On a Method for Solving a Mixed Boundary Value Problem for a Parabolic Equation Using Modified Sinc-Approximation Operators

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A new method is proposed for obtaining a generalized solution of a mixed boundary value problem for a parabolic equation with boundary conditions of the third kind and a continuous initial condition. Generalized functions are understood in the sense of the sequential approach. As an intermediate approximation, a modified sinc-approximation operator is used. The solution is obtained in the form of a series uniformly converging inside the solution domain.

About the authors

A. Yu. Trynin

Saratov State University

Author for correspondence.
Email: atrynin@gmail.com
410012, Saratov, Russia

References

  1. Krivoshein A., Skopina M. Multivariate sampling-type approximation // Anal. Appl. 2017. T. 15. № 4. C. 521–542.
  2. Richardson M., Trefethen L. A sinc function analogue of Chebfun // SIAM J. Sci. Comput. 2011. V. 33. № 5. P. 2519–2535.
  3. Шмуклер А.И., Шульман Т.А. О некоторых свойствах рядов Котельникова // Изв. вузов. Матем. 1974. Вып. 3. С. 93–103.
  4. Butzer P.L., Ferreira P.J.S.G., Higgins J.R., Saitoh S., Schmeisser G., Stens R.L. Interpolation and Sampling: E.T. Whittaker, K. Ogura and Their Followers // J. Fourier Anal. Appl. 2010. P. 1–35. https://doi.org/10.1007/s00041-010-9131-8
  5. Zayed A. A generalized sampling theorem with the inverse of an arbitrary square summable sequence as sampling points // J. Fourier Anal. Appl. 1996. V. 2. № 3. P. 303–314.
  6. Schmeisser G., Stenger F. Sinc Approximation with a Gaussian Multiplier // Sampl. Theor. Signal Proces. 2007. V. 6. P. 199–221.
  7. Трынин А.Ю. Критерий равномерной сходимости sinc-приближений на отрезке // Изв. вузов. Матем. 2008. № 6. P. 66–78.
  8. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи матем. наук. 1998. V. 53. № 6. P. 53–128.
  9. Дьяченко М.И. Асимптотика сумм косинус-рядов с коэффициентами дробной монотонности // Матем. заметки. 2021. Т. 110. № 6. С. 865–874 [M.I. Dyachenko, Math. Notes. 2021. V. 110. № 6. P. 894–902]. http://mi.mathnet.ru/mz13180; https://doi.org/10.1134/S0001434621110250
  10. Голубов Б.И. Абсолютная сходимость двойных рядов из коэффициентов Фурье–Хаара функций ограниченной p-вариации // Изв. вузов. Матем. 2012. Т. 56. № 6. С. 3–13 [B.I. Golubov, Russian Math. 2012. V. 56. № 6. P. 1–10.https://doi.org/10.3103/S1066369X12060011
  11. Новиков И.Я., Скопина М.А. Почему в разных структурах базисы Хаара одинаковые? // Матем. заметки. 2012. Т. 91. № 6. С. 950–953 [I.Ya. Novikov, M.A. Skopina, Math. Notes. 2012. V. 91. № 6. P. 895–898].https://doi.org/10.4213/mzm9392
  12. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1954.
  13. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.
  14. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1961.
  15. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Физматлит, Наука, 1965.
  16. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.
  17. Макаова Р.Х. Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри области // Вестн. Самарского. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. Науки. 2017. Т. 21. № 4. 651–664.https://doi.org/10.14498/vsgtu1574
  18. Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 9. С. 1166–1179 [A.I. Kozhanov, L.S. Pulkina, Differ. Equ. 2006. V. 42. № 9. P. 1233–1246].https://doi.org/10.1134/S0012266106090023
  19. Абдуллаев О.Х. Краевая задача для нагруженного уравнения эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2014. Т. 1. № 8. С. 33–48.https://doi.org/10.18454/2079-6641-2014-8-1-33-48
  20. Пулькина Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода // Изв. вузов. Матем. 2012. Т. 56. № 4. С. 74–83 [O.Kh. Abdullaev, Russian Math. 2012. V. 56. № 4. P. 62–69]. https://doi.org/10.3103/S1066369X12040081
  21. Тарасенко А.В. Краевая задача для нагруженного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. Т. 5. № 21. С. 263–267.https://doi.org/10.14498/vsgtu825
  22. Балкизов Ж.А. Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Владикавк. матем. журн. 2016. Т. 18. № 2. С. 19–30.
  23. Водахова В.А., Балкизова А.Х. Краевая задача для модельного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 28. № 3. С. 6–15.https://doi.org/10.26117/2079-6641-2019-28-3-6-15
  24. Макаова Р.Х. Краевая задача со смещением для гиперболического уравнения третьего порядка с производной в граничных условиях // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 37. № 4. С. 38–44.https://doi.org/10.26117/2079-6641-2021-37-4-38-44
  25. Андреев А.А., Огородников Е.Н. О корректности начальных краевых задач для одного гиперболического уравнения с вырождением порядка и инволютивным отклонением // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2000. Т. 9. С. 32–36.https://doi.org/10.14498/vsgtu28
