_1\right)z_n(-1)=z_n\left(1\right),{z^{\text{'}}}_n(-1)={z^{\text{'}}}_n\left(1\right)$ (периодические условия);

$\left({\gamma }_2\right)z_n^{\left(2\right)}(s_j-0)=z_n^{\left(2\right)}(s_j+0),j=\mathrm{1,}n-1.$

Здесь базисные элементы $B_{\mathrm{2,}i}\left(t\right)$ суть В-сплайны второго порядка на равномерной сетке с носителем $(s_{i-1},s_{i+2})$ (см., например, [15, гл. 1, § 2]). Для определения всех функций $B_{\mathrm{2,}i}\left(t\right)$ заданную сетку дополним равномерно расположенными узлами: $s_{-2}<s_{-1}<s_0\equiv -\mathrm{1,}1\equiv s_n<s_{n+1}<s_{n+2}$. Набор ${\left\{c_j\right\}}_{-1}^{n+m-p}$ неизвестных параметров найдем согласно ОМППС из СЛАУ вида (3.5) в случае (b)“весовой” функции $w_k,k=\overline{\mathrm{0,}n}.$

Теорема 2. Если ИДУ $Ax=0$  имеет в X лишь тривиальное решение и функции h (по t), $f_i,i=\overline{\mathrm{0,}m-p-1},Ty$  принадлежат пространству $C^{\left(r\right)},r=\overline{\mathrm{1,2}},$  то ОМППС обоснованно применим к уравнению (3.1) и для соответствующей погрешности $\Delta x_n^{*}$  справедливо неравенство вида (3.21), в котором $r=\overline{\mathrm{1,2}}.$

Доказательство теоремы 2 по сути аналогично доказательству теоремы 1. При этом вычислительная схема ОМППС равносильна операторному уравнению вида (3.9), где $X_n\equiv J\left(S_n^2\right)\oplus span{\left\{{\delta }^{\left\{i\right\}}\left(t\right)\right\}}_0^{m-p-1},Y_n\equiv U\left(S_n^2\right)\oplus span{\left\{t^i\right\}}_p^{m-1},S_n^2-$ совокупность всех параболических сплайнов на равномерной сетке, обладающих одним из свойств $\left({\gamma }_1\right),\left({\gamma }_2\right)$; отображение ${\Gamma }_n:Y\to Y_n$ определено согласно закону (3.8), в котором $P_n:C\to S_n^2$ обозначает сплайновый оператор, введенный и изученный в работе [14]. Там же, в частности, указано, что образ оператора P_n равен производной определенного интерполяционного кубического сплайна. Из соответствующих аппроксимативных свойств последнего (см., например, [15, гл. 2, § 4, с. 89, 93]) непосредственно следует оценка

${||f-P_{n}f||}_C\equiv O\left\{{\Delta }_n^r\omega \left(f^{\left(r\right)};{\Delta }_n\right)\right\},f\in C^{\left(r\right)},r=\overline{\mathrm{1,2}},$

откуда с учетом (2.2), (3.8) и (2.1) легко выводится соотношение

${||y-{\Gamma }_{n}y||}_Y\equiv O\left\{{\Delta }_n^r\omega \left({\left(Ty\right)}^{\left(r\right)};{\Delta }_n\right)\right\},Ty\in C^{\left(r\right)},r=\overline{\mathrm{1,2}}.$

Тогда с помощью этих двух оценок дальнейшее доказательство повторяет по существу доказательство теоремы 1 в случае (a)“веса” w_k

5. Об одной оценке погрешности приближенных решений

В дальнейшем при оптимизации прямых проекционных методов решения ИДУ (3.1) существенную роль будет играть

Теорема 3. Пусть ИДУ (3.1) имеет решение вида

$x_{}^{*}\left(t\right)=z^{*}\left(t\right)+\sum _{i=0}^{m-p-1}{\gamma }_i^{*}{\delta }^{\left\{i\right\}}\left(t\right),D{z}^{*}=DTU{x}^{*}\in C^{\left(r\right)}$

при данном $y\in Y$  и соответствующий аппроксимирующий оператор A_n в ОПМ и ОМППС непрерывно обратим. Тогда погрешность приближенного решения $x_n^{*}\in X_n$  для правой части ${\Gamma }_{n}y\in Y_n$  представима в виде

$\Delta x_n^{*}=O\left\{{\Delta }_n^r\omega \left({\left(DTU{x}^{*}\right)}^{\left(r\right)};{\Delta }_n\right)\right\},$

причем r = 0 для (b) ОПМ, $r=\overline{\mathrm{0,1}}$  при (a) ОПМ и $r=\overline{\mathrm{0,2}}$  в случае ОМППС.

Доказательство. В силу теоремы 6 из [10, гл. 1, § 3, с. 17] и (3.9) имеем

где $x_n\in X_n-$ пока произвольный элемент. Выберем его следующим образом:

$x_n\left(t\right)=\left(J{P}_{n}DTU{x}^{*}\right)\left(t\right)+\sum _{i=0}^{m-p-1}{\gamma }_i^{*}{\delta }^{\left\{i\right\}}\left(t\right),$

где P_n — сплайновый оператор, соответствующий рассматриваемому методу. Тогда требуемая оценка следует из определений норм (2.6), (2.3) и аппроксимативных свойств оператора P_n (см., например, [12; 14; 15, гл. 2, § 4, с. 93]).

6. К оптимизации прямых проекционных методов решения ИДУ

Предварительно приведем необходимые определения и постановку задачи. Пусть X и Y — банаховы пространства, а X_n и Y_n — их соответствующие произвольные подпространства одинаковой размерности $N=N\left(n\right)<+\infty ,n\in N,$ причем $N\to \infty$ при $\left(n\to \infty \right)$. Обозначим через ${\Lambda }_n\equiv \left\{{\lambda }_n\right\}$ некоторое множество линейных операторов l_n, отображающих Y на Y_n. Далее рассмотрим два класса однозначно разрешимых линейных операторных уравнений

$Ax=y,x\in X,y\in Y,$(6.1)

и

${\lambda }_{n}A{x}_n={\lambda }_{n}y,x_n\in X_n,{\lambda }_n\in {\Lambda }_n,n\in N,$(6.2)

соответственно. Пусть $x^{*}\in X$ и $x_n^{*}\in X_n$ — решения уравнений (6.1) и (6.2) соответственно, а $F\equiv \left\{f\right\}$ — класс коэффициентов (т.е. исходных данных) уравнения (6.1), порождающий класс $X^{*}\equiv \left\{x^{*}\right\}$ искомых элементов.

Следуя работе [10, гл. 2, § 1], величину

$V_N\left(F\right)\equiv \underset{X_n,Y_n}{\inf }\underset{{\lambda }_n\in {\Lambda }_n}{\inf }V(F;{\lambda }_n;X_n,Y_n),$(6.3)

где

$V\left(F;{\lambda }_n;X_n,Y_n\right)\equiv \underset{f\in F}{\sup }\left(f;{\lambda }_n;X_n,Y_n\right)=\underset{x^{*}\in X*}{\sup }{||x^{*}-x_n^{*}||}_X,$

назовем оптимальной оценкой погрешности всевозможных прямых проекционных методов l_n $({\lambda }_n^{}\in {\Lambda }_n)$ решения уравнения (6.1) на классе F.

Определение 1 (см. [10, гл. 2, § 1]). Пусть существуют подпространства $X_n^0\subset X,Y_n^0\subset Y$ размерности $N=N\left(n\right)<+\infty$ и операторы ${\lambda }_n^0:Y\to Y_n^0,{\lambda }_n^0\in {\Lambda }_n,$ при которых выполняется условие

$V_N\left(F\right)\succ \prec V\left(F;{\lambda }_n^0;X_n^0,Y_n^0\right),N\to \infty ,$(6.4)

где символ $\succ \prec$ означает, как обычно, слабую эквивалентность. Тогда метод (6.1), (6.2) при $X_n=X_n^0,Y_n=Y_n^0$ и ${\lambda }_n={\lambda }_n^0$ называется оптимальным по порядку точности на классе F среди всех прямых проекционных методов ${\lambda }_n\left({\lambda }_n\in {\Lambda }_n\right)$ решения уравнений (6.1).

Рассмотрим теперь оптимизацию на классе однозначно разрешимых (равномерно относительно $K\in F$) ИДУ вида (3.1) в случае, когда исходные данные принадлежат семейству $Y{H}_{\omega }^r$, т.е. при K (по $t$), ${\psi }_i\left(t\right)\equiv K_s^{\left\{i\right\}}\left(t\mathrm{,0}\right),i=\overline{\mathrm{0,}m-p-1},y\in Y{H}_{\omega }^r\equiv \left\{g\in Y\equiv C\left\{m,p;0\right\}\left|Tg\in H_{\omega }^r\right.\right\},$ где $H_{\omega }^r\equiv \left\{f\in C^{\left(r\right)}\left|\omega \left(f^{\left(r\right)};\Delta \right)\le \omega \left(\Delta \right)\right.\right\},\omega \left(\Delta \right)$ — некоторый заданный модуль непрерывности; в частности, $H_{\omega }^r=H_{\alpha }^r\left(M\right)$ при $\omega \left(\Delta \right)=M{\Delta }^{\alpha },M\equiv const>\mathrm{0,}0<\alpha \le \mathrm{1,}r+1\in N.$ Тогда в силу теоремы 2 из [8] имеем

$X^{*}\equiv \left\{\left.x^{*}\in X\right|A{x}^{*}=y;K,{\psi }_i,y\in Y{H}_{\omega }^r\right\}=X{H}_{{\omega }^{*}}^r,$

где $X{H}_{\omega }^r\equiv \left\{\left.x\in X\equiv D_{-1}^{\left(p\right)}\left\{m;0\right\}\right|DTUx\in H_{\omega }^r\right\},{\omega }^{*}\equiv e^{*}\omega ,1\le e^{*}\equiv const.$

Далее пусть

$X_n^0\equiv J\left(S_n^k\right)\oplus span{\left\{{\delta }^{\left\{i\right\}}\left(t\right)\right\}}_0^{m-p-1},Y_n^0\equiv U\left(S_n^k\right)\oplus span{\left\{t^i\right\}}_p^{m-1},$

где k = 1 для ОПМ, k = 2 в случае ОМППС; а ${\Lambda }_n^0\equiv \left\{{\lambda }_n\right\}$ — семейство всех линейных операторов ${\lambda }_n^{}:Y\to Y_n^0.$

Теорема 4. Пусть $F=Y{H}_{\omega }^r$ , ${\Lambda }_n={\Lambda }_n^0.$  Тогда

$V_N\left(F\right)\succ \prec N^{-r}\omega \left(N^{-1}\right),N=n+m-p+\mathrm{1,}$ (6.5)

и этот оптимальный порядок реализуют ОМП и ОМППС, причем для (b) ОПМ r = 0, при (a) ОПМ $r=\overline{\mathrm{0,1}}$ , а в случае ОМППС $r=\overline{\mathrm{0,2}}$ .

Доказательство. Пусть ${\Pi }_l\equiv span{\left\{t^i\right\}}_0^l$ — класс всех алгебраических полиномов степени не выше l и

$X_n^{}\equiv {\Pi }_{n+m-p-1}^{\delta }\equiv J\left({\Pi }_{n-1}^{}\right)\oplus span{\left\{{\delta }^{\left\{i\right\}}\left(t\right)\right\}}_0^{m-p-1}$

есть $(n+m-p)$-мерное подпространство пространства X. Согласно формуле (2.6) введем величину

$E_{n+m-p-1}^{\delta }\left(x\right)\equiv \underset{x_n\in X_n}{\inf }{||x-x_n||}_X,x\in X,$(6.6)

называемую наилучшим приближением обобщенной функции $x\in X\equiv D_{-1}^{\left(p\right)}\left\{m;0\right\}$ элементами из X_n. На основании доказательства теоремы 1.5.14 [5, гл. 1, § 5] ясно, что (6.6) просто выражается через наилучшее равномерное приближение:

$E_{n+m-p-1}^{\delta }\left(x\right)\equiv E_{n-1}\left(DTUx\right),$(6.7)

где $E_l\left(f\right)$ — наилучшее равномерное приближение функции $f\in C$ полиномами из ${\Pi }_l,l\ge 0$.

Далее заметим, что из определения N-го колмогоровского поперечника d_N(L,X) множества L в пространстве $X\equiv D_{-1}^{\left(p\right)}\left\{m;0\right\}$ (см., например, [16, гл. 1, § 1]) и соотношения (6.7) легко следует равенство

$d_N(L,X)=d_{N-m+p}\left(DTU\right(L),C),N>m-p,$

откуда с учетом $d_l(H_{\omega }^r,C)\succ \prec l^{-r}\omega \left(l^{-1}\right),l\in N$ (см., например, [16, гл. 3, § 3]) вытекает слабая эквивалентность

$d_N(X{H}_{\omega }^r,X)\succ \prec N^{-r}\omega \left(N^{-1}\right),N>r+m-p,r+1\in N.$(6.8)

Известно [10, гл. 4, § 2], что $V_N\left(F\right)\ge d_N(X^{*},X).$ Следовательно, из (6.8) следует, что

$V_N\left(F\right)\ge d_N(X{H}_{{\omega }^{*}}^r,X)\succ \prec N^{-r}\omega \left(N^{-1}\right).$(6.9)

С другой стороны, согласно определению $V_N\left(F\right)$ (6.3) и теореме 3, находим верхнюю оценку

$V_N\left(F\right)\le \underset{x^{*}\in X{H}_{{\omega }_{*}}^r}{\sup }{||x^{*}-x_n^{*}||}_X=O\left\{N^{-r}\omega \left(N^{-1}\right)\right\},x_n^{*}=A_n^{-1}{\Gamma }_{n}y.$

Отсюда и из соотношений (6.9), (6.4) получаем утверждение теоремы 4 с оценкой (6.5). Требуемое доказано.

Следствие 3. Если $F=Y{H}_{\alpha }^r\left(M\right)$, то имеет место $V_N\left(F\right)\succ \prec M{N}^{-r-\alpha }$. При этом ОПМ и ОМППС оптимальны по порядку точности на классе F среди всех прямых проекционных методов решения ИДУ (3.1) в пространстве X, причем для (b) ОПМ $r+\alpha \le 1$, при (a) ОПМ $r+\alpha \le 2$, а в случае ОМППС $r+\alpha \le 3$.

7. Заключительные замечания

Замечание 1. При приближении решений операторных уравнений Ax = y возникает естественный вопрос о скорости сходимости невязки ${\rho }_n^{*}\left(t\right)\equiv (A{x}_n^{*}-y)\left(t\right)$ исследуемых методов. Один из результатов в этом направлении легко получить из теорем 1 и 2, а именно, из них вытекает простое следствие: если исходные данные h, f_i и Ty уравнения (3.1) принадлежат классу $H_{\alpha }^r$ (при (b) ОПМ r = 0, для (a) ОПМ $r=\overline{\mathrm{0,1}}$, в случае ОМППС $r=\overline{\mathrm{0,2}};0<\alpha \le 1$), то в условиях теорем 1 и 2 соответственно справедлива оценка ${||{\rho }_n^{*}||}_Y=O\left(n^{-r-\alpha }\right).$

Замечание 2. В силу определения нормы в пространстве $X\equiv D_{-1}^{\left\{p\right\}}\left\{m;0\right\}$ нетрудно заметить, что из сходимости последовательности $\left(x_n^{*}\right)$ приближенных решений к точному решению $x^{*}=A^{-1}y$ в метрике X следует обычная сходимость в пространстве обобщенных функций, т.е. слабая сходимость.

Замечание 3. Определенный выбор “веса” w_kв ОПМ порождает конкретный прямой метод. Именно, в случае (a) (соответственно, (b)) имеем истинность установленных результатов для обобщенного метода коллокации (соответственно, подобластей) решения ИДУ (3.1).

Замечание 4. Так как в условиях теорем 1 и 2 соответствующие аппроксимирующие операторы A_n обладают свойством вида

$||A_n^{-1}||=O\left(1\right),A_n^{-1}:Y_n\to X_n,n\ge n_3,$

то ясно [10, гл. 1, § 5], что предложенные в настоящей работе прямые методы для ИДУ (3.1) устойчивы относительно малых возмущений исходных данных. Это позволяет найти численное решение исследуемых уравнений на ЭВМ с любой наперед заданной степенью точности. Более того, если ИДУ (3.1) хорошо обусловлено (см., например, [10, гл. 1, § 5, с. 24]), то хорошо обусловленной является также СЛАУ (3.5).