  26. Жура Н.А., Солдатов А.П. Краевая задача для гиперболической системы первого порядка в двумерной области // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. Т. 81. № 3. С. 83–108 [N.A. Zhura, A.P. Soldatov, Izv. Math. 2017. V. 81. № 3. P. 542–567].https://doi.org/10.4213/im8442
  27. Ашуров Р.Р., Мухиддинова А.Т. Начально-краевые задачи для гиперболических уравнений с эллиптическим оператором произвольного порядка // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 30. № 1. С. 8–19.https://doi.org/10.26117/2079-6641-2020-30-1-8-19
  28. Сабитов К.Б. Начально-граничная задача для параболо-гиперболического уравнения с нагруженными слагаемыми // Изв. вузов. Матем. 2015. Т. 59. № 6. С. 31–42 [K.B. Sabitov, Russian Math. 2015. V. 59. № 6. P. 23–33].https://doi.org/10.3103/S1066369X15060055
  29. Кожанов А.И., Дюжева А.В. Вторая начально-краевая задача с интегральным смещением для гиперболических и параболических уравнений второго порядка // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 25. № 3. С. 423–434.https://doi.org/10.14498/vsgtu1859
  30. Глотов В.Ю., Головизнин В.М., Четверушкин Б.Н. Балансно-характеристические разностные схемы для уравнений параболического типа // Матем. моделирование. 2020. Т. 32. № 4. С. 94–105.https://doi.org/10.20948/mm-2020-04-07
  31. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.
  32. Сушков А.С. О сходимости разностной схемы, аппроксимирующей одну краевую задачу гиперболического типа // Челяб. физ.-матем. журн. 2019. Т. 4. № 3. С. 333–344.https://doi.org/10.24411/2500-0101-2019-14306
  33. Холодов А.С., Холодов Я.А. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 9. С. 1638–1667 [A.S. Kholodov, Ya.A. Kho-lodov, Comput. Math. Math. Phys. 2006. V. 46. № 9. P. 1560–1588].https://doi.org/10.1134/S0965542506090089
  34. Комурджишвили О.П. Разностные схемы для решения многомерных уравнений и систем уравнений гиперболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 6. С. 980–987 [O.P. Komurdzhishvili, Comput. Math. Math. Phys. 2007. V. 47. № 6. P. 936–942].https://doi.org/10.1134/S096554250706005X
  35. Холодов А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. Т. 18. № 6. С. 1476–1492 [A.S. Kholodov, Comput. Math. Math. Phys. 1978. V. 18. № 6. 116–132].https://doi.org/10.1016/0041-5553(55)90141-6
  36. Холодов Я.А., Холодов А.С., Цыбулин И.В. Построение монотонных разностных схем для систем уравнений гиперболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 8. С. 30–49 [Ya.A. Kholodov, A.S. Kholodov, I.V. Tsybulin, Comput. Math. Math. Phys. 2018. V. 58. № 8. P. 1226–1246].https://doi.org/10.1134/S0965542518080110
  37. Трынин А.Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости синк-приближений непрерывных функций на отрезке // Матем. сб. 2007. Т. 198. № 10. С. 141–158.
  38. Трынин А.Ю. О расходимости синк-приближений всюду на (0, π) // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22. № 4. С. 232–256.
  39. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: ЛГУ, 1950.
  40. Antosik P., Mikusinski J., Sikorski R. Theory of Distributions. The sequential approach. Amsterdam: Elsevier Sci., 1973.
  41. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма–Лиувилля и Дирака. М.: Наука, Физматлит, 1988.
  42. Трынин А.Ю. Об асимптотике решений и узловых точек дифференциальных выражений Штурма–Лиувилля // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51. № 3. С. 662–675.
  43. Трынин А.Ю. Обобщение теоремы отсчетов Уиттекера–Котельникова–Шеннона для непрерывных функций на отрезке // Матем. сб. 2009. Т. 200. № 11. С. 61–108.
  44. Трынин А.Ю. Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма–Лиувилля // Уфимск. матем. журн. 2011. Т. 3. № 4. С. 133–143.
  45. Трынин А.Ю. Об одной обратной узловой задаче для оператора Штурма–Лиувилля // Уфимск. матем. журн. 2013. Т. 5. № 4. С. 116–129 [A.Yu. Trynin, Ufa Math. J. 2013. V. 5. № 4. P. 112–124].https://doi.org/10.13108/2013-5-4-112
  46. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.
  47. Олевский А.М. Расходящиеся ряды Фурье непрерывных функций // Докл. АН СССР. 1961. Т. 141. № 1. С. 28–31.
  48. Буздалин В.В. Тригонометрические ряды Фурье непрерывных функций, расходящиеся на заданном множестве // Матем. сб. 1974. Т. 95. № 1. С. 84–107 [V.V. Buzdalin, Sb. Math. 1974. V. 24. № 1. P. 79–102].https://doi.org/10.1070/SM1974v024n01ABEH001906
  49. Казарян К.С. Расходящиеся ортогональные ряды Фурье // Матем. сб. 1991. Т. 182. № 7. С. 985–1008 [K.S. Kazarian, Sb. Math. 1992. V. 73. № 2. 355–377].https://doi.org/10.1070/SM1992v073n02ABEH002550

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2.

Download (728KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2023 А.Ю. Трынин

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies